Презентация "Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом"
Подписи к слайдам:
- Презентация к занятию
- по математике
- «Аксиомы стереометрии.
- Некоторые следствия из аксиом."
- - Что такое геометрия?
- Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур
- «Геометрия» - (греч.) – «землемерие»
- - Что такое планиметрия?
- Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.
- А
- а
- Основные понятия планиметрии:
- точка
- прямая
- - Основные понятия планиметрии?
- Стереометрия
- - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве
- Основные фигуры в пространстве:
- точка прямая плоскость
- α
- β
- Обозначение: А; В; С; …; М;…
- а
- А
- В
- М
- N
- Р
- Обозначение: a, b, с, d…, m, n,…(или двумя заглавными латинскими)
- Обозначение: α, β, γ…
- Ответьте на вопросы по рисунку:
- 1. Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.
- 2. Назовите прямые, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β
- Некоторые геометрические тела.
- А
- В
- С
- Д
- Д1
- С1
- В1
- А1
- куб
- А
- В
- С
- Д
- А1
- В1
- С1
- Д1
- параллелепипед
- А
- В
- С
- Д
- тетраэдр
- цилиндр
- конус
- Назовите какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках:
- Назовите предметы из окружающей вас обстановки ( нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.
- Практическая работа.
- 1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром).
- 2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА1В1С1Д1
- А
- В
- С
- Д
- Д1
- С1
- В1
- А1
- 3. Выделите цветным карандашом:
- вершины А, С, В1, Д1
- отрезки АВ, СД, В1С, Д1С
- диагонали квадрата АА1В1В
- - Что такое аксиома?
- Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия.
- Аксиомы планиметрии:
- - через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
- из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.
- имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой…
- Аксиомы стереометрии.
- А
- В
- С
- А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
- α
- Если ножки стола не одинаковы по длине, то стол стоит на трех ножках, т.е. опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая точка) не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
- Аксиомы стереометрии.
- А
- В
- α
- А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
- Говорят: прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
- а
- М
- Прямая лежит в плоскости
- Прямая пересекает плоскость
- Сколько общих точек имеют прямая и плоскость?
- Аксиомы стереометрии.
- α
- β
- А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят: плоскости пересекаются по прямой.
- А
- а
- Решить задачи: №1(а,б); 2(а)
- А
- В
- С
- Д
- Р
- Е
- К
- М
- А
- В
- С
- Д
- А1
- В1
- С1
- Д1
- Q
- P
- R
- К
- М
- Назовите по рисунку:
- а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, ДВ, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой ДК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АДВ.
- а) точки, лежащие в плоскостях ДСС1 и ВQС
- Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.
- Дано:
- а, М ¢ а
- Доказать:
- (а, М) с α
- α- единственная
- а
- М
- α
- Доказательство :
- 1. Р, О с а; {Р,О,М} ¢ а
- Р
- О
- По аксиоме А1: через точки Р, О, М проходит плоскость .
- По аксиоме А2: т.к. две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости, т.е. (а, М) с α
- 2. Любая плоскость проходящая через прямую а и точку М проходит через точки Р, О, и М, значит по аксиоме А1 она – единственная. Ч.т.д.
- Некоторые следствия из аксиом:
- Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
- Дано:
- а∩b
- Доказать:
- 1. (а∩b) с α
- 2. α- единственная
- а
- b
- М
- Н
- α
- Доказательство:
- 1.Через а и Н а, Н b проходит плоскость α.
- (М , Н) α, (М,Н) b, значит по А2 все точки b принадлежат плоскости.
- 2. Плоскость проходит через а и b и она единственная, т.к. любая плоскость, проходящая через прямые а и b, проходит и через Н, значит α – единственная.
- Решить задачу № 6
- А
- В
- С
- α
- Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.
- Доказательство:
- 1. (А,В,С) α, значит по А1 через А,В,С проходит единственная плоскость.
- 2. Две точки каждого отрезка лежат в плоскости, значит по А2 все точки каждого из отрезков лежат в плоскости α.
- 3. Вывод: АВ, ВС, АС лежат в плоскости α
- 1 случай.
- А
- В
- С
- α
- 2 случай.
- Доказательство:
- Так как 3 точки принадлежат одной прямой, то по А2 все точки этой прямой лежат в плоскости.
- Задача.
- А
- В
- С
- Д
- М
- О
- АВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки А, Д, О лежат в плоскости α.
- Определить и обосновать:
- Лежат ли в плоскости α точки В и С?
- Лежит ли в плоскости МОВ точка Д?
- Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и АДО.
- Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60º. Предложите различные способы вычисления площади ромба.
- А
- В
- С
- Д
- 60º
- 4
- 4
- 4
- 4
- SАВСД = АВ · АД · sinA
- SАВСД = (ВД · АС):2
- Формулы для вычисления площади ромба:
- ∆АВД = ∆ВСД (по трем сторонам), значит SАВД = SВСД.
- Математический диктант
- Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве?
- Назовите основные фигуры в пространстве.
- Сформулируйте аксиому А2.
- Сформулируйте аксиому А3.
