Решение финансовой задачи №17 ЕГЭ профильного уровня. Дифференцированный платеж
Решение финансовой задачи №17 ЕГЭ профильного уровня.
Дифференцированный платеж
Ключевые слова: «… долг должен быть на одну и ту же величину меньше…»
Таблица
Период
Банк
Заёмщик
Остаток
Проценты
Основной
долг
Пример 1.
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 3,6 млн. рублей на 24
месяца. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом
предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину
меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?
Решение:
При прочтении условия задачи обнаруживаем ключевые слова «долг
должен быть на одну и ту же величину меньше», что помогает нам
определить тип платежа – дифференцированный.
Заполняем таблицу:
Период
Банк
(млн. руб.)
Заёмщик
Остаток долга
(млн.руб.)
Проценты
Основной
долг
0
3,6
3,6
1
3,6 + 3,6·0,01
3,6·0,01
=0,15
2
+
0,15
3
+
0,15
…
11
0,15
12
0,15
13
…
23
24
0
Пояснения:
В столбец «Период» вносим названия или порядковый номер месяца, года …
0 период - момент взятия кредита, когда ничего не происходит, просто банк
выдает определённую сумму – вносим в графу «Банк». Если начальная сумма
неизвестна, то в столбце «Банк» пишем S
0
.
В столбец «Банк» вносим суммы (выражения для сумм), которые начисляет
банк (ежемесячно, ежегодно). Лучше вносить в виде остаток долга +
проценты на остаток долга. Остаток долга берём из графы «Остаток долга»,
проценты на остаток долга считаем по формуле остаток долга
, где r –
количество процентов, на которое каждый месяц возрастает остаток долга.
Столбец «Заемщик» разделен на две графы, так как его ежемесячный платеж
состоит из двух частей: 1 – выплата процентов на остаток долга , 2 – выплата
основного долга. При этом основной долг делится на равные части и
вносится одно и то же число в каждую строку таблицы. В данном примере
=0,15. Если сумма долга большая или неизвестна, можно писать S
0.
Столбец «Остаток долга». Каждый отчетный период (месяц, год) долг
уменьшается на
от S
0
. В данном примере - на
от 3,6 млн. рублей, т.е.
становится равной
S
0
,
S
0
, …,
S
0
, 0.
Сумму которую должен отдать заемщик можно подсчитать, просуммировав
значения столбцов заемщика – «Проценты» и «Основной долг». Так как в
данном примере нужно найти сумму, выплачиваемую за первый год, то
суммируем только 1- 12 строки. Получаем:
Проценты
3,6·0,01 +
+
+ … +
= 3,6 · 0,01 · (1 +
+
+
… +
) = 0,333
Сумму числителей в скобках считаем по формуле суммы n первых членов
арифметической прогрессии 24+23+22+ … +13 =
= 222
Основной долг:
0,15 12 = 1,8
Всего выплаты за первый год:
0,333 + 1,8 = 2,133 млн. рублей = 2 133 000 рублей.
Ответ: 2 133 000 рублей нужно вернуть банку в течение первого года
кредитования.
Пример 2.
15 января планируется взять кредит в банке на 16 месяца. Условия его
возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом
предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину
меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь
срок кредитования, на 17% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.
Решение:
По ключевым словам определяем, что задача на дифференцированный
платеж. Заполняем таблицу
Период
Банк
Заёмщик
Остаток
Проценты
Основной
долг
0
S
0
1
S
0
+
S
0
S
0
S
0
2
S
0
+
S
0
S
0
S
0
…
15
S
0
16
S
0
+
S
0
S
0
0
Известно, что сумма, которую нужно выплатить на 17% больше, чем та,
которая взята в кредит, т.е. она составляет 117% от S
0
.
Сумма, которую нужно выплатить состоит из основного долга S
0
и
процентов, выплаченных заемщиком (графа «Проценты»). Получаем
S
0
+
S
0
+ … +
S
0
+ S
0
=
S
0
,
Разделим обе части уравнения на S
0
и
вынесем за скобку:
· (1 +
+
+ … +
) + 1 =
, (сумму числителей в скобках вычисляем
с помощью формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии)
=
, r = 2.
Ответ: r = 2%
Обществознание - еще материалы к урокам:
- Конспект по подготовке к ЕГЭ "Рынок труда. Безработица"
- Рабочая программа по обществознанию 8 класс на 2020-2021 учебный год (УМК Л.Н. Боголюбов)
- Школьный этап Всероссийской олимпиады по обществознанию 9 класс
- Классный час "Экология слова и мысли"
- Тест "Правовые отношения" 9 класс
- Классный час "4 октября - День Гражданской обороны России"
