Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Сечение" 10 класс

МБОУ «Александровская СОШ»
Сармановского муниципального района Республики Татарстан
М А Т Е М А Т И К А 10 К Л А С С
Сечение.
Учитель математики высшей квалификационной категории
Гараева Фарида Халитовна
ТЕМА «Сечение»
Цели:
1. Сформировать навык решения простейших задач на построение
сечений тетраэдра и параллелепипеда, разобрать алгоритм
построения сечений;
2. Развивать самостоятельность, воспитывать интерес к предмету
и потребность в приобретении знаний;
3. Развивать умение выделять главное, сравнивать, делать
правильные выводы, логически мыслить; развивать
пространственное мышление.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Оборудование: учебник, компьютер, проектор, интерактивная доска,
плакаты, карточки.
ХОД УРОКА
1. Вступительное слово учителя.
Мы с вами начали изучать пространственные фигуры – многогранники.
Тема нашего сегодняшнего урока «Построение сечений тетраэдра и
параллелепипеда». Сечения многогранников плоскостью используют при
решении многих стереометрических задач. Поэтому мы рассмотрим
различные способы построения простейших сечений . Что же это такое
СЕЧЕНИЕ?
С раннего детства мы с вами сталкиваемся с сечениями. Режем хлеб,
колбасу, масло, сыр и т.д., точим карандаш ножом. Секущей плоскостью во
всех этих случаях является нож. Пилим дрова, бревна… Секущая плоскость
– пила. Плоскости сечения ( срезы кусочков) оказываются различными…
Изучая геометрические фигуры, мы также будем проводить сечения.
Но на практике мы рассекаем данный предмет ( батон хлеба, колбасы и
т.п.) на две части, которые можем взять и хорошо рассмотреть отдельно друг
от друга. Другое дело – сечения геометрических фигур на листе бумаги.
Здесь мы будем иметь только изображение пространственной фигуры и ее
сечения на плоскости. Иными словами, рассмотреть отдельно две части
фигуры нельзя. Вот здесь нам и помогут наши пространственные
представления, которые развивались при изучении геометрии, и полученные
знания законов геометрии.
2. Для того, чтобы правильно построить сечение, нам понадобятся
некоторые аксиомы и теоремы, которые мы с вами изучили при прохождении
параллельности в пространстве.
Сейчас, чтобы проверить , на сколько вы усвоили теоретический
материал, мы выполним самостоятельную работу( по карточкам).
Повторение теории по теме
«Параллельность прямых, прямой и плоскости, плоскостей»
1. Укажите все пары скрещивающихся прямых тетраэдра АВСД.
2. Прямая пересекает две стороны треугольника. Лежит ли она в
плоскости данного треугольника? Поясните.
3. Верны ли утверждения:
а) через любые три точки проходит единственная плоскость ,
б) любые три точки принадлежат плоскости ,
в) две различные плоскости могут иметь одну общую точку.
4. Прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой,
лежащей в этой плоскости?
5. Средняя линия трапеции лежит на плоскости α . Пересекают ли
основания трапеции эту плоскость? Ответ поясните.
6. Две прямые параллельны плоскости. Можно ли утверждать, что эти
прямые параллельны между собой? Поясните.
7. Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной
из её диагоналей. Каково взаимное расположение данной прямой и
второй диагонали параллелограмма? Почему?
8. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание «если две
прямые лежат в одной плоскости, то они …»
9. Ромб АВСД и трапеция ВСМН ( ВС – основание) не лежат в одной
плоскости. Как расположены прямые МН и АД? Поясните.
10. Прямая а лежит в плоскости α , прямые а и в скрещиваются. Как
расположена прямая в относительно плоскости α?
11. Верны ли утверждения:
а) две плоскости параллельны, если они параллельны одной и той же
прямой ;
б) для любых двух скрещивающихся прямых существует плоскость,
которой они обе параллельны ;
в) если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости ,
параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны .
12. Параллельные отрезки АВ и СД заключены между параллельными
плоскостями α и β . Определите вид четырехугольника АВДС .
3. Итак, рассмотрим решение задач на построение сечений
геометрической фигуры плоскостью
ПРОСМОТР ПРЕЗЕНТАЦИИ «Сечения тетраэдра и параллелепипеда»
1) Цель урока
2) ВОПРОС : Как могут располагаться друг относительно друга
многогранник и плоскость? Какая фигура может получиться в
пересечении двух фигур: многогранника и плоскости?
Это могут быть: пустая фигура (а), точка (б), отрезок (в),
многоугольник (г). Если пересечение многогранника и плоскости есть
многоугольник, то этот многоугольник называется сечением
многогранника плоскостью.
3) Определение секущей плоскости
Секущая плоскость – это любая плоскость, по обе стороны от
которой имеются точки данного многогранника.
Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам.
ВОПРОС: на чем основано это утверждение? ( если плоскости имеют
общую точку, они пересекаются по прямой, проходящей через эту
точку)
Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки,
называется сечением.
4) Рассмотрим некоторые правила для построения сечений .
1. Если секущая плоскость пересекает противоположные грани
параллелепипеда по каким-то отрезкам, то эти отрезки
параллельны.
