Сборник задач по теории вероятностей (с решениями) 11 класс
1
Сборник задач по теории вероятностей
(с решениями)
Разработка предназначена для учащихся 9–11 классов для
подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.
УМК любой
Цель: показать решение типовых задач по данной теме,
закрепить умение учащихся решать данные задачи, подготовить
учеников к сдаче ОГЭ и ЕГЭ
Методические рекомендации по использованию ресурса:
Работу можно применить:
при проведении урока по систематизации и закреплении
знаний учащихся
при проведении консультаций.
Документ можно распечатать на принтере и скрепить в виде
брошюры, для этого при печатании надо нажать кнопку
«двусторонняя печать».
Источники информации:
Открытый банк ЕГЭ ФИПИ http://fipi.ru/
Решу ЕГЭ по математике Д. Гущин. https://ege.sdamgia.ru
Составила учитель математики
Коммунаровской СОШ
Беловского района Курской области
Лукьянченко Светлана Викторовна.
2016 год
2
Теория вероятностей
Классическое определение вероятности
Вероятностью события A называется отношение числа
благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных
исходов: Р (А) =
𝒎
𝒏
где n — общее число равновозможных исходов, m — число
исходов, благоприятствующих событию A.
Противоположные события
Событие, противоположное событию A, обозначают Ā. При
проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух
противоположных событий и
Объединение несовместных событий
Два события A и B называют несовместными, если
отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как
событию A, так и событию B.
Если события A и B несовместны, то вероятность их
объединения равна сумме вероятностей событий A и B:
P(A U B) =P(A) + P(B)
Пересечение независимых событий
Два события A и B называют независимыми, если вероятность
каждого из них не зависит от появления или непоявления
другого события.
Событие C называют пересечением событий A и B
(пишут C = A∩B), если событие C означает, что произошли оба
события A и B.
Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения
равна произведению вероятностей событий A и B:
P(A∩B) = P(A) • P(B)
Формула сложения вероятностей совместных событий:
P(A U B) =P(A) + P(B) – P(A∩B)
3
1. Из 1000 собранных на заводе телевизоров 5 штук
бракованных. Эксперт проверяет один наугад выбранный
телевизор из этой 1000. Найдите вероятность того, что
проверяемый телевизор окажется бракованным.
Решение. При выборе телевизора наугад возможны 1000
исходов, событию A «выбранный телевизор — бракованный»
благоприятны 5 исходов. По определению вероятности
P(A) = 5÷1000 = 0,005. Ответ: 0,005.
2. В урне 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из урны
наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот
шар окажется жёлтым?
Решение. Общее число исходов равно числу шаров: 9 + 6 + 5 =
20. Число исходов, благоприятствующих данному событию,
равно 6. Искомая вероятность равна 6÷20 = 0,3. Ответ: 0,3.
3. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина бросили жребий
— кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начи-
нать игру должен будет мальчик.
Решение. Вероятность события равна отношению количества
благоприятных случаев к количеству всех случаев. Благоприят-
ными случаями являются 3 случая, когда игру начинает Петя,
Игорь или Антон, а количество всех случаев 6. Поэтому искомое
отношение равно 3:6=0,5. О т в ет: 0,5.
4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью
жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре
команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с
номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова
вероятность того, что команда России окажется во второй
группе?
Решение: Обозначим через А событие «команда России во
второй группе». Тогда количество благоприятных событий m =
4 (четыре карточки с номером 2), а общее число
равновозможных событий n = 16 (16 карточек) по определению
вероятности Р= 4: 16 = 0,25. Отве т : 0,25
4
5. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6
спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Поря-
док, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что первым будет стартовать
спортсмен не из России.
Решение. Всего спортсменов 11 + 6 + 3 = 20 человек. Поэтому
вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен
не из России равна 9:20 = 0,45. Отве т : 0,45.
6. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5
бракованных. Какова вероятность купить исправную лам-
почку?
Решение. На каждые 1000 лампочек приходится 5 бракованных,
всего их 1005. Вероятность купить исправную лампочку будет
равна доле исправных лампочек на каждые 1005 лампочек, то
есть 1000:1005=0,995.Ответ : 0,995.
7. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они
выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в
магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист
Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин? 6 : 8=0,75.
8. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые
жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Како-
ва вероятность того, что команда России не попадает в груп-
пу A?
Решение. Каждая команда попадет в группу с вероятностью
0,25. Таким образом, вероятность того, что команда не попа-
дает в группу равна 1-0,25=0,75. О т в ет:0,75
9. На турнир по шахматам прибыло 26 участников в том
числе Коля и Толя. Для проведения жеребьевки первого
тура участников случайным образом разбили на две группы
по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя
попадут в разные группы.
Решение. Всего 26 мест. Пусть Коля займет случайное место в
любой группе. Останется 25 мест, из них в другой группе 13.
5
Исходом считаем выбор места для Толи. Благоприятных
исходов 13. Р=13/25 = 0,52. О т вет : 0,52
10. В классе 16 учащихся, среди них два друга —Вадим и
Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4
равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и
Сергей окажутся в одной группе.
Решение. Если Сергею первому досталось некоторое место, то
Олегу остаётся 15 мест. Из них 3 — в той же группе, где
Сергей. Искомая вероятность равна 3/15. О твет: 0,2
11. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и
Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные
группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег
окажутся в одной группе.
Решение. Пусть один из друзей находится в некоторой группе.
Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся
учащихся. Вероятность того, что друг окажется среди этих 6
человек, равна 6 : 20 = 0,3. Ответ: 0,3
12. Перед началом первого тура чемпионата по настольному
теннису участников разбивают на игровые пары случайным
образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует
16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в
том числе Платон Карпов. Найдите вероятность того, что в
первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо
спортсменом из России? 6:15=0,4. О т вет:0,4.
13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам
участников разбивают на игровые пары случайным образом
с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26
шашистов, среди которых 3 участника из России, в том
числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в
первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо
шашистом из России? 2: 25=0,08. Ответ: 0,08.
14. В классе 26 учащихся, среди них два друга — Сергей и
Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 2
6
равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и
Андрей окажутся в одной группе. Ответ 12 : 25 = 0,48.
15. В классе 21 ученик, среди них 2 друга – Тоша и Гоша. На
уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на
3 равные группы. Найдите вероятность того, что Тоша и
Гоша попали в одну группу. Ответ 6 : 20 = 0,3.
16. В классе 21 учащийся, среди них две подруги - Аня и
Нина. Класс случайным образом делят на семь групп, по 3
человека в каждой. Найдите вероятность того, что Аня и
Нина окажутся в одной группе. Ответ: 2: 20 = 0,1.
17. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в
какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите
вероятность того, что часовая стрелка остановилась,
достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.
Ответ. 6 : 12= 0,5 ( 6 делений между 12 и 7, всего 12 делений)
18. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в
какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите
вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув
отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов. 3:12 = 0,25
При решении задач с монетами число всех возможных
исходов можно посчитать по формуле п=2ª, где α –
количество бросков
19. В случайном эксперименте симметричную монету броса-
ют 2 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет
ровно 1 раз.
Решение. Всего возможны четыре исхода: решка-решка, решка-
орёл, орёл-решка, орёл-орёл. Орёл выпадает ровно один раз в
двух случаях, поэтому вероятность того, что орёл выпадет
ровно один раз равна 2:4=0,5. Отве т : 0,5.
20. В случайном эксперименте симметричную монету
бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не
выпадет ни разу. Ответ: 1:4=0,25
7
21. В случайном эксперименте симметричную монету
бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл не
выпадет ни разу. Решение. 1:8=0,125 Ответ. 0,125
22. В случайном эксперименте симметричную монету
бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл
выпадет ровно 2 раза.
Решение. Составим список возможных вариантов. Бросают 2
раза может выпасть О - Орел, Р - Решка:
ОО, ОР, РО, РР. Всего 4 исхода из них только один случай
удовлетворяет условию. Вероятность (P) = 1 / 4 = 0.25.
Ответ: 0.25
23. В случайном эксперименте симметричную монету
бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка
не выпадет ни разу.
Решение. Всего исходов 2
4
= 16, благоприятных 1 ( ОООО).
1:16 = 0,0625. Ответ: 0,0625
При решении задач с кубиками число всех возможных исходов
можно посчитать по формуле п=6ª, где α –количество
бросков
24. Определите вероятность того, что при бросании играль-
ного кубика (правильной кости) выпадет нечетное число
очков.
Решение. При бросании кубика равновозможных шесть различ-
ных исходов. Событию "выпадет нечётное число очков" удовле-
творяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 3 или 5 очков.
Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет нечётное
число очков равна 3:6=0,5. Ответ : 0,5.
25. Определите вероятность того, что при бросании кубика
выпало число очков, не большее 3.
Решение. При бросании кубика равновозможны шесть различ-
ных исходов. Событию "выпадет не больше трёх очков" удовле-
8
творяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка.
Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше
трёх очков равна 3:6=0,5 От вет: 0,5.
26. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероят-
ность того, что оба раза выпало число, большее 3.
Решение. При бросании кубика 6²= 36 различных исходов. Собы-
тию "выпадет больше трёх очков" удовлетворяют три случая:
когда на кубике выпадает 4, 5, или 6 очков , благоприятных
исходов 9 (4,4; 4,5; 4,6; 5,4; 5,5; 5,6; 6,4; 6,5; 6,6.)
Ответ : 9: 36 = 0,25.
27. В случайном эксперименте бросают три игральные
кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7
очков. Результат округлите до сотых.
Решение. При бросании кубика 6³= 216 различных исходов,
благоприятных 14. 14 : 216 = 0,07. Ответ: 0,07.
28. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность
того, что оно делится на 5.
Решение. Всего трехзначных чисел 900. На пять делится каж-
дое пятое их них, то есть таких чисел 900:5=180. Вероятность
того, что Коля выбрал трехзначное число, делящееся на 5, опре-
деляется отношением количества трехзначных чисел, делящих-
ся на 5, ко всему количеству трехзначных чисел: 180:900=0,2.
Ответ : 0,2.
29.Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50.
Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет
имеет однозначный номер?
Решение. Всего было подготовлено 50 билетов. Среди них 9
были однозначными. Таким образом, вероятность того, что на-
угад взятый учеником билет имеет однозначный номер равна
9:50=0,18. Отве т : 0,18.
9
30. В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 вклю-
чительно. Какова вероятность, того, что извлеченный нау-
гад из мешка жетон содержит двузначное число?
Решение. Всего в мешке жетонов - 50. Среди них 45 имеют дву-
значный номер. Таким образом, вероятность, того, что извле-
ченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число
равна 45 : 50 = 0,9. О т вет: 0.9.
31. Какова вероятность того, что случайно выбранное
натуральное число от 10 до 19 делится на 3?
3 : 10 = 0,3. Отве т : 0,3.
Противоположные события.
32. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет
плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине вы-
бирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта
ручка пишет хорошо.
Решение. Вероятность того, что ручка пишет хорошо, равна
1 − 0,19 = 0,81. Отве т : 0,81.
33. Вероятность того, что в случайный момент времени
температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C
равна 0,87. Найдите вероятность того, что в случайный
момент времени у здорового человека температура тела
окажется 36,8°C или выше. Ответ. 1-0,87=0,13
34. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм веро-
ятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не
больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность
того, что случайный подшипник будет иметь диаметр мень-
ше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в
пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому
искомая вероятность противоположного события равна
1 − 0,965 = 0,035. Отве т : 0,035.
10
Несовместные и независимые события.
35. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна за-
дача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме
«Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется зада-
ча по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет
задач, которые одновременно относятся к этим двум темам.
Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику до-
станется задача по одной из этих двух тем.
Решение. Суммарная вероятность несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий: P=0,6+ 0,1 = 0,7.
Ответ : 0,7.
36. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О.
верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того,
что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите ве-
роятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
Решение. Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач»
и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие
A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В не-
совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей
этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные
задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67
= 0,07. Отве т : 0,07.
37. Вероятность того, что на тесте по химии учащийся П.
верно решит больше 8 задач, равна 0,48. Вероятность того,
что П. верно решит больше 7 задач, равна 0,54. Найдите
вероятность того, что П. верно решит ровно 8 задач.
Решение. Вероятность решить несколько задач складывается
из суммы вероятностей решить каждую из этих задач. Больше
8: решить 9-ю, 10-ю ... Больше 7: решить 8-ю, 9-ю, 10-ю
...Вероятность решить 8-ю = 0,54-0,48=0,06. От в е т :0.06
11
38. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова
вероятность того, что случайно нажатая цифра будет
меньше 4? Ответ: 4 : 10 = 0,4.
39. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность
попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите
вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в
мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите
до сотых.
Решение. Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероят-
ностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2.
Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле не-
зависимы, вероятность произведения независимых событий
равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность
события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна
0,8•0,8•0,8•0,2•0,2=0,02048. О т вет:0.02048.
40. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Ве-
роятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Най-
дите вероятность того, что в течение года хотя бы одна
лампа не перегорит.
Решение. Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы.
Эти события независимые, вероятность их произведения равно
произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09. Со-
бытие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна
лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность
равна 1 − 0,09 = 0,91. О твет: 0,91.
41. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06.
Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в ко-
торой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что
обе батарейки окажутся исправными.
Решение. Вероятность того, что батарейка исправна, равна
0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе ба-
тарейки окажутся исправными) равна произведению вероятно-
стей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836. Ответ : 0,8836.
12
42. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает
у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет чер-
ными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмей-
стеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии
меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиг-
рает оба раза.
Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не
зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых
событий равна произведению их вероятностей:
0,52 · 0,3 = 0,156. Ответ : 0,156.
43. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиен-
том с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в слу-
чайный момент времени все три продавца заняты одновре-
менно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от
друга).
Решение. Вероятность произведения независимых событий
равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому ве-
роятность того, что все три продавца заняты равна
(0,3)³ = 0,027. Отв е т : 0,027.
44. Из районного центра в деревню ежедневно ходит авто-
бус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажет-
ся меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что
окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите веро-
ятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пас-
сажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их
сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров».
События A и В несовместные, вероятность их суммы равна
сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В),
откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.Отве т : 0,38.
45. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один во-
прос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна
13
0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллело-
грамм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно отно-
сятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что
на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих
двух тем.
Решение. Вероятность суммы двух несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.
Ответ : 0,35.
46.Вероятность того, что новый электрический чайник про-
служит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он
прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероят-
ность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше
года.
Решение. Пусть A = «чайник прослужит больше года, но мень-
ше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет»,
С = «чайник прослужит ровно два года», тогда
A + B + С = «чайник прослужит больше года». События A, В и
С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятно-
стей этих событий. Вероятность события С, состоящего в
том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — стро-
го в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:
P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B)
откуда, используя данные из условия, получаем
0,97 = P(A) + 0,89.Тем самым, для искомой вероятности
имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08. О твет: 0,08.
47. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и
отличная, причём погода, установившись утром, держится
неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 по-
года завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля,
погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность
того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение. Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО,
ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода).
Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) =
0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128; P(OXO) =
14
0,2·0,2·0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.Указанные со-
бытия несовместные, вероятность их суммы равна сумме веро-
ятностей этих событий:
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008
+ 0,128 = 0,392. Отве т : 0,392.
48. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из
них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо
от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы
один автомат исправен.
Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба авто-
мата. Эти события независимые, вероятность их произведения
равна произведению вероятностей этих событий:
0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен
хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его
вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975. Ответ : 0,9975.
49. В торговом центре два одинаковых автомата продают
кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закон-
чится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончит-
ся в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение. Рассмотрим событиеА = кофе закончится в первом
автомате, В = кофе закончится во втором автомате.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате
равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во
втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что
кофе останется в первом или втором автомате равна
1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B),
имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность
х = 0,52. Отв е т : 0,9975.
50. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для авто-
мобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих сте-
кол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% брако-
ванных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того,
15
что случайно купленное в магазине стекло окажется брако-
ванным.
Решение. Вероятность того, что стекло куплено на первой
фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135. Вероятность
того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракован-
ное: 0,55 · 0,01 = 0,0055. Поэтому по формуле полной вероятно-
сти вероятность того, что случайно купленное в магазине
стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Ответ : 0,019.
51. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью
0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон
стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в
муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из
них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене
муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и
стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон про-
махнётся.
Решение. Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный
револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный
револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятно-
сти, вероятности этих событий равны соответственно
0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, веро-
ятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон про-
махнется, противоположное. Его вероятность равна
1 − 0,48 = 0,52. Ответ. 0,52
52. Чтобы поступить в институт на специальность «Линг-
вистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее
70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, рус-
ский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специ-
альность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов
по каждому из трёх предметов — математика, русский язык
и обществознание.
16
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70
баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8,
по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы
на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение. В силу независимости событий, вероятность успешно
сдать экзамены на лингвистику: 0,6·0,8·0,7 = 0,336, вероят-
ность успешно сдать экзамены на коммерцию:
0,6·0,8·0,5 = 0,24, вероятность успешно сдать экзамены и на
«Лингвистику», и на «Коммерцию»: 0,6·0,8·0,7·0,5 = 0,168.
Успешная сдача экзаменов на «Лингвистику» и на «Коммерцию»
— события совместные, поэтому вероятность их суммы равна
сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероят-
ность их произведения. Тем самым, поступить на одну из этих
специальностей абитуриент может с вероятностью
0,336 + 0,24 − 0,168 = 0,408. Ответ: 0,408.
53. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил
надёжность двух интернет- магазинов. Вероятность того, что
нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероят-
ность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9.
Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Счи-
тая, что интернет-магазины работают независимо друг от
друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не до-
ставит товар.
Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит
товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй мага-
зин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти собы-
тия независимы, вероятность их произведения (оба магазина не
доставят товар) равна произведению вероятностей этих собы-
тий: 0,1 · 0,2 = 0,02. Ответ: 0,02.
54.Перед началом волейбольного матча капитаны команд
тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд
начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с
командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероят-
ность того, что «Статор» будет начинать только первую и
17
последнюю игры. Решение. Требуется найти вероятность
произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру,
не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность
произведения независимых событий равна произведению веро-
ятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна
0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. О т вет: 0,125.
55. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ
крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа
называется положительным. У больных гепатитом пациен-
тов анализ даёт положительный результат с вероятностью
0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать
ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Из-
вестно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на
гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероят-
ность того, что результат анализа у пациента, поступившего
в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Решение. Анализ пациента может быть положительным по
двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ
верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это
несовместные события, вероятность их суммы равна сумме ве-
роятностей этих событий. Имеем: Р(А)=0,9•0.05=0,045;
Р(В)= 0,01•0,95=0,0095 ,Р(А+В)=Р(А)(В)=0,045+0,0095=0,0545.
Ответ : 0,0545.
56. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Веро-
ятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02.
Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему кон-
троля. Вероятность того, что система забракует неисправ-
ную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по
ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите
вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет
забракована системой контроля.
Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракова-
на, может сложиться в результате событий: A = батарейка
действительно неисправна и забракована справедливо или В =
батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несов-
18
местные события, вероятность их суммы равна сумме вероят-
ностей эти событий. Имеем:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,02•0,99+0,98•0,01=0,0198+0,0098=0,0296
Ответ : 0,0296.
57. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха
стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероят-
ность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Най-
дите вероятность того, что мишень будет поражена (либо
первым, либо вторым выстрелом).
Решение. Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень
поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоя-
щее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Веро-
ятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B наступает,
если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя вто-
рой раз, попал. Это независимые события, их вероятность
равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7
= 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы
равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B) = P(A) +
P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91. Ответ : 0,91.
58.Перед началом футбольного матча судья бросает монет-
ку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть
мячом. Команда А должна сыграть два матча — с командой
В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих
матчах первой мячом будет владеть команда А.
Решение. Рассмотрим все возможные исходы жеребьёвки.
· КомандаА в матче в обоих матчах первой владеет мячом.
· КомандаА в матче в обоих матчах не владеет мячом первой.
· КомандаА в матче с командой В владеет мячом первой, а в
матче с командой С — второй.
· КомандаА в матче с командой С владеет мячом первой, а в
матче с командой В — второй.
Из четырех исходов один является благоприятным, вероят-
ность его наступления равна 1:4=0,25. Отв е т : 0,25.
59. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попа-
дания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите ве-
19
роятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени,
а последний раз промахнулся.
Решение. Вероятность промаха равна 1 − 0,5 = 0,5. Вероят-
ность того, что стрелок первые три раза попал в мишени равна
0,5
3
= 0,125. Откуда, вероятность события, при котором стре-
лок сначала три раза попадает в мишени, а четвёртый раз про-
махивается равна 0,125 · 0,5 = 0,0625. Ответ : 0,0625.
6 0 . П е р е д н а ч а л ом м а т ча п о фу т б о л у су д ь я
б р о с ае т м он е т у , чт о б ы о п р ед е л и т ь , к а к а я и з
к о м ан д б у де т п е рв о й в ла д е т ь м я ч о м . К о м а нд а
« Б а йк а л » и гр а е т п о о ч е р ед и с ко м а н д а ми
« А му р » , « Ен и с е й » , « И рт ы ш» . Н ай т и
в е р о ят н о с т ь т о г о, ч т о к о м а нд а « Б ай к а л » бу д е т
п е р во й в л а д е т ь м я ч о м т о л ь к о в иг р е с
« А му р о м » .
Решен и е. Мон е т у б р о сают 3 раза .
Для к о ман ды « Б айк а л » во з м ожные исхо д ы в т р е х
броск а х {О О О } ,{Р О О } , {О Р О}, {О О Р},
{Р Р О } ,{Р О Р} , { О Р Р} ,{ Р Р Р } . В сег о и схо д о в 8,
благо п риятн ы x1(в ы п аден и е орл а в пе р в ой и г р е)
{О Р Р , 1:8=0,125.О т в е т 0,125.
61.У П е т и в к а р м а н е л е ж ат ш ес т ь м о н ет :
ч ет ы р е м о н е т ы п о р уб л ю и д в е м он е т ы по д в а
р у б ля . П е т я , н е г л я д я, п е р е ло ж и л к а к и е -т о т р и
м о н ет ы в д р у г о й к а р м а н . Н а й ди т е в е ро я т н о ст ь
т о г о, ч т о т е п е р ь д в е д ву х р у бл е в ы е м о н е т ы
л е жа т в о дн о м к ар м а н е .
Решен ие. Прон у м еруе м мон еты : руб л е вые – 1, 2,
3, 4; д в ухр у бл евы е – 5, 6. {123} {124} {125} {126}
{134} {135} {136} {145} {146} {156} {234} {235}
{236} {245} {246} {256} {345} {346} {356} {456}
n = 20 – ч исл о в сех ис х одов .Взят ь тр и
м онеты можн о так : ( числ а в п о р ядк е
возр а с тания,ч тобы н е пр опусти ть ком б и наци ю )
m = 8 – числ о бла г о приятн ых и с ход о в
(комбин ации , в к от о р ы х мо н е ты 5 и 6
(дву х р у бл евы е ) не в з яты и л и взят ы об е . 8:20 = 0,4
