Сборник задач ЕГЭ по математике профильного уровня
Сборник задач ЕГЭ по математике
профильного уровня
Задание 1 .......................................................................................................................... 2
Задание 2 .......................................................................................................................... 5
Задание 3 ........................................................................................................................ 12
Задание 4 ........................................................................................................................ 16
Задание 5 ........................................................................................................................ 19
Задание 6 ........................................................................................................................ 21
Задание 7 ........................................................................................................................ 24
Задание 8 ........................................................................................................................ 30
Задание 9 ........................................................................................................................ 34
Задание 10 ...................................................................................................................... 36
Задание 11 ...................................................................................................................... 40
Задание 12 ...................................................................................................................... 43
Задание 13 ...................................................................................................................... 45
Задание 14 ...................................................................................................................... 48
Задание 15 ...................................................................................................................... 52
Задание 16 ...................................................................................................................... 55
Задание 17 ...................................................................................................................... 58
Задание 18 ...................................................................................................................... 63
Задание 19 ...................................................................................................................... 66
2
Задание 1
Темы: алгебраические выражения, текстовые задачи на составление уравнений
1.
Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога
на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет
заработная плата Марии Константиновны?
2.
Для приготовления вишнёвого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг сахара.
Какое наименьшее количество килограммовых упаковок сахара нужно, чтобы сварить
варенье из 23 кг вишни?
3.
Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно
купить на 60 рублей?
4.
Железнодорожный билет для взрослого стоит 500 рублей. Стоимость билета
для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из
16 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?
5.
Флакон шампуня стоит 150 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно
купить на 800 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?
6.
В городе N живет 2000000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди
взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько
взрослых жителей работает?
7.
Стоимость проездного билета на месяц составляет 207 рублей, а стоимость
билета на одну поездку — 21 рубль. Аня купила проездной и сделала за месяц
40 поездок. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы покупала билеты на
одну поездку?
8.
Летом килограмм клубники стоит 60 рублей. Маша купила 3 кг 800 г клубники.
Сколько рублей сдачи она должна была получить с 250 рублей?
9.
В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется
900 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 5 недель?
10.
Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого
показывает скорость в милях в час. Какова скорость автомобиля в километрах в час,
3
если спидометр показывает 29 миль в час? Считайте, что 1 миля равна 1609 м. Ответ
округлите до целого числа.
4
Ответы
1. 11000.
2. 35.
3. 8.
4. 5500.
5. 7.
6. 935000.
7. 633.
8. 22.
9. 9.
10. 47.
5
Задание 2
Тема: графики и диаграммы
1.
На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в
Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа
месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные
точки соединены линией. Определите по рисунку, какой была наименьшая
среднесуточная температура за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.
6
2.
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге
(Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по
вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую
среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1973 года включительно.
Ответ дайте в градусах Цельсия.
7
3.
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков,
выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа
месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в
миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.
Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков.
4.
На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в
Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа
месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные
точки соединены линией. Определите по рисунку, какая была температура 15 июля.
Ответ дайте в градусах Цельсия.
8
5.
Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила,
действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта
зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в
километрах в час), на оси ординат – сила (в тоннах силы). Определите по рисунку,
чему равна подъемная сила (в тоннах силы) при скорости 200 км/ч?
6.
На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его
оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси
ординат — крутящий момент в Н⋅м. Чему равен крутящий момент (в Н⋅м), если
двигатель делает 1500 оборотов в минуту?
9
7.
При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в
электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в
цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы
фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по
рисунку, какое напряжение будет в цепи через 2 часа работы фонарика. Ответ дайте в
вольтах.
8.
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех
суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение
температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру
воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.
10
9.
На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси
абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси
ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, за
сколько минут двигатель нагреется с 50°C до 80°C.
10.
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков,
выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа
месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в
миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.
Определите по рисунку, какого числа впервые выпало 5 миллиметров осадков.
11
Ответы
1. 16.
2. –6.
3. 4.
4. 16.
5. 1.
6. 60.
7. 1,2.
8. –10.
9. 4.
10. 11.
12
Задание 3
Тема: площади плоских фигур
1.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён
треугольник ABC. Найдите длину его средней линии,
параллельной стороне AB.
2.
Найдите площадь треугольника, вершины
которого имеют координаты (0;0), (10;8), (8;10).
3.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
4.
Найдите (в см2) площадь S кольца, изображённого на
клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). В ответе
запишите S / π.
13
5.
Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
6.
Найдите градусную меру дуги BC окружности, на которую
опирается
угол BAC. Ответ дайте в градусах.
7.
Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см.
рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
14
8.
Найдите площадь квадрата, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см
(см. рис.) Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
9.
Найдите площадь S круга, считая стороны
квадратных клеток равными 1. В ответе укажите S/π.
10.
Прямая a проходит через точки с координатами
(0, 4) и (6, 0). Прямая b проходит через точку с
координатами (0, 8) и параллельна прямой a. Найдите
абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.
15
Ответы
1. 1,5.
2. 18.
3. 2,5.
4. 3.
5. 45.
6. 45.
7. 6.
8. 10.
9. 5.
10. 12.
16
Задание 4
Тема: теория вероятностей
1.
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент
сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка
остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.
2.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность
того, что сумма выпавших очков равна 8. Результат округлите до тысячных.
3.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
4.
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из
США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется
из Китая.
5.
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают.
Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не
подтекает.
6.
Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников
разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в
чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 13 спортсменов из России, в том
числе Владимир Егоров. Найдите вероятность того, что в первом туре Владимир
Егоров будет играть с каким-либо спортсменом из России.
7.
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с
вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3.
Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет
фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
8.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая
фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая –– 55%. Первая фабрика выпускает
3% бракованных стекол, а вторая –– 1%. Найдите вероятность того, что случайно
купленное в магазине стекло окажется бракованным.
17
9.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того,
что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе
закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня
кофе останется в обоих автоматах.
10.
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент
должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов —
математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность
«Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов —
математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З.
получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по
иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того,
что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
18
Ответы
1. 0,5.
2. 0,139.
3. 0,5.
4. 0,25.
5. 0,995.
6. 0,48.
7. 0,156.
8. 0,021.
9. 0,58.
10. 0,408.
19
Задание 5
Тема: простейшие уравнения с одной переменной
1.
Найдите корень уравнения
s–119
= —5
.
s+7
2.
Найдите корень уравнения
log
2
(
4 — 𝑥
)
= 7
.
3.
Найдите корень уравнения
(
1
)
s–7
= 3
.
9
4.
Решите уравнение
cos
n(s–7)
=
1
. В ответ запишите наибольший отрицательный
3 2
корень.
5.
Найдите корень уравнения
16
s–9
=
1
.
2
6.
Найдите корень уравнения
√
15 — 2𝑥
=
3.
7.
Найдите корень уравнения
log
7
(
6 + 𝑥
)
= 2
.
8.
Найдите корень уравнения
log
4
(
𝑥 + 3
)
= log
4
(
4𝑥 — 15
)
.
9.
Найдите положительный корень уравнения
s
log
2
4
=
3
log
3
2
.
s
10.
Решите уравнение √𝑥
3
— 4𝑥
2
+
4𝑥
=
1. В ответ укажите рациональный
корень.
20
Ответы
1. 14.
2. –124.
3. 6,5.
4. –4.
5. 8,75.
6. 3.
7. 43.
8. 6.
9. 2.
10. 1.
21
Задание 6
Тема: простейшая планиметрия
1.
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного
треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь
этого треугольника.
2.
Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь
меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.
3.
Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше
площади квадрата, вписанного в эту окружность?
4.
У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены
высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к
первой стороне, равна 4. Чему равна высота,
проведенная ко второй стороне?
5.
Основания равнобедренной трапеции равны
14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь
трапеции.
6.
Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр
которого равен 20. Найдите его площадь.
7.
В треугольнике ABC угол A равен 40°,
внешний угол при вершине B равен 102°.
Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
22
8.
В треугольнике ABC угол C равен 90°,
угол A равен 30°, AB=2
√
3. Найдите высоту CH.
9.
Один угол параллелограмма больше
другого на 70°. Найдите больший угол. Ответ
дайте в градусах.
10.
Основания трапеции равны 3 и 2.
Найдите отрезок, соединяющий середины
диагоналей трапеции.
23
Ответы
1. 25.
2. 50.
3. 2.
4. 6.
5. 160.
6. 30.
7. 62.
8. 1,5.
9. 55.
10. 0,5.
24
Задание 7
Тема: геометрический смысл производной и первообразной
1.
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на
интервале (−2;12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
2.
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с
абсциссой x
0
. Найдите значение производной функции f(x) в точке x
0
.
25
3.
На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5;5).
Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
4.
Прямая y=−5x+8 является касательной к графику функции 28x
2
+bx+15.
Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
5.
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на
интервале (−6;8). Определите количество целых точек, в которых производная
функции положительна.
26
6.
На рисунке изображен график y=f′(x) — производной функции f(x),
определенной на интервале (−7;14). Найдите количество точек максимума функции
f(x), принадлежащих отрезку [−6;9].
7.
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с
абсциссой x
0
. Найдите значение производной функции f(x) в точке x
0
.
27
8.
На рисунке изображён график функции y=f (x) и восемь точек на оси
абсцисс: x
1
, x
2
, x
3
, …, x
8
. В скольких из этих точек производная функции f
(x) положительна?
9.
На рисунке изображён график y=f ′(x) — производной функции f (x). На оси
абсцисс отмечено восемь точек: x
1
, x
2
, x
3
, …, x
8
. Сколько из этих точек лежит на
промежутках убывания функции f(x)?
28
10.
На рисунке изображен график функции y=f (x) и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В
какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
29
Ответы
1. 44.
2. –0,2.
3. 4.
4. –33.
5. 4.
6. 1.
7. 2.
8. 5.
9. 5.
10. –2.
30
Задание 8
Тема: основы стереометрии
1.
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность
основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром
основания конуса. Радиус сферы равен 10
√
2. Найдите образующую
конуса.
2.
Найдите объём многогранника, вершинами
которого являются точки A, D, A
1
, B, C, B
1
прямоугольного параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, у
которого AB=3, AD=4, AA
1
=5.
3.
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара
равен 28. Найдите объём конуса.
4.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
все ребра равны 1.
Найдите расстояние между точками A и E
1
.
5.
Найдите расстояние между
вершинами A и C
2
многогранника, изображенного на
рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
31
6.
Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
7.
Объем параллелепипеда
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равен 1,5. Найдите объем треугольной
пирамиды ABCB
1
.
8.
Объём тетраэдра равен 190. Найдите объём
многогранника, вершинами которого являются
середины рёбер данного тетраэдра.
9.
Дано два шара. Радиус первого
шара в 70 раз больше радиуса второго.
Во сколько раз площадь поверхности
первого шара больше площади
поверхности второго?
32
10.
В сосуд, имеющий форму правильной
треугольной призмы, налили 2300 cм
3
воды и
полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень
жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до
отметки 27 см. Чему равен объем детали? Ответ
выразите в cм
3
.
33
Ответы
1. 20.
2. 30.
3. 7.
4. 2.
5. 3.
6. 80.
7. 0,25.
8. 95.
9. 4900.
10. 184.
34
Задание 9
Темы: алгебраические выражения, иррациональные выражения, степени и
логарифмы, основы тригонометрии
1. Найдите значение выражения
12
sin
11°
cos
11°
.
sin 22°
2. Найдите sin (
7n
— 𝛼), если sin 𝛼
=
0,8 и 𝛼 ∈ (
n
; 𝜋).
2 2
3.
Найдите значение выражения
(
4𝑎
2
— 9
)
∙ (
1
—
1
).
2a–3 2a+3
4.
Найдите значение выражения log
5
9 ∙ log
3
25.
5.
Найдите
значение
выражения
ƒ
(
𝑎
—
6
)
2
+
ƒ
(
𝑎
—
10
)
2
при
6
≤
𝑥
≤
10
.
6.
Найдите значение выражения 5(p(2x)−2p(x+5)), если p(x)=x−10.
7.
Найдите значение выражения
36
√
6 tg
G
sin
G
.
6 4
2
8.
Найдите значение выражения
(√13+√7)
10+
√
91
9.
Найдите значение выражения
15
∙
5
ƒ
28
√
𝑎
—
7
∙
7
ƒ
20
√
𝑎
при a > 0.
2
35
ƒ
4
√
𝑎
10.
Найдите
значение
выражения
6
log
7
3
√
7
.
35
Ответы
1. 6.
2. 0,6.
3. 6.
4. 4.
5. 4.
6. 0.
7. 36.
8. 2.
9. 11.
10. 2.
36
2
Задание 10
Тема: задачи с физическим смыслом
1.
При температуре 0℃ рельс имеет длину 𝑙
0
=
10 м. При возрастании
температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в
метрах,
меняется
по
закону
𝑙
(
𝑡°
)
=
𝑙
0
(
1
+
𝛼
∙
𝑡
°
)
,
где
𝛼
=
1,2
∙
10
–5
(
℃
)
–1
—
коэффициент теплового расширения, 𝑡° — температура (в градусах Цельсия). При
какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
2.
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран.
После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в
нём,
выраженная
в
метрах,
меняется
по
закону
𝐻
(
𝑡
)
=
𝐻
0
—
ƒ
2𝑔
𝐻
0
𝑘𝑡
+
g
𝑘
2
𝑡
2
,
где
𝑡
— время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,
𝐻
0
= 20
м —
начальная высота столба воды,
𝑘 =
1
50
— отношение площадей поперечных сечений
крана и бака, а
𝑔
— ускорение свободного падения (считайте
𝑔 = 10
м/с
2
). Через
сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального
объёма воды?
3.
Некоторая компания продает свою продукцию по цене p=400 руб. за единицу,
переменные затраты на производство одной единицы продукции
составляют v=200 руб., постоянные расходы предприятия f=700000 руб. в месяц.
Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по
формуле π(q)=q(p−v)−f. Определите месячный объём производства q (единиц
продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет
равна 600000 руб.
4.
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет
время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды
по формуле h=5t
2
, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До
дождя время падения камешков составляло 1,1 с. На сколько должен подняться
уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ
выразите в метрах.
