Конспект урока "Возрастание и убывание функций" 10 класс


Класс: 10
Тема урока: «Возрастание и убывание функций».
Тип урока: урок изучения и первичного применения нового материала.
Цели урока:
- Образовательная: систематизирование знаний учащихся по данной теме;
формирование навыков выполнения заданий разного уровня сложности;
работа самостоятельно и в коллективе;
- Развивающая: расширение кругозора, развитие интереса к математике;
- Воспитательная: создание положительной мотивации к изучению
математики, воспитание ответственности;
Оборудование: презентация, компьютер, мультимедийный проектор.
Ход урока
Орг. момент
Проверка готовности учащихся к уроку.
Приветствие.
ХОД УРОКА
I. Актуализация опорных знаний
Дайте определение функции.
Какой формулой задаются функции, графики которых изображены на
чертеже.
II. Формирование новых знаний
На рисунке 1 изображен график некоторой функции у = f (х), область
определения которой – промежуток [–5; 4].
При возрастании значений X от –5 до 1 значения Y возрастают, а при
возрастании значений X от 1 до 4 значения Y убывают. Говорят, что
функция у = f (х) на промежутке [–5; 1] возрастает, а на промежутке [1; 4]
убывает.
Эталоны:
Функция f(х) называется возрастающей на множестве Х, если для любых
двух значений аргумента х
1
и х
2
множества Х, таких, что х
2
> х
1
, выполняется
неравенство f(х
2
) > f(х
1
).
Функция (х) называется убывающей на множестве Х, если для любых двух
значений аргумента х
1
и х
2
множества Х, таких, что х
2
> х
1
, выполняется
неравенство f(х
2
) < f(х
1
).
Функцию возрастающую на множестве Х или убывающую на множестве Х,
называют монотонной на множестве Х.
Выясним характер монотонности некоторых видов функций:
Функция f(х) = возрастающая. Докажем это.
Выражение имеет смысл лишь при х > 0. Поэтому D(f) = [0; + ).
Пусть х
2
> х
1
> 0. Рассмотрим разность f(х
2
) f(х
1
) и преобразуем ее:
f(х
2
) f(х
1
) = = ( ) ( + ) / ( + ) = .
Числитель и знаменатель дроби положительные числа. Это
следует из того, что х
2
> х
1
> 0, > 0 и > 0. Значит, f(х
2
) f(х
1
) > 0, то
есть f(х
2
) > f(х
1
). Поэтому функция f(х) возрастающая.
III. Работа в парах (карточки с элементами частично – поисковой
деятельности):
Выяснить характер монотонности линейной функции f(х) = k x + b, при k > 0
и k < 0.
Выяснить характер монотонности степенной функции f(х) = х
n
, при четном n.
Выяснить характер монотонности степенной функции f(х) = х
n
, при
нечетном n.
Выяснить характер монотонности обратной
пропорциональности f(х) = при k > 0 и k < 0.
Учащиеся в парах исследуют функции на монотонность, после чего делаем
выводы:
Линейная функция, то есть функция, заданная формулой f(х) = k x + b,
при k > 0 является возрастающей, а приk < 0 убывающей.
Степенная функция f(х) = х
n
с натуральным показателем n при четном n
возрастает на промежутке [0; + ) и убывает на промежутке (– ; 0]. При
нечетном n функция f(х) = х
n
возрастает на всей области определения, то есть
на промежутке (– ; + ).
Обратная пропорциональность, то есть функция f(х) = в каждом из
промежутков (– ; 0) и (0; + ) при k > 0 убывает, а при k < 0 возрастает.
Рассмотрим некоторые свойства монотонных функций
Монотонная функция каждое свое значение принимает лишь при одном
значении аргумента.
Если функция у = f (х) является возрастающей (убывающей), то функция у =
f(х) является убывающей (возрастающей).
Сумма двух возрастающих функций является возрастающей, а сумма двух
убывающих функций является убывающей функцией.
Если обе функции f и g возрастающие или обе убывающие, то функция (х)
= f(g(х)) возрастающая функция.
Если функция у = f(х) монотонна на множестве Х и сохраняет на этом
множестве знак, то функция g(х) = на множестве Х имеет
противоположный характер монотонности.
IV. Формирование практических умений
Приведем примеры использования свойств монотонных функций:
Пример 1.
Выясним, в скольких точках прямая у = 9 пересекает график
функции f(х) = + + .
Решение:
Функции у = , у = и у = возрастающие функции
(свойство 4). Сумма возрастающих функций – возрастающая функция
(свойство 3). А возрастающая функция каждое свое значение принимает
лишь при одном значении аргумента (свойство 1). Следовательно, если
прямая у = 9 имеет общие точки с графиком функции f(х) = +
+ , то только одну точку.
Подбором можно найти, что f(х) = 9 при х = 3. Значит, прямая у = 9
пересекает график функции f(х) = + + в точке М(3; 9).
Пример 2.
Решим уравнение х
3
+ = 0.
Решение:
Легко видеть, что х = 1 корень уравнения. Покажем, что других корней это
уравнение не имеет. Действительно, область определения функции у = х
3
+ множество положительных чисел. На этом множестве функция
возрастает, так как каждая из функций у = х
3
, у = и у = на
промежутке (0; + ) возрастает. Следовательно, данное уравнение других
корней, кроме х = 1, не имеет.
Задания для работы в парах:
Определите характер монотонности функции:
у =
у =
у = +
у = +
Работая в парах учащиеся проговаривают друг другу какие свойства
монотонных функций использовали.
Решите уравнение: х
5
+ х
3
+ х = 42.
Решите систему уравнений:
+ (х у)
3
= 2,
х
2
6у + 1 = 0.
V. Итог урока
Контрольные вопросы:
Сформулируйте определение возрастающей и убывающей функций на
множестве Х.
Какая функция называется монотонной на множестве Х?
Приведите примеры возрастающей и убывающей функций.
VI. Домашнее задание
1. Докажите, что функция g(х) является убывающей функцией:
а) g(х) = , где х > .
б) g (х) = .
2. Докажите, что функция f(х) является возрастающей функцией:
а) f(х) = .
б) f(х) = (х 2)
2
, где х > 2.
3. Решите уравнение: х
2
+ = 15.