Презентация "Элементы теории множеств"

• Элементы
• теории множеств

1. Понятия множества.

• 1. Понятия множества.
• Что такое множество;
• Виды множеств;
• Способы задания множества.
• 2. Подмножество
• Понятие подмножества;
• Число подмножеств данного множества;
• Понятие универсального множества;
• Равные множества.
• 3. Действия над множествами.
• Пересечение;
• Объединение;
• Разность;
• Дополнение.
• 4. Решение задач с использованием кругов Эйлера.

• План

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Наука о множестве возникла с давних времен. В IXX веке Георг Кантор ( немецкий математик ) обосновал множество, как «совокупность», «собрание», «набор», «ансамбль» и так далее. Многие математики выдвигали понятие и определения. Один французский математик дал дословное определение множеству: «Множество – невообразимое больше чем ничего, но меньше этого большего на множество». В наши времена множества используют как понятие единого целого, составленного из мелких частей – элементов.

• Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Наука о множестве возникла с давних времен. В IXX веке Георг Кантор ( немецкий математик ) обосновал множество, как «совокупность», «собрание», «набор», «ансамбль» и так далее. Многие математики выдвигали понятие и определения. Один французский математик дал дословное определение множеству: «Множество – невообразимое больше чем ничего, но меньше этого большего на множество». В наши времена множества используют как понятие единого целого, составленного из мелких частей – элементов.

• Понятие множества и его элементов

ОПР. 1: Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами.

• ОПР. 1: Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами.
• Обозначение: a, b, c,…, z. Множества обозначают буквами латинского алфавита: А, В, С,…, Z.
• Запись: а  А означает, что а – элемент множества А.
• ОПР. 2 : Множество, не содержащее ни одного объекта, называют пустым.
• Обозначение:
• ОПР. 3: Множество, которое состоит из одного элемента – называется единичным. Множества бывают конечные и бесконечные.
• ОПР. 4: Множество, которое имеет определенное количество элементов, называется конечным.
• ОПР. 5: Множество, которое имеет бесконечно много элементов, называется бесконечным.

• Виды множеств

Предложение вида «Объект а принадлежит множеству А» можно записать, используя символы: а  А.

• Предложение вида «Объект а принадлежит множеству А» можно записать, используя символы: а  А.
• Например,
• Окружность М
• В  М,
• О  М,
• А  М,
• С  М.

• Способ задания

1) Бесконечные непериодические дроби:

• 1) Бесконечные непериодические дроби:
• А = {5,325728…; 6,2853257…;π}
• 2) Числа, дающие при делении на 6 остаток 5:
• В = { 17, 23, 29…} В = { 6к + 5, к  Z }
• Так, множество дней недели конечно, а множество точек на прямой бесконечно. Бесконечными являются и такие множества, как множество натуральных чисел – N, множество целых чисел – Z, множество рациональных чисел – Q, множество действительных чисел – R.

• Примеры

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

• Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

• Характеристическое
• свойство

перечислить все его элементы,

• перечислить все его элементы,
• или
• указать характеристическое свойство его элементов.

• Чтобы задать некоторое множество,
• достаточно:

• Примеры задания множеств

1 способ (перечисление элементов множества)	2 способ (указание характеристического свойства)
1. Множество квадратов натуральных чисел.
А = {1, 4, 9, 16 …}	А = {n2 / n  }
2. Множество четных натуральных чисел.
А = {2, 4, 6, 8 …}	A = {2n / n  }
3. Множество решений уравнения х2 – 5|х|+6 = 0
А = {-3; -2; 2; 3}	А = {х / х2 – 5|х|+6 = 0}

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является так же элементом множества А

• Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является так же элементом множества А
• Обозначение: В  А

• А = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.
• В = { 1, 3, 5, 7, 9 }.
• Множество В является подмножеством множества А.

• Понятие подмножества

• Примеры

Множество	Подмножества данного множества	Всего подмножеств
С = {а}	  С, {а}  С	2
K = {а, b}	  K, {а}  K, {b}  K, {а, b}  K	4
P = {1; 3; 5}	  P, {1}  P, {3}  P, {5}  P, {1; 3}  P, {3; 5}  P, {1; 5}  P, {1; 3; 5}  P	8

• Зависимость

• между числом элементов конечного множества и числом его подмножеств

Число элементов множества	Число подмножеств
1	2
2	4
3	8
…	…
n	2n

Оказывается, что число подмножеств множества, состоящего из n элементов, составляет 2n.

• Оказывается, что число подмножеств множества, состоящего из n элементов, составляет 2n.

• Число подмножеств
• данного множества

Каждое множество является подмножеством некоторого множества, которое называют универсальным. Его обозначают буквой I. Например, множество натуральных чисел является подмножеством множества всех чисел; множество жителей г. Тамбова является подмножеством множества жителей России.

• Каждое множество является подмножеством некоторого множества, которое называют универсальным. Его обозначают буквой I. Например, множество натуральных чисел является подмножеством множества всех чисел; множество жителей г. Тамбова является подмножеством множества жителей России.

• Понятие
• универсального множества

Множества А и В, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

• Равные множества

• Множества А и В, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.
• Обозначение: А = В
• Если относительно двух множеств А и В установлено, что А  В и А  В, то это и означает, что А = В.

• Пример:
• С – множество чисел, кратных 3 и 5 одновременно
• D – множество чисел, кратных 15
• С = D

Пересечением (произведением) двух множеств А и В называется множество, состоящие из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В.

• Пересечением (произведением) двух множеств А и В называется множество, состоящие из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В.
• Обозначение: А  В

• Пересечение

• Пример:
• A = {2n}; B = {3n + 1}
• A  B = {6n + 2}

Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств А или В.

• Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств А или В.
• Обозначение: А  В

• Объединение

• Примеры:
• 1) A = {3k +1}; B = {3k}; C = {3k + 2}, где k  
• A  B  C = {3k}
• 2) A = {ромбы}; B = {параллелограммы}
• A  B = {ромбы; параллелограммы} = {параллелограммы}

Разностью множеств А и В называется множество, из всех тех элементов множества А, которые не являются элементами множества В.

• Разностью множеств А и В называется множество, из всех тех элементов множества А, которые не являются элементами множества В.
• Обозначение: В’а

• Разность

Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

• Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
• Обозначение: А\В

• Дополнение

А   = 

• А   = 
• А  I = А
• А  А = А
• если В  А, то А  В = В
• А  В = В  А
• А  (В  С) = (А  В)  С = С  А  В
• (А  В)  А
•  ’ = I
• I’ = 
• A   = A

• Свойства

• действий над множествами

A  A = A

• A  A = A
• A  B = B  A
• A  (B C) = (A  B)  C = A  B  C
• A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
• (A  B)  C = (A  C)  (B  C)
• A  (A  B)
• если В  А, то A  B = А
• если В  А, то A  B = В
• (A  B)’ = А’  B’
• (A  B)’ = А’  B’

• Свойства

• действий над множествами

• Круги Эйлера

• а) пересечение множеств
• А  В

• А

• В

• А

• В

• б) объединение множеств
• A  B

• А

• В

• В  А

Всего 27 чел.

• Всего 27 чел.
• Не выполнили 3  27 – 3 = 24 чел. написали правильно
• 17 – 3 = 14 чел. написали только примеры;
• 24 – 17 = 7 чел. сделали задачу;
• 13 – 7 = 6 чел. выполнили оба задания.

• Решение задач
• с использованием кругов Эйлера

• Дано: Контрольную по математике писали 27 человек. В контрольную входили задачи и примеры. 3 человека не сделали ни одного задания. Примеры сделали 17 человек. Задачи сделали 13 человек. Найдите число учеников которые сделали оба задания.

• Задача
• 13

• Пример
• 17

• ?

Английский язык = 61

• Английский язык = 61
• Немецкий язык = 49
• Французский язык = 1
• Англ. яз. + Нем. яз. = 90
• Англ. яз. + Франц. яз. = 112
• Франц. яз. + Нем. яз. = 75
• Франц. яз. + Нем. яз. + Англ. яз. = 28

• Решение задач
• с использованием кругов Эйлера

• Дано: В школе изучают английский, французский и немецкий языки. Английский изучают 235 человек, французский изучают 160 человек, немецкий изучают 186 человек. Английский и немецкий изучают 90 человек. Немецкий и французский изучают 75 человек. Английский и французский изучают 112 человек. Все три языка изучают 28 человек. Всего - ?

• Англ. яз.
• 235

• Нем. яз.
• 186

• Франц. яз.
• 160

• 90

• 112

• 75

• 28

• Всего: 332 человека.