37
5.
Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-
монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q=85−5p. Выручка предприятия
за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q⋅p. Определите наибольшую
цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 350 тыс. руб. Ответ
приведите в тыс. руб.
6.
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по
закону h(t)=2+11t−5t
2
, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с
момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 8метров?
7.
Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной
плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на
дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в
верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет
положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной
нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна
v
2
,
𝑃
= 𝑚 (
L
—
𝑔)
где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина
верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g=10м/с2). С какой
наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина
верёвки равна 211,6 см? Ответ выразите в м/с.
8.
Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к
горизонту. Траектория полета камня описывается формулой y=ax
2
+bx, где
𝑎
=
—
1
400
м
–1
,
𝑏 =
3
— постоянные параметры, x (м) — смещение камня по
8
горизонтали, y (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии
(в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы
камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?
9.
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была
получена зависимость температуры от времени работы: T(t)=T
0
+bt+at
2
, где t — время в
минутах, T
0
=1220 К, a=−20 К/мин
2
, b=200 К/мин. Известно, что при температуре
нагревательного элемента свыше 1400 К прибор может испортиться, поэтому его
нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы
нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.
38
10.
Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая
равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается
катушка, изменяется со временем по закону
𝜑 = 𝜔𝑡 +
þt
2
, где t — время в минутах,
2
𝜔 = 45°
/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а
𝛽 = 6°
/мин
2
—
угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход
его намотки не позже того момента, когда угол намотки φ достигнет 1350°.
Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен
проверить её работу. Ответ выразите в минутах.
39
Ответы
1. 25.
2. 50.
3. 6500.
4. 1,05.
5. 10.
6. 0,2.
7. 4,6.
8. 120.
9. 1.
10. 15.
40
Задание 11
Тема: текстовые задачи на составление уравнений
1.
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал
с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со
скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей
скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым
автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
2.
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая.
Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375
литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар
объемом 500 литров?
3.
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно
выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает
на 25 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если
известно, что он прибыл в пункт В на 1 час 40 минут позже автомобилиста. Ответ
дайте в км/ч.
4.
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В,
расстояние между которыми равно 204 км. На следующий день он отправился обратно
со скоростью на 5 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 5 часов. В
результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в
В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
5.
Моторная лодка прошла против течения реки 221 км и вернулась в пункт
отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения,
если скорость лодки в неподвижной воде равна 15 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
6.
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 551 км и после
стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость
теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт
отправления теплоход возвращается через 53 часа после отплытия из него. Ответ
дайте в км/ч.
41
7.
От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 165 км,
отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого
следом за ним, со скоростью на 4 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость
первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте
в км/ч.
8.
Заказ на 255 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй.
Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает
на 2 детали больше?
9.
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько
дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 4 дня
выполняет такую же часть работы, какую второй — за 3 дня?
10.
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая.
Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом
696 литров она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар
объемом 667 литров?
42
Ответы
1. 32.
2. 25.
3. 20.
4. 12.
5. 2.
6. 5.
7. 11.
8. 15.
9. 28.
10. 24.
43
Задание 12
Тема: исследование функций с помощью производной
1.
Найдите наименьшее значение функции 𝑦
=
20tg 𝑥 — 20𝑥 — 5𝜋
+
8 на
отрезке [—
n
;
n
].
4 4
2.
Найдите наибольшее значение функции y = ln(x+8)
9
−9x на отрезке [−7,5;0].
3.
Найдите наименьшее значение функции y = (x−8)e
x–7
на отрезке [6;8].
4.
Найдите точку максимума функции
𝑦 = 11
6s–s
2
.
5.
Найдите точку максимума функции 𝑦
=
log
2
(
2 + 2𝑥 — 𝑥
2
)
— 2.
6.
Найдите точку максимума функции 𝑦
=
√4 — 4𝑥 — 𝑥
2
.
7.
Найдите наименьшее значение функции
𝑦 = 𝑥
3
+ 6𝑥
2
+ 9𝑥 + 21
на отрезке [–
3; 0].
8.
Найдите наибольшее значение функции 𝑦
=
12 cos 𝑥
+
6
√
3 ∙ 𝑥 — 2
√
3𝜋+ 6 на
отрезке [0;
n
].
2
9.
Найдите наибольшее значение функции y=3x
5
−5x
3
+1 на отрезке [− 7; 0].
10.
Найдите точку максимума функции y=x
3
−12x
2
+36x−30.
44
Ответы
1. 28.
2. 63.
3. –1.
4. 3.
5. 1.
6. –2.
7. 17.
8. 12.
9. 3.
10. 2.
45
Задание 13
Темы: основы тригонометрии, показательные уравнения и неравенства,
логарифмические уравнения и неравенства
1.