- Могут ли прямая и плоскость иметь две общие точки?
- Сколько плоскостей можно провести через одну точку?
- 1 вариант
- 2 вариант
- Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости?
- Назовите основные фигуры на плоскости.
- Сформулируйте аксиому А1.
- Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку?
- Сколько может быть точек у прямой и плоскости?
- Могут ли прямая и плоскость иметь одну общую точку?
- Устная работа.
- А
- В
- С
- Д
- А1
- В1
- С1
- Д1
- α
- Дано: куб АВСДА1В1С1Д1
- Найдите:
- Несколько точек, которые лежат в плоскости α;
- Несколько точек, которые не лежат в плоскости α;
- Несколько прямых, которые лежат в плоскости α;
- Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α;
- Несколько прямых которые пересекают прямую ВС;
- Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС.
- Устная работа.
- А
- В
- С
- Д
- А1
- В1
- С1
- Д1
- α
- Прямые АА1, АВ, АД проходят через точку А, но не лежат в одной плоскости
- Лежат ли прямые АА1, АВ, АД в одной плоскости?
- Задача
- А
- В
- С
- Д
- А1
- В1
- С1
- Д1
- М
- N
- F
- К
- Дано: куб АВСДА1В1С1Д1
- т.М лежит на ребре ВВ1, т.N лежит на ребре СС1 и точка К лежит на ребре ДД1
- а) назовите плоскости, в которых лежат точки М; N.
- б) найдите т.F-точку пересечения прямых МN и ВС. Каким свойством обладает точка F?
- в) найдите точку пересечения прямой КN и плоскости АВС
- О
- г) найдите линию пересечения плоскостей МNК и АВС
- А
- В
- С
- Д
- О
- Повторение.
- Формула для вычисления площади четырехугольника.
- Задача
- α
- А
- В
- С
- Д
- О
- Докажите, что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.
- Вычислите площадь четырехугольника, если АС┴ВД, АС = 10см, ВД = 12см.
- Доказательство:
- 1. (АС ∩ ВД) =α АС α, ВД α, (А, В, С, Д ) α
- 2. SАВСД = АС · ВД · sin90º = 10 · 12 = 120 (см2)
- Ответ: 120 см2
- А
- В
- С
- Д
- А1
- В1
- С1
- Д1
- Задача
- Как построить точку пересечения плоскости АВС с прямой Д1Р?
- Как построить линию пересечения плоскости АД1Р и АВВ1?
- Вычислите длину отрезков АР и АД1, если АВ = а
- Р
- К
- 1 уровень
- А
- В
- С
- S
- К
- М
- N
- 1. Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие в плоскости SАВ; б)плоскость, в которой лежит прямая МN; в) прямую по которой пересекаются плоскости SАС и SВС.
- 2. Точка С – общая точка плоскости и . Прямая с проходит через точку С. Верно ли, что плоскости и пересекаются по прямой с. Ответ объясните.
- 3. Через прямую а и точку А можно провести две различные плоскости. Каково взаимное расположение прямой а и точки А. Ответ объясните.
- 2 уровень
- S
- А
- В
- С
- Д
- Е
- F
- 1. Пользуясь данным рисунком назовите: а) две плоскости, содержащие прямую ДЕ; б) прямую, по которой пересекаются плоскости АЕF и SВС; в) плоскости, которые пересекает прямая SВ.
- 2. Прямые а, b и с имеют общую точку. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.
- 3. Плоскости и пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости и пересекает плоскость . Каково взаимное расположение прямых а и с?
- А
- В
- С
- Д
- А1
- В1
- С1
- Д1
- Уровень 3 (на карточках)
- 1. Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие прямую В1С; б) прямую, по которой пересекаются плоскости В1СД и АА1Д1; в) плоскость, не пересекающуюся с прямой СД1.
- 2. Четыре прямые попарно пересекаются. Верно ли, что если любые три из них лежат в одной плоскости, то все четыре прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните.
- 3. Вершина С плоского четырехугольника АВСД лежит в плоскости , а а точки А, В, Д не лежат в этой плоскости. Прямые АВ и АД пересекают плоскость в точках В1 иД1 соответственно. Каково взаимное расположение точек С, В1 и Д1 ? Ответ объясните.
- Домашнее задание: пункты 1-3 прочитать.
- Решить задачи:
- Прямые а и b пересекаются в точке О, А а, В b, Р АВ. Докажите, что прямые а и b и точка Р лежат в одной плоскости.
- На данном рисунке плоскость содержит точки А, В, С, Д, но не содержит точку М. Постройте точку К – точку пересечения прямой АВ и плоскости МСД. Лежит ли точка К в плоскости .
- А
- В
- С
- Д
- М
Математика - еще материалы к урокам:
- Конспект урока "Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным"
- Конспект урока "Решение тригонометрических уравнений на интервале"
- Конспект урока "Простейшие тригонометрические уравнения и их решения"
- Конспект урока "Синус и косинус суммы аргументов"
- Конспект урока "Сечение" 10 класс
- Конспект урока "Свойства корня n-ой степени"
