Истоки теории вероятностей

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 19

г. Заполярный Печенгского района Мурманской области

Истоки теории вероятностей.

Выполнила Сенькина М.А.,

учитель высшей категории

Содержание:

1. Истоки теории вероятностей.

2. Парадоксы теории вероятностей

3. Задачи теории вероятностей

3.1 Старинные задачи науки о случайном

3.2 Задачи школьной математики с занимательным сюжетом

4. Краткая биография великих математиков.

Научная деятельность.

П. Ферма и Б. Паскаль. Я. Бернулли. А. Н. Колмогоров

5. Список используемой литературы

1. Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные игры.

История теории вероятностей отмечена многими уникальными

особенностями. Прежде всего, в отличие от появившихся примерно в то же

время других разделов математики (например, математического анализа или

аналитической геометрии), у теории вероятностей по существу не было

античных или средневековых предшественников. Долгое время теория

вероятностей считалась чисто опытной наукой и «не совсем математикой»,

её строгое обоснование было разработано только в 1929 году. В наши дни

теория вероятностей занимает одно из первых мест в прикладных науках по

широте своей области применения; «нет почти ни одной естественной науки,

в которой так или иначе не применялись бы вероятностные методы».

Историки выделяют в развитии теории вероятностей несколько периодов.

1. Предыстория, до XVI века включительно. В античные времена и в

Средневековье философы ограничивались метафизическими

рассуждениями о происхождении случайности и её роли в природе.

Математики в этот период рассматривали и иногда решали задачи,

связанные с теорией вероятностей, но никаких общих методов и

тематических понятий еще не появилось. Главным достижение данного

периода можно считать развитие комбинаторных методов, которые позже

пригодились создателям теории вероятностей.

2. Начало формирования во второй половине XVII века основных понятий и

методов теории вероятностей для случайных величин с конечным числом

значений. Стимулом вначале служили преимущественно проблемы,

возникающие в азартных играх, однако область применения теории

вероятностей почти сразу начинает расширяться, включая в себя

прикладные задачи демографической статистики, страхового дела и

теории приближенных вычислений. На этом этапе важный вклад в идеи

новой науки внесли Паскаль и Ферма. Гюйгенс ввел два фундаментальных

понятия: числовая мера вероятности события, а также понятие

математического ожидания случайной величины.

3. В XVIII веке появились монографии с изложением теории вероятностей.

Первой из них стала книга Якоба Бернулли «Искусство предположений»

(1713 год). В ней Бернулли предложил классическое определение

вероятности случайного события. Он также изложил правила подсчета

вероятности для сложных событий и дал первый вариант «закона больших

чисел».

4. Идеи Бернулли далеко развили в начале XIX века Лаплас, Гаусс, Пуассон.

Применение вероятностных методов в прикладной статистике

значительно расширилось. Понятие вероятности стало определено и для

непрерывных случайных величин. Появляются первые попытки

применения теории вероятностей в физике. К концу XIX века появляется

статистическая физика.

5. В XX веке в физике была создана теория микромира, а в биологии –

теория наследственности, обе они существенно основаны на

вероятностных методах. Карл Пирсон разработал алгоритмы

математической статистики. А. Н. Колмогоров дал классическую

аксиоматику теории вероятностей. Из других новых областей применения

теории вероятностей необходимо упомянуть теорию информации и

теорию случайных процессов. Философские споры о том, что такое

вероятность и в чем причина её устойчивости, продолжаются.

Истоки теории вероятности лежат в практических задачах, встававших перед

человеком. И это отнюдь не исключительно оценка возможного успеха в

азартной игре. Например, уже в XIV веке в Нидерландах и Италии появились

первые страховые общества, работавшие в сфере морской торговли. Чтобы

владельцы судов не разорялись, они должны были оценивать степени риска

и правильно назначать страховые ставки. До появления математической

теории вероятности было ещё далеко и решения эти принимались исходя из

опыта. Однако наиболее запоминающиеся первые шаги будущей

математической теории связаны с анализом азартных игр. Игра в кости с

древних времен была известна в Индии и Греции, находки астрагалов с

нанесенными на грани отметками встречаются в Междуречье и Помпеях.

В средние века люди стали задаваться вопросами, сколько возможных сумм

очков получается при броске нескольких костей и сколькими способами

достигается каждая из них. В 960 году епископ Виболд из французского

города Камбре написал труд, где впервые были подсчитаны возможные

исходы бросания трех костей. Правда, их Виболд насчитал лишь 56. Но это

число не отражает количество равновероятных возможностей, так как

Виборд считал, например, что сумма равная четырем получается одним

способом (2+1+1), тогда как реально вариантов, дающих такую сумму – три

(2+1+1, 1+2+1, 1+1+2). Поэтому, если верить Виболду, суммы 3 (единственно

возможный исход 1+1+1) и 4 равновероятны, хотя на самом деле это не так.

Позднее французский священник, врач и поэт Ришар де Фурниваль (1201 –

1259) также написал труд об азартных играх, и даже фактически подошел к

вычислению числа исходов с учетом перестановок, но, подводя итог

повторил «ошибку Виболда» и назвал число 56. Эта ошибка с количеством

возможных исходов сохранялась очень долго.

В обширной математической энциклопедии «Сумма арифметики, геометрии,

отношений и пропорций» итальянца Луки Пачоли (1445 – 1514)

содержатсяоригинальные задачи на тему: как разделить ставку между двумя

игроками, если серия игр прервана досрочно. Пример подобной задачи:

«Компания играет в мяч до 60 очков, победитель получает всю ставку в 22

дуката. В связи с некоторыми обстоятельствами игра прекращена до её

окончания, причем первый игрок набрал 50 очков, а второй – 30 очков.

Требуется справедливо разделить исходную ставку и определить какую долю

должен получить каждый игрок.» Пачоли предлагал делить ставку

пропорционально набранным очкам (5/3), однако это решение казалось

ошибочным уже современникам.Итальянский алгебраистНикколо Тарталья

(1499 – 1557)раскритиковал подход Пачоли к решению задачи о разделе

ставки. А если игра была бы прервана не при счете 50 : 30, а при счете 50 : 0?

Приняв решение Пачоли, вся сумма должна достаться первому игроку, хотя

второй явно сохранял шансы на победу. Впрочем, найти верное решение не

смог и Тарталья.

Знаменитый алгебраист XVIвека ДжероламоКардано (1501 – 1576) посвятил

анализу игры содержательную монографию «Книга об игре в кости» (1526,

опубликована посмертно). Кардано провел полный и безошибочный анализ

для значений суммы очков и указал для разных событий ожидаемое значение

доли «благоприятных» событий: например, при бросании трех костей доля

случаев, когда значения всех трех костей совпадают, равна 6/216 или 1/36.