а) Решите уравнение
2 cos
3
𝑥 + √3 cos
2
𝑥 + 2 cos 𝑥 + √3 = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [—2𝜋; —
n
].
2
2.
а) Решите уравнение
log
4
(
sin 𝑥 + sin 2𝑥 + 16
)
= 2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [—4𝜋; —
5n
].
2
3.
а) Решите уравнение
cos 2𝑥 + sin
2
𝑥 = 0,75.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [𝜋;
5n
].
2
4.
а) Решите уравнение
15
cos s
= 3
cos s
⋅ 5
sin s
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5𝜋;
13n
].
2
5.
а) Решите уравнение
(16
sin s
)
cos s
= 4
√
3 sin s
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3𝜋;
9n
].
2
6.
а) Решите уравнение
2 cos
2
3𝜋
𝑥
=
√3 sin
(
2
+
𝑥).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [𝜋;
5n
].
2
7.
а) Решите уравнение
6 cos
2
𝑥
+
5 sin 𝑥 — 2
=
0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [—
5n
; —𝜋].
2
46
3
8.
а) Решите уравнение
(
1
)
cos s
= 9
2 sin 2s
.
81
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [—2𝜋; —
n
].
2
9.
а) Решите уравнение
2 log
2
(
2 cos 𝑥
)
— 5 log
3
(
2 cos 𝑥
)
+ 2
=
0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [𝜋;
5n
].
2
10.
а) Решите уравнение
—√2 sin (—
5𝜋
+ 𝑥) ⋅ sin 𝑥 = cos 𝑥.
2
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [
9n
; 6𝜋].
2
47
1. а)
±
5n
+
2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ ℤ; б) —
7n
;—
5n
.
Ответы
6 6 6
2. а) 𝜋𝑛;
±
2n
+
2𝜋𝑘, 𝑛, 𝑘 ∈ ℤ; б) —4𝜋; —
10n
; —3𝜋;—
8n
.
3 3 3
3. а)
±
n
+
𝜋𝑛
,
𝑛 ∈
ℤ; б)
7n
;
11n
;
13n
.
6 6 6 6
4. а)
n
+
𝜋𝑘, 𝑘 ∈ ℤ; б)
21n
;
25n
.
4 4 4
5. а) 𝜋𝑛;
±
n
+
2𝜋𝑘, 𝑛, 𝑘 ∈ ℤ; б) 3𝜋;
23n
; 4𝜋;
25n
.
6 6 6
6. а)
±
5n
+ 2𝜋𝑛
;
n
+ 𝜋𝑘
,
𝑛, 𝑘 ∈
ℤ; б)
7n
;
3n
;
5n
.
6 2 6 2 2
7. а)
(
—1
)
n+1
n
+
𝜋𝑛, 𝑛 ∈ ℤ; б) —
13n
.
6 6
8. а)
n
+
𝜋𝑘;
(
—1
)
n+1
n
+
𝜋𝑛, 𝑛, 𝑘 ∈ ℤ; б) —
3n
;—
5n
;—
n
.
2 6 2 6 2
9. а)
±
n
+
2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ ℤ; б)
11n
;
13n
.
6 6 6
10. а)
n
+
𝜋𝑘,
(
—1
)
n
n
+
𝜋𝑛, 𝑛, 𝑘 ∈ ℤ; б)
9n
;
19n
;
11n
.
2 4 2 4 2
48
Задание 14
Тема: стереометрия
1.
В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
𝐷
1
все рёбра равны 4. На его ребре 𝐵𝐵
1
отмечена точка K
так, что 𝐾𝐵
=
3. Через точки K и 𝐶
1
проведена плоскость α, параллельная прямой 𝐵𝐷
1
.
а) Докажите, что 𝐴
1
𝑃: 𝑃𝐵
1
=
2: 1, где P – точка пересечения плоскости α с
ребром 𝐴
1
𝐵
1
.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани 𝐵𝐵
1
𝐶
1
𝐶.
2.
Сечением прямоугольного параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
𝐷
1
плоскостью α,
содержащей прямую 𝐵𝐷
1
и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD – квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и
𝐵𝐶𝐶
1
, если
𝐴𝐴
1
= 10
,
𝐴𝐵 = 12
.
3.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а
боковое ребро SA равно 4. Точки M и N – середины рёбер SA и SB соответственно.
Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания
пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1,
считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC
плоскостью α.
4.
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD
со сторонами
𝐴𝐵 = 8
и
𝐵𝐶 = 6
. Длины боковых рёбер пирамиды
𝑆𝐴 =
√
21
,
𝑆𝐵 =
√
85
,
𝑆𝐷 =
√
57
.
а) Докажите, что SA – высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
49
5.
В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC
со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка
T так, что
𝐴𝑇: 𝑇𝐷 = 1: 2
. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена
плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является
прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
6.
В правильной треугольной призме
𝐴𝐵𝐶𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
сторона AB основания равна 6, а
боковое ребро
𝐴𝐴
1
равно 3. На ребрах AB и
𝐵
1
𝐶
1
отмечены точки K и L
соответственно, причём
𝐴𝐾 = 𝐵
1
𝐿 = 2
. Точка M – середина ребра
𝐴
1
𝐶
1
. Плоскость γ
параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой – точка M, а основание –
сечение данной призмы плоскостью γ.
7.
В правильной четырёхугольной призме
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
𝐷
1
сторона AB основания
равна 8, а боковое ребро
𝐴𝐴
1
равно
4
√
2
. На рёбрах BC и
𝐶
1
𝐷
1
отмечены точки K и L
соответственно, причем
𝐵𝐾 = 𝐶
1
𝐿 = 2
. Плоскость γ параллельна прямой BD и
содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая 𝐴
1
𝐶 перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
8.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна
16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K
соответственно, причем
𝐴𝑀 = 𝐷𝑁 = 4
и
𝐴𝐾 = 3
.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC.
50
9.
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной
𝐴𝐵 = 5
и диагональю
𝐵𝐷 = 9
. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали
BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS – точка F так, что
𝑆𝐹 = 𝐵𝐸 = 4
.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки
Q до плоскости ABC.
10.
На рёбрах AB и DC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N
соответственно, причём
𝐴𝑀: 𝑀𝐵 = 𝐶𝑁: 𝑁𝐵 = 1: 2
. Точки P и Q – середины рёбер DA
и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM
разбивает пирамиду.
51
Ответы
1.
б) arctg
√17
.
3
2.
б) arctg
13
.
5
3. б)
8 + 2
√
2
.
4. б) arccos
14
.
55
5. б) 10.
6. б) 6
√
3.
7. б)
2√10
.
5
8. б)
12√5
.
5
9. б)
5√19
.
18
10. б) 13:23.
52
5
Задание 15
Тема: алгебраические неравенства, показательные уравнения и неравенства,
логарифмические уравнения и неравенства
1.
Решите неравенство
log
2
(
25 — 𝑥
2
)
— 3 log
5
(
25 — 𝑥
2
)
+ 2
≤
0.
2.
Решите неравенство
2 log
5
(
𝑥
2
— 5𝑥
)
log
5
𝑥
2
≤ 1.
3.
Решите систему неравенств
{
5
s+2
+ 2 ⋅ 5
–s
≤ 51,
log
2s
0,25
≤
log
2
32𝑥 — 1.
4.
Решите систему неравенств
log
4–s
(
28 — 3𝑥 — 𝑥
2
)
≤
1,
5.
Решите неравенство
{
𝑥
+
7
+
14𝑥
—
24
𝑥
2
— 4𝑥
+
3
≤
5
.
𝑥 — 1
9 log
12
6.
Решите неравенство
(
𝑥
2
— 3𝑥 — 4
)
≤ 10 + log
12
(
𝑥 + 1
)
9
𝑥 — 4
.
2
≤
5
.
7
s
— 7 7
s
— 4
7.
Решите неравенство
2
s
2
s
+ 1 5
2
s
— 3
+
2
s
— 2
+
4
s
— 5 ⋅ 2
s
+ 6
≤ 0.
8.
Решите систему неравенств
{
3
s+1
+ 10 ⋅ 3
–s
≤ 31,
log
2s
4 + 3 ≤ log
2
8𝑥 .
9.
Решите систему неравенств
2
4s
≤ 65 + 4
s+3
,
{
𝑥 3 — 𝑥
2
log
s+5
𝑥 — 3
≤ 1 — log
s+5
(
𝑥
) .
53
10.
Решите неравенство
log
(
𝑥
+
4
)
+
log
2
√
3
49 (
s
+8s+16
)
7 ≤ — .
4
54
2
Ответы
1. (—5; —
√
20]∪
{
0
}
∪ [
√
20; 5).
2.
(
—1; 0
)
∪
(
5; +∞
)
.
3. (0;
1
]∪ [
1
; log
5
2].
8 4
4.
{
—6
}
∪
(
3; 4
)
.
5.
[
—8; —1
)
∪
(
4; 16
]
.
6.
(
—∞; 2 log
7
2
)
∪
(
1; 2 log
7
3
]
.
7.
{
0
}
∪
(
1; log
2
3
)
.
8. [
1
;
1
)∪
[
2; log
3
10
]
.
4 2
9.
(
—5; —4
)
∪
[
—3; —1
]
∪ (3;
1
log 65].
2
10. (—4; —
27
]∪ [
1
— 4; —3).
7
√
7
55
Задание 16
Тема: планиметрия
1.
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD
перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в
точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки
AM и CN пересекаются в точке P.
а) Докажите, что в четырехугольник ABCP можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если
𝐵𝐶 = 7
,
𝐴𝐷 = 23
.
2.
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на
два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC – биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции:
𝐴𝐶 = 12
и
𝐵𝐷 = 6,5
.
3.
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении
𝐴𝑃: 𝑃𝐵 = 𝐶𝑄: 𝑄𝐵 = 𝐶𝑊: 𝑊𝐷 = 3: 4
, радиус окружности, описанной около
треугольника PQW, равен 10,
𝑃𝑄 = 16
,
𝑄𝑊 = 12
, угол PQW – острый.
а) Докажите, что треугольник PQW – прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
4.
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB
и AC в точках 𝐶
1
и 𝐵
1
соответственно.
а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику 𝐴𝐵
1
𝐶
1
.
б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если
∠𝐴 = 45°
,
𝐵
1
𝐶
1
= 6 и площадь треугольника 𝐴𝐵
1
𝐶
1
в восемь раз меньше площади
четырёхугольника 𝐵𝐶𝐵
1
𝐶
1
.
5.
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного
треугольника ABC, перпендикулярная CM и пересекает катет AC в точке K. При этом
𝐴𝐾: 𝐾𝐶 = 1: 2
.
а) Докажите, что
∠𝐵𝐴𝐶 = 30°
.
б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK – в точке
Q. Найдите KQ, если
𝐵𝐶 =
√
21
.
56
6.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из
точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC, если
∠𝐴𝐵𝐶 = 30°
.
7.
В трапеции ABCD точке E – середина основания AD, точка M – середина
боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.
а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD
равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь
четырёхугольника AMOE, если
𝐵𝐶 = 3
,
𝐴𝐷 = 4
.
8.
Точка O – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника
ABC, I – центр вписанной в него окружности, H – точка пересечения высот. Известно,
что
∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝑂𝐵𝐶 + ∠𝑂𝐶𝐵
.
а) Докажите, что точка H лежит на окружности, описанной около треугольника
BOC.
б) Найдите угол OHI, если
∠𝐴𝐵𝐶 = 40°
.
9.
В выпуклом четырехугольнике ABCD точки K, L, M и N – середины сторон AB,
BC, CD и AD соответственно. Площади четырехугольников ABLN и NLCD равны, а
площади четырехугольников KBCM и AKMD относятся как 11:17.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
10.
В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой
стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены
перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если
𝐴𝐵 = 5
,
𝐴𝐶 = 8
.
57
Ответы
1. б)
35
.
8
2. б) 5.
3. б) 392.
4.
б)
18;
3
ƒ
20
—
6
√
2
.
5. б) 14.
6. б) 3:4.
7. б)
2
.
9
8. б) 10°.
9. б) 2:5.
10. б)
72
.
25
58
Задание 17
Тема: экономические задачи
1.
Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах
производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором
городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на
заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t
2
часов в неделю, то за
эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном
во втором городе, трудятся суммарно t
2
часов в неделю, то за эту неделю они
производят 5t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий
платит рабочему 500 рублей.
Григорий готов выделять 6 800 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих.
Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих
двух заводах?
2.
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в
размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
—
каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом
предыдущего года;
—
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть
долга;
—
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со
следующей таблицей.
Месяц и год
Июль 2016
Июль 2017
Июль 2018
Июль 2019
Долг
(в млн рублей)
S
0,6S
0,25S
0
Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше
5 млн рублей.
59
3.
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его
возврата таковы:
—
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом
предыдущего месяца;
—
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30%
больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
4.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок
9 лет. Условия его возврата таковы:
—
каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего
года;
—
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
—
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на
июль предыдущего года.
Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не
более 1,4 млн рублей, а наименьший — не менее 0,6 млн рублей.
5.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на
некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
—
каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего
года;
—
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
—
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на
июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если
наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
6.
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t
2
тыс. рублей в
конце года t ( t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать
ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого
следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1+r раз. Пенсионный фонд
60
хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года
сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги
нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных
значениях r это возможно?
7.
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на
пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 %
по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает
только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В
конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг
полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат
заёмщика будет меньше 7 млн рублей.
8.
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад
составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается
на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и
четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наименьший
размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше
20 млн рублей.
9.
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере
1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
—
1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с
концом предыдущего месяца, где r — целое число;
—
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в
соответствии со следующей таблицей.
Дата
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07
Долг
(в млн рублей)
1
0,6
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше
1,2 млн рублей.
61
10.
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму.
Условия его возврата таковы:
—
каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом
предыдущего года;
—
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть
долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет
полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку
будет выплачено 292 820 рублей?
62
1. 680.
2. 7.
3. 3.
4. 20.
5. 80,5 млн. рублей.
Ответы
6.
43
441
7. 3.
8. 9.
9. 7.
€ 𝑟 €
41
.
400
10. 232050.
63
Задание 18
Тема: задачи с параметрами
1.
Найдите все значения a, при каждом из которых система
{
(
𝑥 — 4
)
2
+
(
𝑦— 4
)
2
=
9,
𝑦
=
|
𝑥 — 𝑎
|
+ 1
имеет ровно три различных решения.
2.
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
𝑓
(
𝑥
)
=
4𝑥
2
— 4𝑎𝑥
+
𝑎
2
+
2𝑎
+
2
на множестве
|
𝑥
|
≤ 1
не меньше 6.
3.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|
2𝑥
2
— 3𝑥 — 2
|
=
𝑎— 2𝑥
2
— 8𝑥
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
4.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
𝑎
|
𝑥 — 3
|
=
5
𝑥
+
2
на промежутке
[
0; +∞
)
имеет ровно два корня.
5.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
𝑎𝑥
+
ƒ
—7
—
8
𝑥
—
𝑥
2
=
2
𝑎
+
3
имеет единственный корень.
6.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
(
𝑥
+
𝑎𝑦 — 5
)(
𝑥
+
𝑎𝑦 — 5𝑎
)
=
0,
{
𝑥
2
+
𝑦
2
=
16
имеет ровно четыре различных решения.
7.
При каких значениях параметра a уравнение
√4𝑥 — 1 ⋅ ln
(
𝑥
2
— 2𝑥
+
2 — 𝑎
2
)
= 0
имеет единственное решение на отрезке
[
0; 1
]
?
8.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
log
s+1
(
𝑎 + 𝑥 — 6
)
= 2
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку
(
—1; 1
]
.
64
9.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(
6 sin 𝑥 — 2 — 3𝑎
)
⋅ sin 𝑥
+
3,5 cos 2𝑥
+
0,5
=
0
имеет хотя бы один корень.
10.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
√1 — 2𝑥
=
𝑎— 5
|
𝑥
|
имеет более двух корней.
65
1. 7 —
6
√
2
; 4;1 +
6
.
√
2
Ответы
2.
[
2; +∞
)
.
3. (—∞; —
57
].
16
4.
[
4
; +∞)
.
5
5. [—1; —
1
) ∪
{
0
}
.
3
6. (—
4
;—
3
) ∪ (
3
; 1) ∪ (1;
4
).
3 4 4 3
7. (—
5
;—
3
] ∪ [
3
;
5
)
4 4 4 4
8.
[
27
; 7) ∪
(
7; 9
]
.
4
9. (—∞; —
5
]∪ [
1
; +∞).
3 3
10.
(
5
;
13
)
.
2 5
66
Задание 19
Тема: олимпиадные задачи
1. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных
натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной
363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например,
число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел
ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма
исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
2.
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных),
каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного)
на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после
этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске
увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27.
Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27.
Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые
остались на доске.
3.
Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в
каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего
арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа
среднее арифметическое равно этому числу).
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних
арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
67
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх
средних арифметических.
4.
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами.
Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше,
либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна
3024.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
5.
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение
которых равно 720, и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
6.
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое
этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а
среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
7.
Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон
треугольника.
Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон
прямоугольного треугольника.
а) Даны 5 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не
найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них
можно найти три отличных тройки?
в) Даны 10 различных чисел (необязательно натуральных). Какое
наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
68
8.
а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10
раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175
раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз
больше суммы цифр этого числа.
9.
Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является
целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал
не менее 83 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было
принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему
количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не
сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших
тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90,
средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не
сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников,
сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших тест — 79. При каком наименьшем числе
участников теста возможна такая ситуация?
10.
В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии
сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 000 рублей (размер премии
каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение
премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и
100 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны
получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать
40 000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся
выполнить при любом распределении размеров премий?
69
Ответы
1. а) двадцать чисел 17, число 11, число 12; б) нет; в) 1650.
2. а) да; б) нет; в) 38
1
.
7
3. а) да; б) нет; в)
43
.
7
4. а) нет; б) да; в) 549.
5. а) нет; б) нет; в) да, 1ꞏ2ꞏ4ꞏ9ꞏ10.
6.
а) 44; б) отрицательных; в) 17.
7.
а) да; б) нет; в) 20.
8. а) 2529; б) нет; в) 8655, 8565, 8556, 6855, 6585, 6558, 5568, 5658, 5685, 5865,
5586, 5856.
9. а) да; б) да; в) 15.
10. а) да; б) нет; в) 26.
Математика - еще материалы к урокам:
- Конспект урока "Производная сложной функции" 11 класс
- Внеклассное мероприятие "Тормозной путь транспорта" 3 класс
- Презентация "Объём параллелепипеда. Единицы измерения объёма"
- Презентация "Применение подобия треугольников к решению задач" 8 класс
- Презентация "Занимательная математика" 7 класс
- Презентация "Решение комбинаторных задач" 6 класс
