Конспект урока "Решение прикладных задач по теме «Наибольшее и наименьшее значение функции»" 10 класс


Решение прикладных задач по теме
«Наибольшее и наименьшее значение функции»
10 класс
Цели урока:
Общеобразовательные: углубление понимания сущности производной
путем применения её для получения новых знаний; установление
межпредметных связей.
Развивающие: формирование умений строить доказательство,
логическую цепочку рассуждений; формирование умений проводить
обобщение, переносить знания в новую ситуацию.
Воспитательные: воспитание познавательного интереса к учебному
предмету; воспитание у учащихся культуры логического мышления.
Девиз урока: В математике следует помнить не формулы, а процессы
мышления
В.П. Ермаков
Ход урока
Ребята, я хочу начать урок с фрагмента рассказа Л.Н. Толстого «Много
ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшему землю у
башкир.
- А цена какая будет?- говорит Пахом.
- Цена у нас одно: 1000 рублей в день.
Не понял Пахом.
- Какая же эта мера – день? Сколько в ней десятин будет?
- Мы этого, - говорит, - не умеем считать. А мы за день продаем; сколько
обойдешь в день, то и твое, а цена 1000 рублей.
Удивился Пахом.
- Да ведь это, - говорит, - в день обойти земли много будет.
Засмеялся старшина.
Вся твоя, - говорит. Только один уговор. Если назад не придешь в день к
тому месту, с какого возьмешься, пропади твои деньги.
- А как же, говорит Пахом, - отметить, где я пройду?
- А мы станем на место, где ты облюбуешь; мы стоять будем, а ты иди, делай
круг, а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, на углах ямки рой,
дернички клади; потом с ямки на ямку плугом пройдем. Какой хочешь круг
забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что
обойдешь, все твое.
Фигура, которая получилась у Пахома изображена на рисунке. Что за
фигура? (прямоугольная трапеция) Найдем её периметр. Р=2+13+15+10=40
км. Какова Площадь этой трапеции?
2
7813
2
102
кмS
Ребята, как вы думаете, наибольшую ли площадь получил Пахом
учетом того, что участки обычно имеют форму четырехугольника)?
Сегодня на уроке мы это выясним и научимся переводить задачу на
язык математики, конструировать математическую модель, выделять
математическую идею.
Чтобы решить поставленную задачу, нам необходимо вспомнить:
алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции;
какие точки называются критическими;
этапы работы с моделью.
Решим задачу 953а: Периметр прямоугольника равен 56 см. Какую
длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была
наибольшей?
I этап. Составление математической модели
Оптимизируемая величина (О.В.) площадь, S. Площадь зависит от
длины и ширины. Объявим независимой переменной (Н.П.) длину
прямоугольника и обозначим её за х, (28-х) ширина прямоугольника, тогда
0 < x < 28 - реальные границы изменений независимой переменной.
Записываем функцию: S(x) = x(28-x) Математическая модель составлена.
II этап. Работа с составленной моделью
На этом этапе для функции S(x) хЄ(0;28) надо найти Sнаиб.
Воспользуемся алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего
значения:
S(x)=28-x
2
; S
|
(x)=28-2x; S
|
(x)=0; 2(14-x)=0; x=14
Заданному интервалу точка принадлежит. Свое наибольшее значение
функция S(x) = x(28-x) достигает при х=14 и Sнаиб = 196/
III этап. Ответ на вопрос задачи
Мы выяснили, что длина участка, имеющего наибольшую площадь
равна 14, ширина равна 14.
А теперь вернемся к задаче, с которой мы начали урок. Значит какую
фигуру Пахом должен был обойти? Р = 40км , а = 10км, Значит Sнаиб =
100кв.км
Решим следующую задачу: Для конструкторского бюро строится
комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из стен которой
должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота
комнаты должна быть 4м., а площадь 80 кв.м. Известно, что 1 кв.м.
стеклянной стены стоит 75 рублей, а из обычного материала 50 рублей.
Какими должны быть размеры комнаты, чтобы общая стоимость всех стен
была наименьшей?
I этап. Моделирование.
S (ABCD) = ab = 80 м
2
S(A.B.C.D.) = ah = 4a м
2
Найдем стоимость стены AA.BB.:
P(AA
1
BB
1
) = 75*4a = 300a м
S(AA
1
DD
1
) = bh = 4b, тогда Р(AA
1
DD
1
) = 200b
S(BB
1
CC
1
) = bh = 4b, тогда Р(BB
1
CC
1
) = 200b
S(CC
1
DD
1
) = ah = 4a, тогда Р(CC
1
DD
1
) = 50*4а = 200а
Общая стоимость всех стен
Р1= 300а + 400b + 200а = 500а + 400b, aЄ(0;80/b]
Математическая задача: исследовать функцию на наименьшее значение
на заданном промежутке.
II этап. Работа с математической моделью
Р
1
=500а + 400b,
a
b
b
a
80
,
80
;0(
0;
3200
500
1
a
a
aP
0;
32005003200
500
2
2
2
1
1
a
a
a
a
P
8;64;3200500
22
aaa
a=-8 не удовлетворяет условию задачи.
S
наим
достигается при а=8
III этап.
Ширина стеклянной стены должна быть равна 8м, а обычной 10м.
При таких размерах общая стоимость всех стен окажется наименьшей и
равной 8000 рублей
Подведение итогов
Домашнее задание: 952а, 953б, 95