ВОПРОС: почему мы это можем утверждать? Какую теорему
используем? ( свойство параллельных плоскостей и свойство
противоположных граней параллелепипеда)
2. Построить точку пересечения секущей плоскости с ребром
многогранника, после чего провести отрезки, соединяющие каждые
две точки, лежащие в одной грани. ( если секущая плоскость
пересекает грань в двух точках, то она пересекает грань по
отрезку, проходящему через эти точки )
( ИСПОЛЬЗУЕМ : если 2 точки прямой лежат на плоскости,..)
Какие аксиомы и теоремы мы используем при построении сечений?
( 3 аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей,
признаки параллельности прямой и плоскости, плоскостей)
В школьном курсе мы рассматриваем задачи на построение
сечений тетраэдра и параллелепипеда. Вспомним, что это за
многогранники , как мы их получили?
( Тетраэдр – берем треугольник и точку, не лежащую в плоскости
этого треугольника. Соединяем вершины треугольника с данной
точкой. Сколько граней у тетраэдра?)
Параллелепипед – берем два одинаковых параллелограмма, лежащие
в параллельных плоскостях и соединяем соответственно вершины
параллельными отрезками. Сколько граней? Что является гранью
параллелепипеда? )
5) Сечения тетраэдра и параллелепипеда ( что может получиться в
сечении ? Сколько граней ...)
4. Рассмотрим 3 задачи на построение сечений.
Задача №1
( Рассмотрим тетраэдр АВСД и проведем в нем сечение , проходящее
через три точки М, N и Р , лежащие на боковых ребрах)
Построить тетраэдр в тетради и отметить три точки. С чего начнем
строить сечение? Соединим точки, лежащие на одной грани. Для
того, чтобы найти, по какой прямой сечение пересечет нижнее
основание, найдем вторую общую точку. Продолжим …
Учитель с классом обсуждают план построения…
Учитель показывает на экране этапы построения.
Учащиеся делают построение в тетради . Затем один ученик пишет
решение на доске, а остальные – в тетради.
( РN лежит в плоскости РСВ и пересекает СВ в точке Е( Е лежит
и в плоскости АВС); плоскости МNР и АВС пересекаются по прямой
QE; соединяем РQ и МN и получаем искомое сечение - МNPQ).
Делается вывод. Что получилось в сечении? Сечение пересекло все 4
грани тетраэдра. Поэтому сечение - четырехугольник.
Задача №2
( Строим тетраэдр и сечение через точку М, лежащую на боковой
грани АВД и параллельно основанию АВС).
(Сечение параллельно плоскости АВС, а значит оно параллельно
прямым АВ, АС и ВС.
На грани АВД через точку М проводим прямую параллельно АВ.
Получим две точки Q и Р, дальше строим прямую РR параллельно ВС,
соединяем QR и получаем искомое сечение – треугольник).
Учащиеся строят сечение в тетрадях. Записывают решение.
Что получилось в сечении? Сечение пересекло 3 грани. Поэтому
сечение - треугольник.
Задача №3
( Дан параллелепипед. Построим сечение параллелепипеда через три
точки А, В и С, лежащие на боковых ребрах).
Применяем свойство параллельных плоскостей. Соединяем точки
АВ и ВС. Через точку А проводим прямую АЕ параллельно ВС, а через
точку С – СД параллельно АВ. Получаем сечение АВСДЕ.
Учащиеся строят сечение в тетрадях. Записывают ход решения.
Что получилось? Какая грань не пересеклась? Поэтому сечение –
пятиугольник.
ВОПРОСЫ к классу:
1) Что значит построить сечение многогранника на плоскости?
( найти, по каким отрезкам пересекает секущая плоскость грани
многогранника, построить многоугольник)
2) Как задается плоскость
( через три точки, не лежащие на одной прямой; через точку
параллельно грани)?
По плакату определите, сколько плоскостей можно провести через
выделенные элементы? ( т.о. секущую плоскость можно провести
через прямую и плоскость, через пересекающиеся прямые, через
параллельные прямые)
3) Что может получиться в сечении? Может ли в сечении
многогранника
( тетраэдра, параллелепипеда) получится семиугольник?
Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении
многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.
4) Когда задача на построения сечения многогранника считается
решенной?
( если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает
грани многогранника )
5) Этапы построения ( по плакату):
1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости ( в
одной грани) ;
2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями
многогранника, для этого:
а) ищем 2 общие точки пересечения прямой принадлежащей
плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в
одной плоскости);
б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по
параллельным прямым.
5. УСТНАЯ РАБОТА ( по плакату)
На каком из рисунков изображено верное сечение? Объясните свой
выбор.
6. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА по построению сечений ( работа с
карточками по готовым чертежам Приложения № 1 и № 2).
Задание: Построить сечение многогранника, проходящее через точки Р,
N и М.
ЛИСТ 1 Построение сечений тетраэдра ( задания 1, 6, 10 ).
ЛИСТ 2 Построение сечений параллелепипеда ( задания 2, 4, 6 ).
7. ИТОГ УРОКА.
Сегодня на уроке мы окунулись в мир «построения сечений».
Давайте вспомним : что такое секущая плоскость (1), сечение (2), этапы
построения сечений (3), какие многоугольники могут получиться в
сечении тетраэдра (4) и параллелепипеда (5)?
8. Выставление оценок за работу в классе.
9. Домашнее задание: П.14, разобрать задачи № 1-3; повторить этапы
построения сечений; построить сечения № 72,75 ( из учебника)
Приложение №1
Приложение № 2
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: