Сборник олимпиадных задач по математике для 5 классов

Сборник олимпиадных

для 5 классов.

Разрезания

Лёгкое

№1 Надо разрезать фигуру на 4 одинаковые части 4-мя

способами (разными фигурами)

№2 Надо разрезать на 3 равные части

№3 Надо разрезать фигуру на 4 равные по форме части

№4 Надо разрезать фигуру на 5 равных по форме частей

№5 Надо разрезать фигуру на 4 не равных прямоугольника

№6 Надо разрезать фигуру на 2 части 3 разными способами

№7 Надо разрезать фигуру на пополам

Средние

№8 Надо разрезать фигуру на 4 разных по форме, но

одинаковых по площади фигур

№9 У Галины Ивановны был день рождения. На дне рождения

был торт. На торте было некоторое количество розочек.

Сделали 3 прямых разреза. На какое максимальное число

розочек, ели на каждом куске по розочке?

№10 Как сделать из креста квадрат?

№11 Как сделать из ромба прямоугольник?

№12 5 способов разрезать квадрат 6*6 на 2 равные части,

по линиям сетки

№13 7 способов разрезать квадрат 5*5 на 7 различных по

размеру прямоугольников

№14 Надо разрезать на 2 равные части

Сложные

№15 Надо

разрезать на 4 равные

части

так,

чтобы

каждой по

3 закрашенные клетки

№16 Можно ли разрезать на полоски 1*4 Докажите.

№17 Надо разрезать на 4 равные части так, чтобы в

каждой было по квадрату и по 2 круга

№18 У Арины был день рождения. На дне рождения был

торт. На торте было 4 цифры. Как Арине разрезать торт

на 4 равные части так, чтобы на каждой части было по

цифре?

№19 Разрежьте на 2 равные части 2 различными способами

№20 Разрежьте фигуру на 4 равные части

Графы

Лёгкое

№1 Женя, Дима, Максим и Алеша сыграли между собой по

одной партии в шахматы. Сколько всего партий было

сыграно?

№2 Вася, Коля, Петя, Аня и Наташа - лучшие лыжники в

пятом классе. Для участия в соревнованиях нужно выбрать

из них одного мальчика и одну девочку. Сколькими

способами это можно сделать?

№3 Пятеро ученых, участвовавших в научной конференции,

обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано

рукопожатий?

№4 На прощание эти ученые обменялись визитными

карточками. Сколько карточек было передано из рук в

руки?

№5 Сколько рёбер у полного графа с 10 вершинами?

№6 На пришкольном участке растут 8 деревьев: яблоня,

тополь, береза, рябина, дуб, клен, лиственница и сосна.

Рябина выше лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже

березы, но выше сосны, сосна выше рябины, береза ниже

тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья

от самого низкого к самому высокому.

№7 У Даши есть 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки:

прямоугольная, квадратная и треугольная. Сколькими

способами Наташа может выбрать конверт и марку, чтобы

отправить письмо?

Средние

№8 Между девятью планетами солнечной системы

установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты

летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон

– Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий –

Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер;

Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на

рейсовых ракетах с Земли до Марса?

№9 В стране Семерка 15 городов, каждый из городов

соединен дорогами не менее, чем с семью другими.

Докажите, что из каждого города модно добраться в любой

другой.

№10 Беседуют трое друзей: Белокуров, Чернов и Рыжов.

тёмный сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас

белокурый, другой тёмный, третий рыжий, но ни у кого

цвет волос не соответствует фамилии. Какой цвет волос

имеет каждый из друзей?

№11 Для Стаса, Арины и Даши испечены пироги: один с

капустой, другой с рисом, третий – с яблоками. Миша не

любит пирог с яблоками и не ест с капустой. Ваня не

любит пирог с капустой. Кто какой пирог ест?

№12 На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь

и сварщик. Их фамилии Борисов, Иванов и Семенов. У

слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из

друзей. Семенов, женатый на сестре Борисова, старше

токаря. Назовите фамилии слесаря, токаря и сварщика.

№13 Маша, Лида, Женя и Катя умеют играть на разных

инструментах (виолончели, рояле, гитаре и скрипке], но

каждая только на одном. Они же владеют разными

иностранными языками (английским, французским, немецким

и испанским), но каждая только одним. Известно:

1. девушка, которая играет на гитаре, говорит

по-испански;

2. Лида не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не

знает английского языка;

3. Маша не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не

знает английского языка;

4. девушка, которая говорит по-немецки, не играет на

виолончели;

5. Женя знает французский язык, но не играет на

скрипке.

Кто на каком инструменте играет и какой иностранный

язык знает?

№14 Три товарища – Иван, Дмитрий и Степан – преподают

различные предметы (химию, биологию, физику) в школах

Москвы, Ленинграда и Киева. Известно:

1. Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в

Ленинграде;

2. Москвич преподает не физику;

3. Тот, кто работает в Ленинграде, преподает химию;

4. Дмитрий преподает не биологию.

Какой предмет и в каком городе преподает каждый из

товарищей?

Сложные

№15 В государстве 100 городов, и из каждого из них

выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве?

№16 Арина решила маме на день рождения подарить букет

цветов (розы, тюльпаны или гвоздики) и поставить их или

в вазу или в кувшин. Сколькими способами это можно

сделать?

№17 В первенстве класса по настольному теннису 6

участников: Андрей, Борис Виктор, Галина, Дмитрий и

Елена. Первенство проводят по круговой системе – каждый

из участников играет с каждым из остальных один раз. К

настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей

сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис – с Андреем,

Галиной; Виктор – с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина –

с Андреем, Виктором и Борисом. Сколько игр проведено к

настоящему моменту и сколько еще осталось?

№18 Четыре острова соединены между собой и с берегами

реки 14 мостами так, как это показано на рисунке. Можно

ли за одну прогулку обойти все эти мосты, побывав на

каждом из них один раз?

№19 Три человека жили в трех домиках, неподалеку от них

находились три колодца: один с водой, другой с маслом,

а третий с повидлом, и ходили к ним по тропинкам,

изображенным на рисунке. Однажды эти люди перессорились

и решили провести тропинки от своих домов к колодцам

так, чтобы эти тропинки не пересекались. Получилось ли

это у них?

№20 Доска имеет форму двойного креста, который

получается, если из квадрата 4x4 убрать угловые клетки.

Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на

исходную клетку, побывав на всех клетках ровно по

одному разу?

Чётность

Легкое

№1 Докажите, что произведение 2 любых нечётных чисел

нечётна, а сумма чётна

№2 Докажите, что если сумма двух натуральных чисел

нечётна, то произведение чётно.

№3 Чётова пишет на доске одно целое число, а Нечётов

другое. Если их произведение чётно, то побеждает

Чётова, а если нечетно, то Нечётов. Может ли кто-нибудь

играть так, чтобы всегда выигрывать?

№4 Сцеплены 9 шестерёнок в кольцо. Могут ли они

вращаться?

№5 Можно ли стереть одно из а)1992 б)1993 целых чисел

так, чтобы сумма оставшихся чисел была чётна?

№6 Даны 6 чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешено к любым

двум числам прибавить по 1. Можно ли приравнять все

числа?

№7 Разность двух целых чисел умножили на их

произведение. Могли ли получить число

11011811061018224521543?

Средние

№8 Может ли прямая пересекать все стороны 11-угольника,

не проходя через вершины?

№9 100 фишек в ряд. Можно менять любые 2 через 1. Можно

ли поставить их в обратном порядке?

№10 В роте 100 человек. В ночь дежурят трое. Можно ли

сделать так, чтобы каждый подежурил с каждым по одному

разу?

№11 Николай с сыном и Пётр с сыном были на рыбалке.

Николай поймал столько же сколько и его сын, а Пётр в

трое больше, чем его сын. Всего 25 рыб. Сколько рыб

поймал Николай?

№12 В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли между

ними поставить + и – так, чтобы в итоге получился 0?

№13 Можно ли натуральные числа 1, 2, …, 20, 21 разбить

на несколько групп, в каждой из которых наибольшее

число равно сумме всех остальных чисел этой группы?

№14 Даны 6 чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешено к любым

двум числам прибавить по 1. Можно ли приравнять все

числа?

№15 Можно ли натуральные числа 1, 2, …, 20, 21 разбить

на несколько групп, в каждой из которых наибольшее

число равно сумме всех остальных чисел этой группы?

№16 Представьте каждое из чисел 1101 и -1101 в виде

а)2n+1

б)2n-1

в)2n+333

Сложные

№17 На некотором поле шахматной доски стоит король.

Двое по очереди ходят им по доске. Запрещено ставить

короля туда, где он стоял ход назад. Выиграет игрок,

который поставит короля на то место, на котором он уже

был.

№18 На кубе отмечены вершины и центры граней, а также

проведены диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам

диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в

каждой из них по 1 разу?

№19 На 99 карточка числа 1, 2, …, 99. Их перемешали,

разложили чистыми сторонами вверх и снова написали 1,

2, …, 99. Складывают 2 числа на сторонах карточки.

Результаты перемножили. Докажите, что в итоге результат

чётен

№20 Разность двух целых чисел умножили на их

произведение. Могли ли получить число

11011811061018224521543?

Сумма и среднее

арифметическое

Лёгкое

№1 Разделите на 2 одинаковые части числа 1, 2, 9, 25,

49, 64 так, чтобы сумма чисел в группах была равна.

№2 У Иванова Ивана по математике в журнале стоят оценки

4 5 3 4 5 4 3 3 4

Какую оценку он получит в четверти?

№3 Разделите полоску на 4 одинаковые части,

чтобы все части имели одну и ту же сумму

входящих 8 них чисел.

№4 У Даши 14 конфет, у Арины 9 конфет, а у Стаса 10

конфет. Сколько конфет достанется каждому человеку,

если конфеты разделить между ними поровну?

№5 Братья сеяли три поля по 200 га каждое. На первом

поле собрали 7220ц пшеницы, на втором – 7560ц, а на

третьем – 7090ц пшеницы. Определите урожайность на

каждом поле и найдите среднюю урожайность.

Вопросы:

Как найти урожайность одного поля?

Как найти среднюю урожайность трёх полей?

№6 Когда Миша поступал в МГУ, учитывали

средний балл аттестата о среднем

образовании по двенадцати предметам. У

Миши средний балл был равен 3,5. По

скольким предметам ему нужно было повысить

оценку на один балл, чтобы средний балл

оказался равен 4?

№7 Прямоугольник разбит прямыми на 25

прямоугольников. Площади некоторых из них

указаны на рисунке. Найдите площадь

прямоугольника, отмеченного вопросительным

знаком.

№8 Катя, Лена, Маша, Нина участвовали в

концерте. Каждую песню пели 3 девочки. Катя

спела 8 песен — больше всех; Нина меньше

всех — 5 песен. Сколько песен было спето?

Средие

№9 Аня и Таня вместе весят 40 кг, Таня и Маня

50 кг, Маня и Ваня — 90 кг, Ваня и Даня —

100 кг, Даня и Аня — 60 кг. Сколько весит

Аня?

№10 Четверо купцов заметили, что если они

сложатся без первого, то соберут 90 рублей,

без второго — 85, без третьего — 80, без

четвёртого — 75 рублей. Сколько у кого

денег?

№11 Решите систему уравнений: у + z + t = 90,

x + z + t = 85, x + y + f = 80, x + y + z = 75.

№12 Средний возраст 11 игроков футбольной

команды — 22 года. Во время матча один

игрок получил травму и ушёл с поля. Средний

возраст оставшихся игроков — 21 год. Сколько

лет получившему травму?

Сложные

№13 Когда Миша поступал в МГУ, учитывали

средний балл аттестата о среднем

образовании по двенадцати предметам. У

Миши средний балл был равен 3,5. По

скольким предметам ему нужно было повысить

оценку на один балл, чтобы средний балл

оказался равен 4?

№14 Учитель проводит урок в классе. Возраст

учителя на 24 года больше среднего возраста

учеников и на 22 года больше среднего

возраста всех присутствующих в классе.

Сколько в классе учеников?

№15 Можно ли заполнить числами таблицу

размером 5x5 так, чтобы

произведение всех чисел любой строки было

отрицательно, а произведение всех чисел

любого столбца — положительно?

№16 Можно ли заполнить числами таблицу

размером 6x6 так, чтобы

произведение всех чисел любой строки было

отрицательно, а произведение всех чисел

любого столбца — положительно?

№17 Два человека отправились на рынок продавать

яблоки. У них было по 30 яблок. Один хотел продавать по

2 за 1 рубль, а второй по 3 за 1 рубль. Перед началом

торговли первого продавца вызвали

домой, и он попросил второго продавца

продать его яблоки. Тот стал продавать по

5 яблок за 2 рубля. Если бы они торговали

порознь, то выручили бы 10 рублей и

15 рублей, а продавая по 5 яблок за 2 рубля,

они получили 24 рубля. Куда исчез рубль?

№18 Можно ли расставить числа в таблице

19x66 так, чтобы в каждой строке сумма чисел

была положительна, а в каждом столбце -

отрицательна?

Переправы

Лёгкие

№1 Крестьянин с волком, козой и мешком капусты подошел

к реке. Ему надо переправиться на другой берег, однако

в лодке вместе с ним может поместиться либо волк, либо

коза, либо капуста. Оставшись на берегу без

крестьянина, волк съест козу, а коза – капусту. Как

крестьянину переправиться без потерь?

№2 Юпитерианский фермер с выводком неразлучных

звёздочек, пучеглазой гусеницей и хищным четырёхглазом

должен переправить всех своих питомцев на ярмарку. В

корабль вместе с ним может поместиться либо выводок,

либо гусеница, либо четырёхглаз. Оставшись без

присмотра, гусеница съест звёздочек, а четырёхглаз -

гусеницу. Как фермеру переправить всех без потерь?

№3 Фермер с собакой, котом, гусем и корзиной зерна

подошел к реке. Ему надо переправиться на другой берег,

однако в лодке вместе с ним может поместиться либо

собака, либо кот, либо гусь, либо корзина. Кота нельзя

оставить на берегу с псом или с гусем. Гуся можно

оставить на берегу вместе с корзиной зерна только под

присмотром пса (пес не тронет гуся и будет охранять

зерно). Как фермеру переправиться без потерь?

№4 Крестьянин с двумя волками, собакой, козой и мешком

капусты подошел к реке. Ему надо переправиться на

другой берег, однако лодка трехместная, каждое место

занимает человек, животное или мешок капусты. Нельзя

оставлять без присмотра волка с козой или собакой,

собаку – с козой, а козу – с капустой. Как крестьянину

переправиться без потерь?

№5 Два человека одновременно подошли к реке. У берега

была одноместная лодка. На ней оба сумели переправиться

на противоположный берег. Как такое могло быть?

№6 Отец, мать и двое детей – сын и дочь, должны

переправиться с левого берега реки на правый.

Поблизости случился рыбак, который мог бы одолжить им

свою лодку. Однако, в лодке могут поместиться только

один взрослый или двое детей. Как семье переправиться

через реку и вернуть рыбаку его лодку?

№7 К левому берегу реки подошла мама с пятью сыновьями

6, 7, 8, 9 и 10 лет. Есть трехместная лодка. Грести

может только мама. Если на берегу без неё останутся

дети с разницей в возрасте 1 год, они подерутся. Как

маме переправить всех на правый берег так, чтобы никто

не подрался?

Средние

№8 Полк солдат подошел к реке. По реке катались на

лодке два мальчика. Лодка выдерживает одного солдата

или двух мальчиков. Как всем солдатам переправиться на

другой берег и вернуть лодку мальчикам?

№9 Трое туристов должны перебраться с одного берега

реки на другой. В их распоряжении старая лодка, которая

может выдержать нагрузку всего в 100 кг. Вес одного из

туристов 45 кГ, второго — 50 кГ, третьего — 80 кГ. Как

должны они действовать, чтобы перебраться на другой

берег?

№10 К переправе через реку одновременно подошли три

разбойника на левом берегу и четыре купца на правом.

Каждому надо на противоположный берег. У левого берега

есть двухместная лодка. Купцы не хотят оказаться на

одном берегу с разбойниками в меньшинстве. Как им всем

переправиться?

№11 Как 3 рыцаря, каждый со своим оруженосцем, могут

переправиться с левого берега реки на правый на

двухместной лодке, если оруженосцы отказываются

оставаться с незнакомыми рыцарями без своих хозяев (но

могут оставаться на берегу совсем без рыцарей)?

№12 Тот же вопрос для 4 рыцарей и 4 оруженосцев, лодка

трёхместная.

Сложные

№13 На левом берегу реки собрались 4 вельможи разного

возраста. Есть лодочник c лодкой, который может

перевозить пассажиров по одному, и островок посреди

реки. Согласно этикету, когда лодочник подплыл к берегу

или острову и приглашает пассажира, в лодку садится

самый старший из находящихся там вельмож. Кроме того,

вельможа не может высаживаться из лодки на берег или

островок, если там уже есть вельможи старше него.

Лодочник сам решает, откуда он везет пассажира и куда.

Как ему переправить всех вельмож на правый берег?

№14 Пять учеников, каждый с чемоданом, подошли к левому

берегу пограничной реки. У них в чемоданах 1, 2, 4, 8 и

16 кг конфет. В лодку помещаются два ученика или ученик

и чемодан. Если ученик оказывается один в лодке или

один на берегу, и там в чемоданах больше конфет, чем у

него было изначально, он хватает конфеты и убегает. Как

им всем перебраться на правый берег без “финансовых

потерь”?

№15 На левом берегу реки укротитель Леонид со львом, им

надо на правый берег; на правом – укротитель Пётр с

пумой, им надо на остров; на острове – собака, ей надо

на левый берег. У левого берега – лодка, куда

помещаются два человека или человек и животное. Человек

садится в лодку только на свободное место. Животное

входит в лодку только если его с берега ведет человек,

а вот выйти может само. Пётр не согласен быть со львом

ни в лодке, ни на одном берегу, но может пристать к

берегу со львом для приема или высадки пассажира.

Леонид так же относится к пумам. Как им всем попасть

куда надо?

№16 К переправе через реку одновременно подошли три

разбойника на левом берегу и три купца на правом.

Каждому надо на противоположный берег. У левого берега

есть двухместная лодка. Купцы не хотят оказаться на

одном берегу с разбойниками в меньшинстве. Как им всем

переправиться?

№17 Аня, Варя, Даша и Арина сидели за круглым столом,

заспорили, и каждая поссорился со своими двумя

соседями. Чтобы ехать дальше, им надо переправиться

через реку в двухместной лодке. Каждая из девочек

отказывается оставаться вдвоем на берегу или быть в

лодке с той, с кем она в ссоре. Могут ли они все-таки

все переправиться?

№18 Король с сыном и дочерью был заточён в высокой

башне. Они весили 195, 105 и 90 фунтов соответственно.

Еду им поднимали в двух корзинах, прикрепленных к

концам длинного каната. Канат был перекинут через

балку, вбитую под самой крышей. Когда одна корзина на

земле, вторая поднята на уровень оконца в камере

пленников. Если одна корзина тяжелее другой, она

опускается. Корзины большие, и канат достаточно

крепкий. Однако скорость спуска безопасна для человека,

если разница в весе корзин не больше 15 фунтов, иначе

от удара о землю человек разобьется. В камере было

пушечное ядро весом 75 фунтов – его можно использовать

как противовес, и ни оно, ни корзина от удара о землю

не разбиваются. Как всем пленникам удалось бежать?

№19 Две семьи: отец с двумя сыновьями, мама с двумя

дочками, а также полицейский с арестованным гангстером

встретились на берегу реки. Все они хотят переправиться

на другой берег реки. Есть плотик, который выдержит

двух человек. Управлять плотиком могут только взрослые.

Никто из членов семей не согласен оставаться с

гангстером в отсутствии полицейского. Мама не оставит

дочек с отцом мальчиков, а отец не оставит сыновей с

мамой девочек. Как им всем переправиться?

№20 Четыре ревнивых мужа, пришедшие со своими женами к

правому берегу реки, нашли лодку, в которую не может

поместиться более двух человек. Посреди реки есть

островок. Как переправиться на левый берег четырем

парам так, чтобы ни одна жена с чужим мужем не

переезжала и там, где есть чужой мужчина (на острове

или на любом берегу), не оставалась без своего мужа?

Принцип Дирихле

Легкие

№1 Восемь кроликов посадили в семь клеток. Докажите,

что есть клетка, в которой оказалось по крайней мере

два кролика.

№2 За победу в математической регате команда из 4

человек получила 10 конфет. Дети поделили конфеты между

собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие

утверждения:

а)

"кому-то досталось по крайней мере 2 конфеты";

б)

"кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты";

в)

"двум людям досталось по крайней мере две конфеты";

г)

"каждому досталась хотя бы одна конфета".

№3 В темной комнате стоит шкаф, в котором лежат 24

чёрных и 24 синих носка. Какое минимальное количество

носков нужно взять из шкафа, чтобы из них заведомо

можно было составить по крайней мере одну пару носков

одного цвета?

№4 В темной комнате стоит шкаф, в котором лежат 24

чёрных и 24 синих носка. Какое минимальное количество

носков нужно взять, чтобы заведомо можно было составить

хотя бы одну пару носков черного цвета?

№5 В ящике лежат 12 пар чёрных и 12 пар синих ботинок и

требуется составить пару одного цвета

№6 В лесу растут миллион ёлок. Известно, что на каждой

из них не более 600000 иголок. Докажите, что есть две

ёлки с одинаковым количеством иголок.

№7 В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что

есть класс, в котором не менее 31 учеников.

Средние

№8 В квадратном ковре со стороной 4 метра моль проела

15 дырок. Докажите, что из этого ковра можно вырезать

коврик со стороной 1 метр, в котором дырок не будет

№9 В финальном матче школьного чемпионата по баскетболу

команда 5А забила 9 мячей. Докажите, что найдутся два

игрока этой команды, забившие поровну мячей. (В команде

по баскетболу 5 игроков.)

№10 Верно ли, что в вашей аудитории есть по крайне мере

два человека, имеющие одинаковое число друзей в этой

аудитории? Верно ли это для любой аудитории Малого

мехмата?

№11 Какое наибольшее количество точек можно разместить

в квадрате со стороной 1 таким образом, чтобы все

расстояния между этими точками были не менее 0,5? («В

квадрате» означает «внутри квадрата или на его

границе»).

№12 На газоне в форме правильного треугольника со

стороной 3 метра растет 10 гвоздик. Докажите, что

найдутся две гвоздики, находящихся друг от друга на

расстоянии, не превышающем 1 метр.

№13 На пяти полочках книжного шкафа 161 книга, причем

на одной из полок - 3 книги. Докажите, что найдется

полочка, на которой не менее 40 книг.

№14 .В магазин привезли 25 ящиков яблок трех сортов. В

каждом ящике лежат яблоки одного сорта. Продавец

утверждает, что у него нет девяти ящиков с яблоками

одного сорта. Не ошибся ли он?

Сложные

№15 Можно ли клетки доски 5×5 покрасить в четыре цвета

так, чтобы клетки, стоящие на пересечении любых двух

строк и любых двух столбцов, были покрашены не менее,

чем в три цвета?

№16 Каждая клетка таблицы 2011×2011 покрашена в один из

2010 цветов. За ход можно взять строку или столбец и,

если там есть две клетки одного цвета, перекрасить эту

строку или столбец в этот цвет. Всегда ли можно за

несколько ходов покрасить всю таблицу в один цвет?

Скачать материал

Сборник олимпиадных задач по математике для 5 классов

Математика - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы