Презентация "Окружность. Определения. Теоремы и следствия из теорем" 9-11 класс

Окружность Определения. Теоремы и следствия из теорем.

Ровенко Н.В. Учитель математики

ГБОУ школа №2122

г. Щербинка, г. Москва

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Окружность – геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенный на заданном расстоянии от данной точки (центра окружности) Точка О – центр окружности. Отрезок , соединяющий центр окружности с произвольной точкой окружности, называется радиусом. ОА – радиус окружности. Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называется хордой. ВС – хорда окружности. Самая длинная хорда проходит через центр окружности и называется диаметром окружности. Диаметр окружности равен длине двух радиусов. EF – диаметр окружности

О

А

В

С

E

F

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Прямая, пересекающая окружность в двух точках, называется секущей. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной. Точка В – точка касания. Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведенному в точку касания. АВ  ОВ

О

В

А

Свойства хорд и дуг окружности. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. (см. доказательство) АВ – хорда, CD – диаметр. AB  CD = E ,  AC =  CB  AD =  DB Справедливо и обратное утверждение: Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. (см. доказательство)

А

В

С

D

E

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. Дано: АВ хорда, СD –диаметр, Доказать: АЕ = ВЕ Доказательство: Проведем радиусы ОА и ОВ.  OAB равнобедренный. ОЕ высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника  ОЕ – медиана и биссектриса. АЕ = ВЕ, АОЕ = ВОЕ (центральные углы) АС = СВ, АD = DВ. Что и требовалось доказать.

О

А

В

С

D

E

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. Дано: АВ хорда, СD –диаметр, АЕ = ВЕ Доказать: Доказательство: Проведем радиусы ОА и ОВ.  OAB равнобедренный. ОЕ медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника  ОЕ – высота и биссектриса. ОЕ  АВ. АОЕ = ВОЕ (центральные углы) АС = СВ, АD = DВ. Что и требовалось доказать.

О

А

В

С

D

E

Свойства хорд и дуг окружности. Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. AB = CD OF  AB  OF = OE OE  CD Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. OF = OE OF  AB  AB = CD OE  CD

А

O

F

E

D

С

В

Свойства хорд и дуг окружности. У равных дуг равны и хорды.  AB =  CD  AB = CD Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. AB CD   AD =  BC

А

В

С

D

А

D

C

B

Свойство хорд Произведение отрезков, на которые делятся хорды точкой их пересечения, равны. AE  BE = CE  DE (см. доказательство)

E

D

С

В

А

Произведение отрезков, на которые делятся хорды точкой их пересечения, равны. Произведение отрезков, на которые делятся хорды точкой их пересечения, равны. AE  BE = CE  DE Дано: AB  CD = E Доказать: AE  BE = CE  DE Доказательство:  ADE и  BCE  1 =  2 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же  BD.  3 =  4 вертикальные углы.  ADE подобен  BCE по двум углам.  или AE  BE = CE  DE Что и требовалось доказать.

E

D

С

В

А

2

3

1

4

Свойство касательных Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. АС = АВ Доказательство

О

В

А

С

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. АС = АВ Доказательство Рассмотрим АОС и  АОВ ОВ = ОС радиусы АВО = АСО = 900 (радиусы с касательными) АО общая  АОС =  АОВ по признаку Равенства прямоугольных треугольников. Значит АВ = АС. Что и требовалось доказать.

О

В

А

С

Касательная и секущая Для касательной и секущей, проведённых к одной окружности из одной точки, справедливо равенство: AB2= AD  AC

A

C

B

D

Доказательство

Для касательной и секущей, проведённых к одной окружности из одной точки, справедливо равенство: Для касательной и секущей, проведённых к одной окружности из одной точки, справедливо равенство: AB2= AD  AC

A

C

B

D

Доказательство:

Проведём хорды ВС и BD.  ABC и  ABD подобны по двум углам.

 А – общий, ABC = ADB 

а значит

AB2= AD  AC

Что и требовалось доказать.

Секущие Для двух секущих, проведённых из одной точки вне круга, справедливо равенство: AD  AC = AF AE

A

C

E

D

F

Доказательство:

Для двух секущих, проведённых из одной точки вне круга, справедливо равенство: AD  AC = AF AE Для двух секущих, проведённых из одной точки вне круга, справедливо равенство: AD  AC = AF AE

Что и требовалось доказать.

Доказательство:

Проведём из точки А касательную АВ к окружности.

Тогда AB2= AD  AC и AB2= AF  AE 

AD  AC = AF AE

A

C

E

D

F

B

Центральные и вписанные углы. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.  АОВ = АВ

О

В

А

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.  ABC = ½ AC

В

А

C

Вписанные углы. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой  АСВ = 900

О

В

А

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.  ABC = ADC = AFC

C

В

А

C

D

F

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключённой между ними. Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключённой между ними.  DAB = ½ AB = ACB

С

D

Угол между двумя секущими,

проведёнными из одной точки вне окружности, равен половине

разности дуг, заключённых

между ними.

 AEB = ½ (AВ - CD)

Е