Ученый сделал проницательное замечание: реальное количество

исследуемых событий может при небольшом числе игр сильно отличать от

теоретического, но чем больше игр в серии, тем доля этого различия

меньше.По существу, Кардано близко подошел к понятию вероятности:

«Имеется одно общее правило для расчета: необходимо учесть общее число

возможных выпадений и число способов, которыми могут появиться данные

выпадения, а затем найти отношение последнего числа к числу оставшихся

возможных выпадений»

Таким образом, уже в XVI веке возникли задачи вероятностного характера и

разыскивались подходы к их решению. Значимый вклад в этот прогресс внес

Галилео Галилей (1564 – 1642). Его работа «О выходе очков при игре в кости»

(1718, опубликована посмертно) была посвящена подсчету возможных

случаев при бросании трех костей. Изложение игры у Галилея отличается

исчерпывающей полнотой и ясностью. Число всех возможных случаев

ученый подсчитал простым и естественным путем, возвел 6 (число

различных возможностей при бросании одной кости) в третью степень и

получил 216. Далее он подсчитал число различных способов, которыми

может быть получено то или другое значение суммы выпавших на костях

очков. При подсчете Галилей пользовался полезной идеей: кости

нумеровались (первая, вторая, третья) и возможные исходы записывались в

виде троек чисел, причем на соответствующем месте стояло число очков,

выпавшее на кости с данным номером. Эта простая мысльдля своего времени

оказалась очень полезной.

Галилей в сущности повторил результаты, полученные значительно раньше

рядом предшественников. Однако эта, теперь простая задача, в ту пору была

серьезным испытанием и для мыслителя столь высокого ранга как Галилей.

Заметим, что у Галилея, как и у его предшественников, рассуждения ведутся

не над вероятностями случайных событий, а над числами шансов, которые

им благоприятствуют.

Для теории вероятности и математической статистики большое значение

имеют соображения Галилея по поводу теории ошибок наблюдений. До него

никто этим не занимался. Исследования Галлилея были новыми для его

времени и важны даже в наши дни. Свои мысли и выводы он достаточно

подробно изложил в одном из основных своих произведений: «Диалог о двух

главнейших системах мира, птолемеевой и коперниковой»

XVII век

Следующим важным, во многом даже определяющим этапом

в развитии математических представлений о вероятности

Б.Паскаль

стала переписка Блеза Паскаля (1623 – 1662) и Пьера Ферма (1601 –

1665).Часть писем не сохранилась, но три письма Паскаля и четыре письма

Ферма, дошедшие до нас, были опубликованы в 1679 году в Тулузе. В этой

переписке ещё отсутствует понятие вероятности, иоба

ученыхограничиваются рассмотрением числа благоприятствующих событию

шансов. У этих авторов впервые в истории имеется правильное решение

задачи о разделе ставки, которая отняла много усилий у исследователей в

течение длительного времени. Оба они исходили из одной и той же идеи:

надо разделить ставку в соответственно остающимся шансам на выигрыш. В

предложенных ими решениях можно увидеть зачаткииспользования

математического ожидания и теорем о сложении и умножении вероятностей.

Это был серьезный шаг в создании предпосылок и интересов к задачам

теоретико – вероятностного характера. Второй шаг был сделан также

Паскалем, когда он существенно продвинул развитие комбинаторики и

указал на ее значение для зарождающейся теории вероятностей. Толчком к

появлению интересов Паскаля к задачам, приведшим к теории вероятностей,

послужили встречи и беседы с придворным французского королевского

двора шевалье де Мере, который интересовался литературой, философией и

одновременно был страстным игроком.Как выразился Пуассон, «задача,

относившаяся к азартным играм и поставленная перед суровым янсенистом

светским человеком, была источником теории вероятностей». Этим светским

человеком был шевалье де Мере, а «суровым янсенистом» — Паскаль.Де

Мере задал Паскалю следующие вопросы:

1) Сколько раз нужно подбросить две кости в надежде получить

наибольшее число очков, то есть двенадцать?

2) Как распределить выигрыш между двумя игроками в случае

неоконченной партии.

Первая задача сравнительно легка: надо определить, сколько может быть

различных сочетаний очков; лишь одно из этих сочетаний благоприятно

событию, все остальные неблагоприятны, и вероятность вычисляется очень

просто. Вторая задача была значительно труднее.

Обе были решены одновременно в Тулузе математиком

Ферма и в Париже Паскалем. По этому поводу в 1654 году

между Паскалем и Ферма завязалась переписка, и, не

будучи знакомы лично, они стали лучшими друзьями.

П.Ферма

Ферма решил обе задачи посредством придуманной им теории сочетаний.

Решение Паскаля было значительно проще: он исходил из чисто

арифметических соображений. Паскаль очень радовался совпадению

результатов и писал: «С этих пор я желал бы раскрыть перед вами свою

душу, так я рад тому, что наши мысли встретились. Я вижу, что истина одна

и та же в Тулузе и в Париже».

Вот краткое решение Паскаля:предположим, что играют два игрока и что

выигрыш считается окончательным после победы одного из них в трех

партиях. Предположим, что ставка каждого игрока составляет 32 пистоля и

что первый уже выиграл две партии (ему не хватает одной), а второй выиграл

одну (ему не хватает двух). Им предстоит сыграть еще партию. Если ее

выиграет первый, он получит всю сумму, то есть 64 пистоля; если второй, у

каждого будет по две победы, шансы обоих станут равны, и в случае

прекращения игры каждому, очевидно, надо дать поровну.

Итак, если выиграет первый, он получит 64 пистоля. Если выиграет второй,

то первый получит лишь 32. Поэтому, если оба согласны не играть

предстоящей партии, то первый вправе сказать: 32 пистоля я получу во

всяком случае, даже если я проиграю предстоящую партию, которую мы

согласились признать последней. Стало быть, 32 пистоля мои. Что касается

остальных 32 — может быть, их выиграю я, может быть, и вы; поэтому

разделим эту сомнительную сумму пополам. Итак, если игроки разойдутся,

не сыграв последней партии, то первому надо дать 48 пистолей, или же 3/4

всей суммы, второму 16 пистолей, или 1/4 суммы, из чего видно, что шансы

первого из них на выигрыш втрое больше, чем второго (а не вдвое, как

можно было бы подумать при поверхностном рассуждении).

Несмотря на то, что их исследования проводились с использованием разных

игровых ситуаций, эта теория имеет огромное количество применений. Она

лежит в основе всех систем страхования и представляет огромную ценность

для многих других отраслей науки, таких как квантовая физика, где

поведение элементарных частиц можно описать с помощью вероятностей.

Именно Паскалю принадлежит изобретение простого метода для

определения вероятности результатов, который известен сегодня как

Треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля часто выписывают в виде равнобедренного

треугольника, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы,

каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и

справа в предшествующей строке. А еще проще объясняют устройство

треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных

над ним чисел.

Число, показывающее, сколькими способами можно выбрать n элементов из

множества, содержащего k различных элементов, стоит на пересечении n-ной

диагонали и k-ой строки. В частности, если необходимо выбрать из семи

элементов множества три элемента, то это можно сделать 35 – ю

способами.

Паскаль в своих трудах далеко продвинул применение комбинаторных

методов, которые систематизировал в своей книге «Трактат об

арифметическом треугольнике» (1665).

Несколько позднее Паскаля и Ферма к теории вероятностей

обратился Христиан Гюйгенс (1629 – 1695). До него дошли

сведения об их успехах в новой области математики.

Гюйгенс пишет работу: «О расчетах в азартной игре» (1657).

До начала восемнадцатого века его труд был единственным

руководством по теории вероятностей и оказал большое

влияние на многих математиков. Именно Гюйгенс ввел

понятие математического ожидания и приложил его к

решению задачи о разделении ставки при разном числе

игроков и разном количестве недостающих партий и к задачам, связанным с

Х.Гюйгенс

бросанием игральных костей. Математическое ожидание стало первым

основным теоретико – вероятностным понятием.

Непосредственное практическое применение вероятностные методы

нашли, прежде всего, в задачах страхования. Уже с концаXVII века

страхование стало производится на научной математической основе. С тех

пор теория вероятностей находит все более широкое применение в

различных областях.

XVIII - XIX век

По существу, теория вероятностей как наука начинается с работы

ЯкобаБернулли (1654–1705) «Искусство предположений».Я. Бернулли

обдумывал свое произведение долгие годы, по его словам,

по меньшей мере двадцать лет. Но свет оно увидело лишь в

1716 г., после смерти автора. Однако содержание этого

произведения многие годы до его публикации уже было

известно научной общественности по рукописи, которая

стала доступна многим.Таким образом трактат Я. Бернулли

оказывал влияние на развитие теории вероятностей задолго

до его опубликования.

Книга Я. Бернулли состоит из четырех частей. Первая её часть посвящена

изложению работы Х.Гюйгенса и примечаниям к её содержанию. В

частности в одном из них установлена известная формула Я.Бернулли для

вероятности того, что при n независимых испытаниях событие А появится m

раз с вероятностью, равной

mnm



, где p –вероятность успеха, а q –

вероятность неудачи события А. Вероятность того, что из n испытаний

событие случится mраз,причем в произвольном порядке, равна

mnmm

qpC



Вторая часть «Учение о перестановках и сочетаниях» представляет

собой обзор того, что во времена Бернулли было известно о комбинаторике,

включая его собственные результаты. Третья часть работы Бернулли

«Применение учения о сочетаниях к различным случайным играм и играм в

кости» содержит 24 задачи с подробными решениями. Четвертая часть книги,

носящая название «Применение предыдущего учения к гражданским,

моральным и экономическим вопросам», не может считаться завершенной. В

Я.Бернулли

ней Бернулли рассмотрел большое число общих вопросов, связанных с

теорией вероятностей. Центром всей книги и основным её результатом

следует считать теорему, на которой заканчивается изложение, и которая

получила впоследствии название закона больших чисел в форме Бернулли

(название закону дал позже Пуассон). Именно она принесла неувядаемую

славу её автору.

Еще до Якова Бернулли многие отмечали как факт ту особенность случайных

явлений, которую можно назвать «свойством устойчивости частот при

большом числе опытов». Было неоднократно отмечено, что при большом

числе опытов, исход каждого из которых является случайным, относительная

частота появления каждого данного исхода имеет тенденцию

стабилизироваться, приближаясь к некоторому определенному числу –

вероятности этого исхода. Например, если много раз бросать монету,

относительная частота появления герба приближается к 1/2; при

многократном бросании игральной кости частота появления грани с пятью

очками приближается к 1/6 и т.д. Бернулли впервые дал теоретическое

обоснование этому факту. Теорема Якова Бернулли – простейшая форма

закона больших чисел – устанавливает связь между вероятностью события и

частотой его появления; при достаточно большом числе опытов можно с

практической достоверностью ожидать сколь угодно близкого совпадения

частоты с вероятностью.

Я. Бернулли ввел в рассмотрение и использование понятия вероятности

случайного события как числа, заключенного между 0 и 1. Достоверному

событию приписывалось единица (максимальное значение), а невозможному

- нуль (минимальное значение).В его сочинениивпервые появляется

определение вероятности (в весьма несовершенной форме).

Работа Я. Бернулли открыла перед теорией вероятностей новый путь

развития и переводила её в разряд математических дисциплин.

Первым, кто дал серьезное продолжение результата Я. Бернулли, был

Абрахам де Муавр (1667 – 1754). В области теории вероятностей особого

внимания заслуживают три его работы: «О мере случая» (1711), книга

«Доктрина шансов» (1718) и «Аналитические этюды» (1730). Муавр

определил важное понятие независимости случайных событий: «Мы скажем,

что два события независимы, когда каждое из них не имеет никакого

отношения к другому, а появление одного из них не оказывает никакого

влияния на появление другого».Сформулировал теорему умножения

вероятностей независимых событий.

А. Муавр воспринял классическое определение вероятности, данное

Бернулли, и вероятность события определил почти в точности так, как это

делаем мы теперь. Он писал: «Следовательно, мы строим дробь, числитель

которой будет число случаев появления события, а знаменатель - число всех

случаев, при которых оно может появиться или не появиться, такая дробь

будет выражать действительную вероятность его появления». Ученый не

заострял внимание на то, что шансы должны быть равновероятными. Это

замечание впервые было введено в определение классической вероятности

лишь П. Лапласом (1749 – 1827) в его «Аналитической теории вероятностей»

Лаплас привёл раннее сделанные выводы в теории вероятностей в систему,

усовершенствовал методы доказательств, сделав их менее громоздкими;

доказал теорему, носящую его имя. Один частный случай теоремы Лапласа

был известен А. Муавру.в связи с чем теорема Лапласа иногда называется

теоремой Муавра — Лапласа.

Уже в первой половине 18 века выяснилось, что классическое понятие

вероятности имеет ограниченную область применений и возникают

ситуации, когда оно не действует, а потому необходимо какое-то

естественное его расширение. Огромный вклад в развитие понятия

геометрической вероятности внес французский естествоиспытатель Ж.

