Подготовка к ЕГЭ "Задачи на теорию вероятностей"

Задачи на теорию вероятностей

• Автор: Цыбикова Сэндэма Дугаровна
• учитель математики Сосново-Озёрской средней школы №2

• Подготовка к ЕГЭ

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.  

• Пусть событие A - "случайно купленное в магазине стекло - бракованное".
• H1 - "стекло куплено на 1 фабрике",
• H2 - "стекло куплено на 2 фабрике".
• P(H1) = 0,45 - вероятность купить стекло с 1 фабрики,
• P(H2) = 0,55 - вероятность купить стекло со 2 фабрики,
• при этом P(H1)+P(H2) = 0,45+0,55 = 1.
• P(A|H1) = 3/100 = 0,03 - вероятность, что бракованное стекло сделано на 1 фабрике,
• P(A|H2) = 1/100 = 0,01 - вероятность, что бракованное стекло сделано на 2 фабрике.
• По формуле полной вероятности
• P(A) = P(A|H1)P(H1)+P(A|H2)P(H2) = 0,45*0,03 + 0,55*0,01 = 0,019.
•  
• Ответ: 0,019.

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.  

• Возможность выиграть первую и вторую партию - независимые события, поэтому:
• P(A) = 0,3*0,52 = 0,156.

• Решение

Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.  

• Решение
• У каждого мальчика равные шансы начать игру. Их всего 4. Вероятность равна:
• P(A) = 1/4 = 0,25.
•  
• Ответ: 0,25.
•  

В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?  

• Решение
• Всего исходов - 16 (16 команд), благоприятных исходов (Россия окажется во 2 группе) - 4 (всего четыре "2"). Вероятность того, что Россия окажется во второй группе равна:
• P = 4/16 = 1/4 = 0,25.
•  
• Ответ: 0,25.

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.  

• Решение
• События независимы, поэтому искомая вероятность равна:
• P=0,2+0,15 = 0,35.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.   Решение

• Решение
• Пусть событие A - "кофе закончится к концу дня в первом автомате", B - "кофе закончится к концу дня во втором автомате", AB - "кофе закончится в обоих автоматах", A+B - "кофе закончится хотя бы в одном автомате".
• P(A) = P(B) = 0,3.
• P(AB) = 0,12 - вероятногсть того, что кофе закончится в обоих автоматах.
• События A и B - совместные.
• Найдем вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном
• P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) = 0,3+0,3-0,12 = 0,48.
• Значит вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах равна (как вероятность противоположного события):
• 1-0,48 = 0,52.

При печати в типографии 10% журналов имеют дефект. При контроле качества выявляют 80% дефектных журналов. Остальные журналы поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранный при покупке журнал не имеет дефектов. Ответ округлите до тысячных.   Решение :Вероятность того, что журнал имеет дефект, равна 0,1. Вероятность того, что этот дефект будет выявлен, равна 0,8. Тогда вероятность того, что дефект не будет выявлен, равна 1-0,8 = 0,2. А вероятность того, что журнал будет дефектным и поступит в продажу, равна 0,1*0,2 = 0,02. Значит в продажу поступит 90% журналов без дефектов и 2% журналов с дефектами. Всего - 92% журналов. Вероятность того, что журнал при покупке не имеет дефектов, равна 90/92 = 0,9782608... = 0,978. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.  

• Решение
• Нам подходят следующие варианты: 1 автомат исправен, а 2 - нет, наоборот: 2 исправен, а 1 - нет, и оба исправны.
• Вероятность того, что автомат исправен, равна 1 - 0,2 = 0,8.
• Тогда искомая вероятность того, что хотя бы один автомат исправен, равна:
• P=0,8⋅0,2+0,2⋅0,8+0,8⋅0,8=0,16+0,16+0,64=0,96.P=0,8⋅0,2+0,2⋅0,8+0,8⋅0,8=0,16+0,16+0,64=0,96.
•  
• Ответ: 0,96.

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист попадет более одного раза.   Решение

• Найдем вероятность того, что биатлонист попадет 1 раз в мишень, либо не попадет ни разу.
• Вероятность промаха при одном выстреле равна 1-0,7 = 0,3.
• 1) Вероятность того, что биатлонист не попадет ни разу в мишень, равна
• 0,3⋅0,3⋅0,3⋅0,3⋅0,3=0,35.0,3⋅0,3⋅0,3⋅0,3⋅0,3=0,35.
• 2) Вероятность того, что биатлонист попадет в мишень 1 раз, равна (по формуле Бернулли):
• C15⋅0,7⋅0,34=5⋅0,7⋅0,34=3,5⋅0,34.C51⋅0,7⋅0,34=5⋅0,7⋅0,34=3,5⋅0,34.
• Тогда вероятность того, что биатлонист попадет в мишень 1 раз, либо не попадет ни разу, равна :
• 0,35+3,5⋅0,34=0,34(0,3+3,5)=0,34⋅3,8=0,03078.0,35+3,5⋅0,34=0,34(0,3+3,5)=0,34⋅3,8=0,03078.
• А значит, вероятность того, что биатлонист попадет в мишень более 1 раза, равна : 1 - 0,03078 = 0,96922.

• http://mathexam.ru/b10/b10_5.html