Презентация "Решение планиметрических задач высокого уровня сложности" 9 класс

МАОУ «Белоевская СОШ»

• МАОУ «Белоевская СОШ»

• Автор:
• Батина Надежда Ивановна учитель математики высшей категории

• 2014

Углы при одном из оснований трапеции равны 23° и 67°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 15 и 8. Найдите основания трапеции.

• Углы при одном из оснований трапеции равны 23° и 67°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 15 и 8. Найдите основания трапеции.

Продолжим прямые AB и CD до пересечения их в точке O, тогда точка O лежит на прямой,

• Продолжим прямые AB и CD до пересечения их в точке O, тогда точка O лежит на прямой,
• проходящей через середины оснований.
• Поскольку ∠A и ∠D в сумме дают 90°, то угол O – прямой.

Докажем, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности длин оснований. Проведем

• Докажем, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности длин оснований. Проведем
• через точку С прямые CE и CK, параллельные AB и OM соответственно, тогда CK – медиана прямоугольного треугольника ECD, поэтому
• CK = 1/2 ED = 1/2 (AD - BC).
• Из условия задачи PM=8, а средняя линия трапеции 15.

Далее

• Далее
• PM = CK = 1/2 (AD - BC) = 8;
• 1/2 (AD + BC) = 15.
• Решая полученную систему, имеем:
• BC = 7,
• AD=23.
• Ответ: 7 и 23.

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов C и D пересекаются в точке G. Найдите FG, если средняя линия равна 21, боковые стороны 13 и 15.

• Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов C и D пересекаются в точке G. Найдите FG, если средняя линия равна 21, боковые стороны 13 и 15.

1. Доказать, что AFB –прямоугольный;

• 1. Доказать, что AFB –прямоугольный;
• 2. Доказать, что FM||AD
• (воспользоваться свойством медианы прямоугольного треугольника);
• 3. Значит, MF лежит на средней линии MN.
• Аналогично для отрезка NG.
• 4. FG = MN – 1/2 AB – 1/2 CD
• Ответ: FG=7.

В параллелограмме ABCD длина диагонали BD равна 2, угол C равен 75°. Окружность, описанная около треугольника ABD, касается прямой BC. Найдите площадь параллелограмма.

• В параллелограмме ABCD длина диагонали BD равна 2, угол C равен 75°. Окружность, описанная около треугольника ABD, касается прямой BC. Найдите площадь параллелограмма.

BC – касательная к окружности, описанной около треугольника ABD. Пусть O – центр этой окружности, тогда OB⊥BC, значит OB⊥AD. Хорда AD перпендикулярна к диаметру,

• BC – касательная к окружности, описанной около треугольника ABD. Пусть O – центр этой окружности, тогда OB⊥BC, значит OB⊥AD. Хорда AD перпендикулярна к диаметру,
• значит, AK = KD.

Итак, BK – медиана и высота треугольника ABD, поэтому AB = BD = 2.

• Итак, BK – медиана и высота треугольника ABD, поэтому AB = BD = 2.
• ∠A = ∠D = 75°, значит,
• ∠B = 30°
• Площадь параллелограмма
• в два раза больше площади треугольника ABD, следовательно:
• S = AB · BD · sin 30° = 2
• Ответ: 2.