Бюффон (1707 – 1788).Член Парижской академии наук и почётный член

Петербургской академии наук Бюффон дважды публиковал работы,

посвящённые геометрическим вероятностям (1733,1777). Цель, которую

ставил перед собой Бюффон, состояла в том, чтобы показать, что «геометрия

может быть использована в качестве аналитического инструмента в области

теории вероятностей». Он рассматривал следующие задачи:

1) Пол разграфлен на одинаковые фигуры. На пол бросается монета, её

диаметр меньше каждой из сторон и монета целиком укладывается внутрь

фигуры. Чему равна вероятность того, что брошенная наудачу монета

пересечет одну или две стороны фигуры?

2) На плоскость, разграфленную равноотстоящими параллельными прямыми,

наудачу бросается игла; один игрок утверждает, что игла пересечёт одну из

прямых, другой – что не пересечёт. Определить вероятность выигрыша

каждого игрока.

После Бюффона задачи на геометрические вероятности стали систематически

включатся в монографии и учебные пособия по теории вероятностей.

Для всего XVIII и начала XIX века характерны бурное развитие теории

вероятностей и повсеместное увлечение ею. Теория вероятностей становится

«модной» наукой. Её начинают применять не только там, где это применение

правомерно, но и там, где оно ничем не оправдано. Для этого периода

характерны многочисленные попытки применить теорию вероятностей к

изучению общественных явлений, к так называемым «моральным» или

«нравственным» наукам. Во множестве появились работы, посвященные

вопросам судопроизводства, истории, политики, даже богословия, в которых

применялся аппарат теории вероятностей. Для всех этих псевдонаучных

исследований характерен чрезвычайно упрощенный, механистический

подход к рассматриваемым в них общественным явлениям. В основу

рассуждения полагаются некоторые произвольно заданные вероятности

(например, при рассмотрении вопросов судопроизводства склонность

каждого человека к правде или лжи оцениваются некоторой постоянной,

одинаковой для всех людей вероятностью), и далее общественная проблема

решается как простая арифметическая задача. Естественно, что все подобные

попытки были обречены на неудачу и не могли сыграть положительной роли

в развитии науки. Напротив, их косвенным результатом оказалось то, что

примерно в 20-х-30-х годах XIX века в Западной Европе повсеместное

увлечение теорией вероятностей сменилось разочарование и скептицизмом.

На теорию вероятностей стали смотреть как на науку сомнительную,

второсортную, род математического развлечения, вряд ли достойный

серьезного изучения.

Замечательно, что именно в это время в России создается та знаменитая

Петербургская математическая школа, трудами которой теория вероятностей

была поставлена на прочную логическую и математическую основу и

сделана надежным, точным и эффективным методом познания. Со времени

появления этой школы развитие теории вероятностей уже теснейшим

образом связано с работами русских, а в дальнейшем – советских ученых.

Среди учеников Петербургской математической школы следует назвать В. Я.

Буняковского (1804 - 1889) – автора первого курса теории вероятностей на

русском языке, создателя современной русской терминологии в теории

вероятностей, автора оригинальных исследований в области статистики и

демографии.

Учеником В. Я. Буняковского был великий русский математик П. Л.Чебышев

(1821 - 1894). Среди обширных и разнообразных математических трудов П.

Л. Чебышева заметное место занимают его труды по теории вероятностей. П.

Л. Чебышеву принадлежит дальнейшее расширение и обобщение закона

больших чисел. Кроме того, П. Л. Чебышев ввел в теорию вероятностей

весьма мощный и плодотворный метод моментов.

Характерной особенностью работ Петербургской математической школы

была исключительная четкость постановки задач, полная математическая

строгость применяемых методов и наряду с этим тесная связь теории с

непосредственными требованиями практики. Трудами ученых Петербургской

математической школы теория вероятностей была выведена с задворков

науки и поставлена как полноправный член в ряд точных математических

наук. Условия применения её методов были строго определены, а самые

методы доведены до высокой степени совершенства.

XX век

Современное развитие теории вероятностей характерно всеобщим подъемом

интереса к ней и резким расширением круга её практических применений.

Теория вероятностей превратилась в одну из наиболее быстро

развивающихся наук, теснейшим образом связанную с потребностями

практики и техники. Советская школа теории вероятностей, унаследовав

традиции Петербургской математической школы, занимает в мировой науке

ведущее место.

Решающую роль в развитии современной теории вероятностей и её

практических приложений сыграли А. Я. Хинчин (1894 - 1959) и А.Н.

Колмогоров (1903 – 1987). Теория вероятностей стала

областью совместной деятельности учёных. Современный

вид теория вероятностей получила благодаря

аксиоматизации, предложенной А. Н. Колмогоровым Своей

А.Н. Колмогоров

работой «Основные понятия теории вероятностей», опубликованной в 1933

году на немецком и русском языках, А. Н. Колмогоров по существу заложил

фундамент современной теории вероятности, основанной на теории

меры.Особое значение имеют работы А. Н. Колмогорова в области теории

случайных функций (стохастических процессов), которые в настоящее время

являются основой всех исследований в данной области. Работы А. Н.

Колмогорова, относящиеся к оценке эффективности, легли в основу целого

нового научного направления в теории стрельбы, переросшего затем в более

широкую науку об эффективности боевых действий.

Андрей Николаевич до конца своих дней считал теорию вероятностей

главной своей специальностью, хотя областей математики, в которых он

работал, можно насчитать добрых два десятка.

Теория вероятностей продолжает бурно развиваться, в ней появляются новые

направления исследований. Эти направления представляют значительный

общетеоретический и прикладной интерес.

2. Парадоксы теории вероятностей.

Теория вероятностей представляет собой область математики,

необычайно богатую парадоксами – истинами, настолько противоречащими

здравому смыслу, что поверить в них трудно даже после того, как

правильность их подтверждена доказательством. На самом деле в математике

нет другого такого раздела науки, в котором так же легко совершить

ошибку. Даже само высказывание «вычислить вероятность» содержит

парадокс. Ведь вероятность, в противоположность достоверности, есть то,

чего не знают. Как же можно вычислять то, о чем нет никаких знаний.

«Парадокс дней рождения»

Как вы думаете, сколько людей должно быть в определенной группе, чтобы

по крайней мере у двоих из них дни рождения совпадали с вероятностью

100% (имеется в виду день и месяц без учета года рождения)? Здесь и дальше

имеется в виду не високосный год, т.е. год, в котором 365 дней.

Ответ очевиден – в группе должно быть 366 человек.

Теперь другой вопрос: сколько должно быть человек, чтобы нашлась

пара с совпадающим днем рождения с вероятностью 99,9%?

На первый взгляд все просто – 364 человека. На самом деле достаточно 68

человек! То, что оказалось практически очевидным, на самом деле далеко от

истины.

«Парадокс раздела ставки»

Предположим, что вы играете с равным вам по силе противником, т.е. с

равными шансами. Вы договорились играть до шести побед. Тот, кто первым

выиграет шесть побед, получает скажем 80 денег. Но по каким то

независимым от вас причинам игра остановилась и вы закончили игру при

счете 5 : 3 в вашу пользу. Как честно разделить призовые 80 денег?

Большинство математиков (16-17 в) считали, что в отношении 5 : 3.

Тарталья считал, что 2 : 1, хотя Паскаль и Ферма установили, что 7 : 1. Кто

прав?

Решение. Что первое приходит в голову? Поскольку вы сыграли 8 игр, а

денег 80. То кажется логичным разделить их на 50 и 30. Но это неправильно.

Вам для победы не хватило одного выигрыша, в то время, как вашему

сопернику нужно было выиграть три следующие игры. Вероятность этого

125,05,05,05,0 

, т.е. 12,5%. Во всех остальных 87,5% случаев победите

вы. Следовательно, ваши шансы 87,5 к 12,5 или 7 к 1. Именно так и должны

быть поделены призовые: вам 70денег, сопернику – 10.

«Петербургский парадокс»

Этот парадокс считается самым знаменитым. Монета бросается пока не

выпадет решка, если это произойдет на k –м бросании, то игрок получит 2

долларов из банка, т.е. с каждым бросанием выигрыш удваивается. Вопрос:

сколько требуется заплатить игроку за участие в игре, чтобы при этом не

остаться в убытке?

В ответ трудно поверить: сколько бы ни платил игрок за каждую партию. Он

все равно сможет с лихвой окупить свои расходы. В каждой отдельно взятой

партии вероятность того, что игрок выиграет один доллар, равна ½,

вероятность выиграть два доллара равна ¼, четыре доллара – 1/8 и т.д. В

итоге игрок может рассчитывать на выигрыш в сумме

).8/14()4/12()2/11( 

+ … . Этот бесконечный ряд расходится: его

сумма равна бесконечности. Следовательно, независимо от того, какую

сумму игрок будет платить перед каждой партией, проведя достаточно

длинный матч, он непременно окажется в выигрыше. Разумеется, если игрок

заплатил за право сыграть одну партию, например 1000 долларов, то с весьма

высокой вероятностью он эту партию проиграет, но ожидание проигрыша с

лихвой компенсируется шансом, хотя и небольшим, выиграть

астрономическую сумму при выпадении длинной серии из одних лишь

орлов.

«Парадокс с подарками»

Несколько человек решили сделать друг другу подарки следующим образом.

Каждый приносит подарок. Подарки перемешиваются и случайно

распределяются среди участников. Этот справедливый способ применяется

часто, так как считается, что вероятность получения кем – то собственного

подарка очень мала. Парадоксально, но вероятность по крайней мере одного

совпадения намного больше вероятности того, что совпадения нет (кроме

тривиального случая из двух человек). Почему так?

«Парадокс Монти Холла»

«Допустим, некоему игроку предложили поучаствовать в известном

американском телешоу которое ведет Монти Холл, и ему необходимо

выбрать одну из трех дверей. За двумя дверьми находятся козы, за одной —

главный приз, автомобиль, ведущий знает расположение призов. После того,

как игрок делает свой выбор, ведущий открывает одну из оставшихся дверей,

за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свое решение.

Стоит ли игроку согласиться или лучше сохранить свой первоначальный

выбор?»

Вот типичный ход рассуждений: после того, как ведущий открыл одну из

дверей и показал козу, игроку остается выбрать между двумя дверями.

Машина находится за одной из них, значит, вероятность ее угадать

составляет ½. Так что нет разницы — менять свой выбор или нет. И тем не

менее, теория вероятностей гласит, что можно увеличить свои шансы на

выигрыш, изменив решение. Разберемся, почему это так.

Для этого вернемся на шаг назад. В тот момент, когда мы сделали свой

изначальный выбор, мы разделили двери на две части: выбранная нами и две

остальные. Очевидно, что вероятность того, что автомобиль прячется за

«нашей» дверью, составляет ⅓ — соответственно, автомобиль находится за

одной из двух оставшихся дверей с вероятностью ⅔. Когда ведущий

показывает, что за одной из этих дверей — коза, получается, что эти ⅔ шанса

приходятся на вторую дверь. А это сводит выбор игрока к двум дверям, за

одной из которых (изначально выбранной) автомобиль находится с

вероятностью ⅓, а за другой — с вероятностью ⅔. Выбор становится

очевидным. Что, разумеется, не отменяет того факта, что с самого начала

игрок мог выбрать дверь с автомобилем.

«Парадокс двух конвертов»

Этот парадокс стал известен благодаря математику Мартину Гарднеру, и

формулируется следующим образом: «Предположим, вам предложили два

конверта, в одном из которых лежит некая сумма денег X, а в другом —

сумма вдвое больше. Вы независимо друг от друга вскрываете конверты,

пересчитываете деньги, после чего можно сделать выбор – поменять конверт

или нет. Конверты одинаковые, поэтому вероятность того, что вам

достанется конверт с меньшей суммой, составляет 1/2. Допустим, вы

открыли конверт и обнаружили в нем сумму X. Следовательно, в другом

конверте равновероятно X/2 или 2X. Определяем средний выигрыш, если

возьмем другой конверт. Он составляет (0,5X + 2X)/2 = 1,25X.

Соответственно, разумнее выбирать другой конверт, (хотя неизвестно

больше там денег или нет), что противоречит интуитивной симметрии

задачи. Где ошибка в рассуждениях?

«Парадокс мальчика и девочки»

«У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребенок — мальчик. Какова

вероятность того, что и второй — тоже мальчик?»

Казалось бы, задача проста. Однако если начать разбираться,

обнаруживается любопытное обстоятельство: правильный ответ будет

отличаться в зависимости от того, каким образом мы будем подсчитывать

вероятность пола другого ребенка.

Вариант1

Рассмотрим все возможные комбинации в семьях с двумя детьми: Д/Д; Д/М;

М/Д; М/М. Вариант Д/Д нам не подходит по условиям задачи. Поэтому для

семьи мистера Смита возможны три равновероятных варианта — а значит,

вероятность того, что другой ребенок тоже окажется мальчиком, составляет

⅓.

Вариант2

Представим, что мы встречаем мистера Смита на улице, когда он гуляет с

сыном. Какова вероятность того, что второй ребенок — тоже мальчик?

Поскольку пол второго ребенка никак не зависит от пола первого, очевидным

(и правильным) ответом является ½. Почему так происходит, ведь, казалось

бы, ничего не изменилось?

Все зависит от того, как мы подходим к вопросу подсчета вероятности.

В первом случае мы рассматривали все возможные варианты семьи Смита.

Во втором — мы рассматривали все семьи, подпадающие под обязательное

условие «должен быть один мальчик». Расчет вероятности пола второго

ребенка велся с этим условием (в теории вероятностей это называется

«условная вероятность»), что и привело к результату, отличному от первого.

3. Задачи теории вероятностей.

3.1. Старинные задачи науки о случайном.

Задача о дележе ставки.

1. ( Никколо Тартальи, 1499 – 1557). Двое играют до шести выигрышных

партий. Один игрок имеет уже пять партий, а другой только три. Как

разделить ставку, если игра прервана?

2. (Лука Пачоли, 1445 - 1514).

Трое соревнуются в стрельбе из

арбалета (арбалет – самострел,

усовершенствованный лук). Кто

первым достигнет 6 лучших

попаданий, тот выигрывает.

Ставки 10 дукатов. Когда

первый получил 4 лучших

попадания, второй 3, а третий 2,

они не хотят продолжать и решают разделить приз справедливо.

Спрашивается, какой должна быть доля каждого?

3. (Х. Гюйгенс, 1629 – 1695). Игрокам А и В недостает по одной партии. А

игроку С – двух партий. Как разделить справедливо ставку?

Задачи об игре в кости.

4. (Джироламо Кардано,1501 – 1576). Указать количество случаев при

бросании двух игральных костей. В которых единица или двойка

появится хотя бы один раз.

5. (Х. Гюйгенс, 1629 – 1695). Однажды к итальянскому физику, механику,

астроному и математику Х. Гюйгенсу пришел солдат и попросил

помочь ему в решении вопроса, который длительное время не давал

ему покоя6 какая сумма при одновременном бросании трех костей

выпадет чаще – сумма в 9 очков или сумма в 10 очков?

Задачи о шарах.

6. (Я. Бернулли, (1654 – 1705). Некто положил в урну два шара, белый и

черный. И предложил трем игрокам премию при условии, что ее

получит тот. Кто первым вытянет белый шар. Первым извлекает шар А

и кладет его обратно, затем вторым испытывает счастье В и в конце,

третьим −С. Какие шансы имеют эти три игрока?

3.2.Задачи школьной математики с занимательным сюжетом.

1. (7 – 8 класс). Федя предложил Васе сыграть в игру: нужно бросить две

игральные кости и перемножить выпавшие числа. Самое большое

произведение 36, самое маленькое – 1. Если произведение получилось

от 1 до 18. То выиграл Федя, а если от 19 до 36, то выиграл Вася.

1) Соглашаться ли Васе на такие условия игры?

2) Как изменить границу, чтобы игра стала справедливой?

Решение. 1) нужно пересчитать комбинации из двух костей. При

которых произведение выпавших чисел от 1 до 18 и отдельно

комбинации, в которых произведение от 19 до 36. Это можно сделать с

помощью таблицы. Первых окажется больше. Все комбинации

равновозможны, поэтому Федя заведомо в лучшем положении. Васе

соглашаться не следует. 2) Деление должно проходить по медиане

случайной величины «произведение очков». Несложно видеть, что

медиана – 10. Справедливой была бы игра, где произведение в первом

случае от 1 до 9, во втором – от 10 до 36.

2. (8 – 9 класс) Иван Иванович отправился на охоту и оценивает свои

перспективы следующим образом: один шанс из четырех за то, что

попадется только заяц; один к десяти, что подстрелю только медведя;

один к сорока, что будет медведь и заяц. Найдите вероятность того, что

не видать Ивану Ивановичу в качестве охотничьего трофея а) ни

одного зайца; б) ни одного медведя; в) ни медведя, ни зайца.

Ответ: а) 29/40; б)7/8; в) 5/8.

3. ( 9 класс) Надя складывала в коробочку только двухрублевые монеты.

Однажды Ира взяла из коробочки несколько монет, заменив их

монетами по одному рублю так, что общая денежная сумма осталась

прежней. После замены вероятность наудачу вытащить двухрублевую

монету оказалась в 3 раза больше, вероятности вытащить рублевую.

Какую часть двухрублевых монет взяла Ира?

Ответ: 1/7

4. ( 7 – 9 класс). Сонные мухи. Однажды в октябре Никита глянул на

часы, висящие на стене, и увидел, что на циферблате уснули четыре

мухи. Первая спала в точности на отметке 12, а остальные так же точно

расположились на числах 3, 6 и 9.Надо же! Красиво! – восхитился

Никита и даже пожалел мух, заметив. Что часовая стрелка мухам не

грозит, а вот минутная стрелка обязательно сметет их всех по очереди.

Найдите вероятность того, что ровно через 20 минут после того, как

Никита глянул на часы, две мухи уже были сметены.

Решение. Событие «сметены ровно 2 мухи» наступает только в том

случае, если в момент, когда Никита глядел на часы, минутная стрелка

располагалась между 11 и 12 часами, 2 и 3 часами, 5 и 6 часами или 8 и

9 часами. Нетрудно заметить, что в совокупности эти интервалы дают 4

часа, что покрывает ровно 1/3 циферблата.

Ответ: 1/3.

5. ( 8 – 9 класс). У Ивана Ивановича есть компьютер, на котором он

пишет книгу воспоминаний. Все клавиши на клавиатуре работают

хорошо, и только клавиша М работает неправильно. С вероятностью

при нажатии этой клавиши получается буква П, а с вероятностью

−

букваМ. Найдите вероятность того, что фраза «Много лет назад, когда

я был маленьким мальчиком»будет написана правильно с первой

попытки.

Ответ: 32/243

6. ( 10 - 11 класс). В комнате расположены четыре шкафа, как показано на

рисунке.

Черепаха начинает ползти по направлению, указанному стрелкой.

Каждый раз, натыкаясь на шкаф, черепаха поворачивает влево или

вправо (с равными вероятностями) и снова ползет по прямой. Так

повторяется до тех пор, пока черепаха не достигнет какой – нибудь

стены комнаты. Найдите вероятность того, что черепаха остановится а)

у стены a; б) у стеныb; в) у стены с; г) устеныd.

Ответ: а)

; б)

; в)

; г)

7. Геометрическая вероятность. В городе Миргороде согласно

правилам дорожного движения, пешеход может перейти дорогу в

неустановленном месте, если в пределах видимости нет пешеходных

переходов. Расстояние между пешеходными переходами на улице

Солнечной равно 1 км. Пешеход переходит улицу Солнечную где – то

между этими двумя переходами. Он может видеть знак перехода не

дальше чем за 100 м от себя. Найдите вероятность того, что пешеход не

нарушает правил дорожного движения.

Ответ: 0,8

4. Краткая биография великих математиков. Научная деятельность.

Пьер Ферма родился 17 августа1601 года в гасконском городке Бомон-де-

Ломань (Франция). Его отец, Доминик Ферма, был зажиточным торговцем,

вторым городским консулом. В семье, кроме Пьера, были ещё один сын и две

дочери. Ферма получил юридическое образование — сначала в Тулузе, а

затем в Бордо и Орлеане.

В 1631 году, успешно закончив обучение, Ферма выкупил должность

королевского советника парламента (другими словами, члена высшего суда)

в Тулузе. В этом же году он женился. У него было пятеро детей.

Быстрый служебный рост позволил Ферма стать членом Палаты эдиктов в

городе Кастр (1648). Именно этой должности он обязан добавлением к

своему имени признака знатности — частицы de; с этого времени он

становится Пьером де Ферма.

Около 1652 года Ферма пришлось опровергать сообщение о своей кончине во

время эпидемии чумы; он действительно заразился, но выжил.

В 1660 году планировалась его встреча с Паскалем, но из-за плохого

здоровья обоих учёных встреча не состоялась

Современники характеризуют Ферма как честного, аккуратного,

уравновешенного и приветливого человека, блестяще эрудированного как в

математике, так и в гуманитарных науках, знатока многих древних и живых

языков, на которых он писал неплохие стихи

Работа советника в парламенте города Тулузы не мешала Ферма заниматься

математикой. Постепенно он приобрёл славу одного из первых математиков

Франции, хотя и не писал книг (научных журналов ещё не было),

ограничиваясь лишь письмами к коллегам. Среди его корреспондентов были

Р. Декарт, Б. Паскаль, Ж. Дезарг, Ж. Роберваль и другие.

Открытия Ферма дошли до нас благодаря сборнику его обширной переписки

(в основном через Мерсенна), изданной посмертно сыном Ферма.

В отличие от Галилея, Декарта и Ньютона, Ферма был чистым

математиком — первым великим математиком новой Европы. Независимо от

Декарта он создал аналитическую геометрию. Раньше Ньютона умел

использовать дифференциальные методы для проведения касательных,

нахождения максимумов и вычисления площадей. Правда, Ферма, в отличие

от Ньютона, не свёл эти методы в систему, однако Ньютон позже

признавался, что именно работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа

Главная же заслуга Пьера Ферма — создание теории чисел. Ферма широко

известен благодаря так называемой великой (или последней) теореме Ферма:

для любого натурального n>2 уравнение a

= c

не имеет натуральных

решенийa,b,c

Теорема была сформулирована им в 1637 году, на полях книги

«Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное

доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы привести его на полях.

Вероятнее всего, его доказательство не было верным, так как позднее он

опубликовал доказательство только для случая n = 4. Простота

формулировки этой теоремы привлекла много математиков-любителей, так

называемых ферматистов. До сих пор во все академии наук идут письма с

«доказательствами» великой теоремы Ферма.

Независимо от Паскаля Ферма разработал основы теории вероятностей.

Именно с переписки Ферма и Паскаля (1654), в которой они, в частности,

пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и

умножения вероятностей, отсчитывает свою историю эта замечательная

наука. В 1660 году планировалась его встреча с Паскалем, но из-за плохого

здоровья обоих учёных встреча не состоялась. Результаты Ферма и Паскаля

были приведены в книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре» (1657),

первом руководстве по теории вероятностей.

Имя Ферма носит основной принцип геометрической оптики, в силу

которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий

наименьшее время (впрочем, Ферма считал, что скорость света бесконечна, и

формулировал принцип более туманно). С этого тезиса начинается история

главного закона физики — принципа наименьшего действия.

Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в городе Кастр, во время выездной

сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но вскоре

(1675) прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма в церкви августинцев

(Тулуза).

Блез Паскаль (19 июня1623, Клермон-Ферран, — 19 августа1662, Париж) —

французскийматематик, физик, литератор и философ.

Блез рос одарённым ребенком и его отец самостоятельно занимался

образованием мальчика. Ранние работы Блеза относились к естественным и

прикладным наукам. Отец Блеза был сборщиком налогов, и, наблюдая за его

бесконечными утомительными расчетами, Паскаль задумал создать

вычислительное устройство, которое могло бы помочь этой работе. В

возрасте 19 лет в 1642 году Паскаль начал создание своей суммирующей

машины «паскалины». Машина Паскаля выглядела в виде ящика,

наполненного многочисленными связанными одна с другой шестерёнками.

Складываемые числа вводились соответствующим поворотом колес.

Примерно за 10 лет Паскаль построил около 50 вариантов своей машины.

Несмотря на вызываемый ею всеобщий восторг, машина не принесла

богатства своему создателю. Однако изобретённый Паскалем принцип

связанных колёс почти на три столетия стал основой создания большинства

вычислительных устройств.

Паскаль был первоклассным математиком. Он помог создать два крупных

новых направления математических исследований. В возрасте шестнадцати

лет написал замечательный трактат о предмете проективной геометрии и в

1654 году переписывался с Пьером де Ферма по теории вероятностей, что

впоследствие оказало принципиальное влияние на развитие современной

экономики и социологии.

Имя Блеза Паскаля носит один из языков программирования Pascal, а также

способ расположения биномиальных коэффициентов в таблицу —

треугольник Паскаля.

коб Берну

лли (27 декабря1654, Базель, — 16 августа1705, там же) —

швейцарский математик, профессор математики Базельского университета (с

1687 года). Один из основателей теории вероятностей и математического

анализа. Иностранный член Парижской Академии наук (1699) и Берлинской

академии наук (1701).

Якоб родился в семье преуспевающего фармацевта Николая Бернулли.

Вначале, по желанию отца, учился в Базельском университете богословию,

но увлёкся математикой, которую изучил самостоятельно. В университете

овладел также 5 языками (французский, итальянский, английский, латинский,

греческий), в 1671 году получил учёную степень магистра философии.

В 1676-1680 годах совершил поездку по Европе. Заехал во Францию для

изучения идей Декарта, затем в Италию. Вернувшись в Базель, некоторое

время работал частным учителем.

В 1682 году отправился в новое путешествие, навестив Нидерланды и

Англию, где познакомился с Гюйгенсом, Гуком и Бойлем. В 1684 году, по

возвращении в Базель, женился, родились сын и дочь.

В 1683 году начал читать лекции по физике в Базельском университете. С

1687 года избран профессором физики (с 1687 года — математики) в этом

университете.

1687: обнаружил первый мемуарЛейбница (1684 года) по анализу и с

энтузиазмом начал освоение нового исчисления. Обратился с письмом к

Лейбницу с просьбой разъяснить несколько тёмных мест. Ответ он получил

только спустя три года (1690, Лейбниц тогда был в командировке в Париже);

за это время Якоб Бернулли самостоятельно освоил дифференциальное и

интегральное исчисление, а заодно приобщил к нему брата Иоганна. По

возвращении Лейбниц вступил в активную и взаимно-полезную переписку с

обоими. Сложившийся триумвират — Лейбниц и братья Бернулли — 20 лет

возглавлял европейских математиков и чрезвычайно обогатил новый анализ.

Научная деятельность: Якоб Бернулли внёс огромный вклад в развитие

аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления. Его

именем названа лемниската Бернулли

Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов,

дифференциальном исчислении, теории вероятностей и теории чисел, где его

именем названы «числа Бернулли».

Якоб Бернулли ввёл значительную часть современных понятий теории

вероятностей и сформулировал первый вариант закона больших чисел. Якоб

Бернулли подготовил монографию в этой области, однако издать её не успел.

Она была напечатана посмертно, в 1713 году, его братом Николаем, под

названием «Искусство предположений» (Arsconjectandi). Это

содержательный трактат по теории вероятностей, статистике и их

практическому применению, итог комбинаторики и теории вероятностей

XVII века. Имя Якоба носит важное в комбинаторике распределение

Бернулли.

Якоб Бернулли издал также работы по различным вопросам арифметики,

алгебры, геометрии и физики

В 1692 году у Якоба Бернулли обнаружились первые признаки туберкулёза,

от которого он и скончался в 1705 году. В честь Якоба и Иоганна Бернулли

назван кратер на Луне.

Андре

й Никола

евич Колмого

ров (1903—1987) — выдающийся русский

советский математик, основоположник современной теории вероятностей,

также работал в области топологии, логики, теории турбулентности, теории

сложности алгоритмов.

Ученик Николая Лузина, с 1931 профессор Московского Государственного

Университета. С 1939 — академик Академии Наук СССР.

По меткому выражению Стефана Банаха, математик — это тот, кто умеет

находить аналогии между утверждениями. Лучший математик — кто

устанавливает аналогии доказательств. Более сильный может заметить

аналогии теорий. Но есть и такие, кто между аналогиями видит аналогии.

Вот к этим редким представителям последних и относится Андрей

Николаевич Колмогоров — один из лучших, если не лучший математик

двадцатого века.

Андрей Николаевич Колмогоров родился 12 (25) апреля 1903 г. в Тамбове

Андрей уже в ранние годы обнаруживает замечательные математические

способности. В пять лет он опубликовал свою первую научную работу по

математике. Правда, это была всего-навсего известная алгебраическая

закономерность, но ведь мальчик сам ее подметил, без посторонней помощи!

Но все-таки еще рано говорить, что дальнейший путь его уже определился.

Были еще увлечение историей, социологией.

Когда в 1920 г. Андрей Колмогоров стал думать о поступлении в институт,

перед ним возник вечный вопрос: чему себя посвятить, какому делу? Влечет

его на математическое отделение университета, но есть и сомнение: здесь

чистая наука, а техника — дело, пожалуй, более серьезное. Вот, допустим,

металлургический факультет Менделеевского института! Настоящее

мужское дело, кроме того, перспективное. Андрей решает поступать и туда и

сюда. Но вскоре ему становится ясно, что чистая наука тоже очень актуальна,

и он делает выбор в ее пользу.

В 1920 г. он поступил на математическое отделение Московского

университета.

В 1930 г. Колмогоров стал профессором МГУ, с 1933 по 1939 год был

ректором Института математики и механики МГУ, многие годы руководил

кафедрой теории вероятностей и лабораторией статистических методов. В

1935 году Колмогорову была присвоена степень доктора физико-

математических наук, в 1939 году он был избран членом АН СССР.

Незадолго до начала Великой Отечественной войны Колмогорову и Хинчину

за работы по теории вероятностей была присуждена Сталинская премия

(1941).

23 июня 1941 года состоялось расширенное заседание Президиума Академии

наук СССР. Принятое на нем решение кладет начало перестройке

деятельности научных учреждений. Теперь главное — военная тематика: все

силы, все знания — победе. Советские математики по заданию Главного

артиллерийского управления армии ведут сложные работы в области

баллистики и механики. Колмогоров, используя свои исследования по теории

вероятностей, дает определение наивыгоднейшего рассеивания снарядов при

стрельбе.

Война завершилась, и Колмогоров возвращается к мирным исследованиям.

Трудно даже кратко осветить вклад Колмогорова в другие области

математики — общую теорию операций над множествами, теорию

интеграла, теорию информации, гидродинамику, небесную механику и т. д.

вплоть до лингвистики. Во всех этих дисциплинах многие методы и теоремы

Колмогорова являются, по общему признанию, классическими, а влияние его

работ, как и работ его многочисленных учеников, среди которых немало

выдающихся математиков, на общий ход развития математики чрезвычайно

велико. Академик Колмогоров — почетный член многих иностранных

академий и научных обществ. В марте 1963 года ученый был удостоен

международной премии Больцано, которую называют «Нобелевской

премией математиков» (в завещании Нобеля работы математиков оговорены

не были). В том же году Андрею Николаевичу присвоили звание Героя

Социалистического Труда. В 1965 году ему присуждена Ленинская премия

(совместно с В. И. Арнольдом). В последние годы Колмогоров заведовал

кафедрой математической логики.

Список литературы:

1. Гончар А. В. Элементы теории вероятностей: Учебное пособие. –

Нижний Новгород: ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2007

2. Гнеденко Б. В. Из истории науки о случайном – М.; Знание,1981

3. Гнеденко Б. В. Очерк по истории теории вероятностей – М.; Наука.

1988

4. Бродский И. Л. , Мешавкина О. С. Вероятность и статистика. 10 – 11

классы. – М.; 2009

5. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко. Теория

вероятностей и статистика. – М.; МЦНМО, 2008

6. Высоцкий И. Р. Теория вероятностей и статистика. Задачи заочных

интернет – олимпиад. – М.; МЦНМО, 2011

7. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с

решениями /Пер. с англ.. под. Ред. Линника Ю. В. – М.; Наука, 1985

8. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической

статистике – М.; Мир, 1990

9. Кордемский Б. А. Великие жизни в математике.− М, Просвещение,

1995

10. Баврин И. И., Фрибус Е. А. Старинные задачи – М.;

Просвещениие,1994

Интернет – ресурсы:

1. http://2cafe.net/19103-4-paradoksa-teorii-

veroyatnostey.html#ixzz3Gyt3jG2P

2. http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/1040fa23-ac04-b94b-4a41-

bd93fbf0d55a/25448/?interface=themcol

3. https://ru.wikipedia.org/wiki

Скачать материал

Истоки теории вероятностей

Математика - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы