Способы решения задач по теории вероятностей ЕГЭ по математике профильного уровня

Способы решения задач по теории вероятностей ЕГЭ по математике
профильного уровня
Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах
открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ профильного уровня содержит 403
задачи на 41 странице. В статье выделены несколько типов задач по различным темам
курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач
сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач
скопированы с сайта ФИПИ.
1. Задачи на применение классической формулы вероятности события
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому
событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных
исходов, образующих полную группу: 
.
Задача 1.1. В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из
Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из
Канады.
Решение. Число благоприятных исходов –это и есть число канадских спортсменок. Их 70-
(25+17) =28. Общее число исходов – 70, это количество спортсменок, участвующих в
чемпионате. Итак, искомая вероятность равна


.
Ответ: 0,4.
Замечание: решительно всё равно, какой по счёту, первой, как в условии задачи, или
второй, третьей, …, семидесятой будет выступать канадская спортсменка. Искомая
вероятность зависит только от количества канадских гимнасток и общего количества
участниц.
Задача 1.2. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на
игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76
теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин.
Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-
либо теннисистом из России.
Решение. Для выбранного уже по условию задачи россиянина Анатолия Москвина
благоприятных исходов (его партнёр - российский теннисист) остаётся всего 6.
Уменьшается на единицу и общее число всех равновозможных исходов – число
спортсменов, готовых сражаться с Москвиным, их – 75. Значит, искомая вероятность
равна


Ответ: 0,08.
Задача 1.3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:
N исходов
Первое бросание
Второе бросание
1.
Решка
Решка
2.
Орёл
Орёл
3.
Орёл
Решка
4.
Решка
Орёл
Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно одному появлению решки)
благоприятствуют исходы с номерами 3 и 4. Их два, а возможных исходов в нашем случае
4. Стало быть, искомая вероятность равна

Ответ: 0,5.
Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что орёл выпадет оба раза.
Решение. Благоприятному событию (А)- орёл выпадет оба раза благоприятствует один
исход – номер 2 (см. задачу 1.3). Таким образом, Р(А)=

Ответ: 0,25.
Задача 1.5. На олимпиаде по русскому языку 350 участников разместили в трёх
аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в
запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно
выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Решение. Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 350-
(140+140) =70. Значит, искомая вероятность равна


.
Ответ: 0,2.
Задача 1.6. В группе туристов 300 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный
район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов,
случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолёта.
Решение. Способ 1. Интересующее нас событие – «турист В. полетит первым рейсом
вертолёта» означает, что он попадает в число15 человек, вылетающих первым рейсом,
поэтому искомая вероятность есть



Способ 2. Всего рейсов


. Туристу В, согласно условию задачи, подходит только
один из них, значит, вероятность определяется отношением

.
Ответ: 0,05.
Задача 1.7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится
3 сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка
окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Решение. Качественных сумок 100, а общее число сумок 100+3=103. Значит, вероятность
вычисляется как отношение


 .
Ответ: 0,97.
Задача 1.8. В школе 51 пятиклассник, среди них — Саша и Настя. Всех пятиклассников
случайным образом делят на три группы, по 17 человек в каждой. Найдите вероятность
того, что Саша и Настя окажутся в одной группе.
Решение. Предполагаем, что Саша уже попал в одну из трёх групп, безразлично, какую.
Для Насти, таким образом, число мест в Сашиной группе сократилось до 16, т.к. место
занято Сашей. Заметим, что на единицу уменьшилось и общее число участников
распределения по группам, т.к. из их числа уже исключён Саша. Таким образом,
вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе, равна


.
Ответ: 0,32.
Задача 1.9. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
Решение. При бросании двух игральных костей возможны 36 исходов испытания, т.к.
любой исход испытания при бросании первой кости (1, 2, 3, 4, 5, 6) может сочетаться с
любым из шести исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6) при бросании второй кости. Интересующему нас
событию - в сумме выпадет 7 очков благоприятны исходы: 1 и 6, 6 и 1, 5 и 2, 2 и 5, 4 и 3, 3
и 4. Их всего – 6. Значит, искомая вероятность

 .
Ответ: 0,17
Задача 1.10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.
Решение. Как и в предыдущей задаче, общее число всех равновозможных исходов – 36.
Благоприятными исходами будут: 6 и 3, 3 и 6, 4 и 5, 5 и 4. Их всего четыре. Вычисляем
вероятность:



Ответ: 0,11.
Задача 1.11. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 11 очков. Результат округлите до сотых.
Решение. Всех равновозможных исходов – 36. Благоприятные: 5 и 6, 6 и 5. Их два, и
поэтому вероятность равна


.
Ответ: 0,06.
Задача 1.12. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить,
какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными
командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с
мячом не более одного раза.
Решение. Составим таблицу, в которой символ «+» обозначит тот факт, что команда
Сапфир начинает игру, а символ   будет означать, что игру начинает другая команда
(соперник Сапфира):
№ исходов
I команда
II команда
III команда
1.
+
+
+
2.
+
+
-
3.
+
-
+
4.
-
+
+
5.
-
-
+
6.
-
+
-
7.
+
-
-
8.
-
-
-