Ученики на Учителя.com


Решение олимпиадных заданий по математике 11 класс

Решения олимпиадных заданий
11 класс
1.
765 Sinx
7
4
3
4
3
)
2
(
22
222
xxx
, т.к.
61,91,3
22
, то есть при всех
значениях
x
значение левой части меньше значения правой части.
Ответ: корней нет.
2. Ответ: с<0
Указания:
Рассмотрим функцию
cbxaxxf
2
)(
. По условию она не обращается в
нуль, поэтому её график – парабола - расположен либо целиком выше оси
Ox
, либо целиком ниже.
Заметив, что
cbaxf )(
; это число, по условию, меньше нуля, значит,
парабола расположена ниже оси
Ox
. Поэтому
при всех значениях
x
и, в частности,
0)0( cf
.
(В решении используется непрерывность функции
f
: если функция
непрерывна на промежутке и не обращается на нём в нуль, то все её
значения на этом промежутке имеют один и тот же знак.)
3. Преобразуем функцию:
1)13()3(2)3()23)(3()3)(2)(1(
222222
xxxxxxxxxxxxxxy
Следовательно,
1
min
y
, при
013
2
xx
, т.е. при
2
53
1
x
и при
2
53
2
x
.
4. Ответ.
0
45I
и
0
135
, II и III – все углы по
0
90
.
рис.1 рис. 2
Пусть
1111
DCBA
- первая грань данного параллелепипеда
ABCDDCBA
1111
,
''''
DCBA
- проекция грани
ABCD
на плоскость
111
CBA
(см. рис. 1). Тогда из
условия следует, что параллелограммы
''''
DCBA
и
1111
DCBA
совпадают,
значит, ребра
1111
,,, DDCCBAAA
перпендикулярны плоскости
111
CBA
и,
следовательно, четыре другие грани – прямоугольники. Тогда площадь
проекции P на плоскость
11
ADDA
есть сумма площадей этой грани и
проекции грани
11
ABBA
(см. рис. 2), т.е.
112
cos AAABAAADS
, где
-
угол между плоскостями граней
11
ABBA
и
11
ADDA
. Отсюда
ADABAD 5,1cos
. Аналогично,
ABADAB 2cos
, т.е.
ADAB
2
1
cos
,
ABAD
cos
, откуда
2
1
cos
2
,
2
1
cos
,
0
45
. Но
- это угол D в
грани
ABCD
.
5. Решение:
Начнем рассуждение с высказывания восьмого человека «Здесь не
более 7 честных людей». Если восьмой – честный, то все хорошо. Если лжёт,
то в комнате 8 честных людей, что противоречит тому, что восьмой – лжец.
Значит, восьмой не может лгать, значит - он честный. Первый сказал, что в
комнате нет честных людей. Но восьмой – честный, поэтому – первый
солгал. Значит первый – лжец. Рассматривая высказывание седьмого
человека, получим, что он не может быть лжецом. Иначе, в комнате должно
быть 7 или 8 честных людей. Но первый – лжец. Поэтому, седьмой будет
честным. Рассуждая далее аналогично, получим, что второй, третий и
четвертый будут лжецами, а шестой и пятый – честными. Тогда в комнате
будет 4 честных человека.
Ответ. 4 честных человека.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: