Ученики на Учителя.com


Технологическая карта урока "Общие приемы решения уравнений" 11 класс

1
Учитель: Маркелова Ольга Николаевна
Школа: МОУ «СОШ № 84» город Саратов
Предмет: математика
Класс: 11 (информационно-технологический)
Тема. Общие приемы решения уравнений.
Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний в рамках
подготовки обучающихся к ЕГЭ по математике.
Цели урока: дидактическая: повторить общие идеи и общие методы,
используемые при решении уравнений любых видов и
различных уровней сложности;
развивающая: развивать логическое мышление, продолжать
формирование математической культуры, вырабатывать умение
анализировать и сравнивать;
воспитательная: приучать к эстетическому оформлению записи
в тетради, умению выслушивать других и умению общаться,
прививать аккуратность и трудолюбие.
Этапы урока и их
содержание
Время
(мин)
Деятельность
учителя
обучающегося
I. организационный этап
1
Организационная
Сообщают об
отсутствующих
II. Постановка цели.
Сегодня на уроке мы
поговорим об общих идеях, на
которых основано решение
уравнений, повторим наиболее
общие методы, используемые
при решении уравнений
любых видов, продолжим
отрабатывать навыки решения
показательных,
логарифмических,
иррациональных и
тригонометрических
уравнений, выясним степень
усвоения знаний, умений,
навыков при выполнении
самостоятельной работы.
3
Сообщает тему
урока, дату, цель
урока
Записывают в
тетради
2
III. Проверка домашнего
задания.
На дом вам предложено
решить уравнения, определив
необходимый метод решения
уравнения:
1) х
5
+ 8х
4
+ 12х
3
= 0;
2) log
2
2
х + 12 = 7log
2
х;
3) · = 50;
4) arctg
4
( х
3
+ 2х
2
– х –2) +
=0;
15
Внимание!
Если обучающиеся
не справились с
решением какого-
то уравнения, то
решение
показывает
учитель
(приложение 1)
через
мультимедиа.
Вызывает 4-х
человек к доске,
параллельно
проводит
фронтальный
опрос по
теоретическим
вопросам.
Выставляет
оценки за д/з
(приложение 2).
4 человека
работают у
доски, остальные
принимают
активное участие
в устном
теоретическом
опросе.
IY.Выполнение упражнений.
Многообразие методов
решения уравнений приводит
нас к выбору более
рационального из них при
решении каждого из
уравнений.
Устно:
а) решить уравнение:
1. log
3
(х +5) = 3;
2. ;
3. 4
х–4
= 64;
4. ;
5. lg (2х–7) =2.
б) составьте уравнение,
равносильное данному:
6
Направляет на
выбор
рационального
метода решения,
следит за
верностью
рассуждений
обучающихся.
Совместно с
обучающимися
выбирает метод
решения
уравнений
(приложение 3).
Предлагают
методы решения,
поочередно
обучающиеся
объясняют
решения
уравнений
(5 человек).
3
0,5
х–1
= 16;
3
7–х
= 81
2х–5.
в) равносильны ли заданные
уравнения:
х
2
– 4 = 0 и (х+2)(2
х
–4) =0;
х
2
+ 1 = 0 и
Письменно:
6. х
3
+7х
2
– 6 = 0;
7. х(х–1)(х–2)(х–3) = 15;
8. =3–х–х
2
;
9. sin
3
x – sin
2
xcosx+
+3cos
3
x=3sinxcos
2
x;
10. cos2x·lgx=0;
3
3
3
4
4
Следит за
грамотным
решением
предложенных
уравнений и
одновременно
проверяет
индивидуальные
решения у
обучающихся,
работающих за
партой по
карточкам,
выставляет оценки
за работу.
Следит за
верностью
рассуждений
обучающихся.
Следит за
верностью
рассуждений
обучающихся.
Следит за
верностью
рассуждений
обучающихся.
Следит за
верностью
рассуждений
Один – у доски, 2
человека
работают
индивидуально с
карточками
(приложение 4),
остальные
записывают
решение
уравнения № 6
(приложение 5).
4 человека
поочередно
решают у доски
уравнения
№ 7-10,
остальные
записывают
решение в
тетради
(приложение 5).
4
11. +
+log
3
= 2;
12. При каких значениях m
уравнение 200
2х
– 4·200
х
+ m
2
–
– 3m = 0 имеет единственный
корень?
5
5
обучающихся и
одновременно
проверяет решение
заданий по
карточкам,
выставляет оценки
за работу.
Два человека
поочередно
решают у доски
уравнения №11 и
№ 12
(приложение 5),
3 человека
работают
индивидуально с
карточками
(приложение 6),
остальные
записывают
решения
уравнений №11,
№ 12.
Y. Самостоятельная работа с
последующей проверкой на
уроке (приложение № 7).
25+8
После проверки
ответов
показывает
решения заданий,
с которыми не
справились
обучающиеся.
Записывают
решения
самостоятельной
работы.
YI. Домашнее задание (заранее
записано на обратной стороне
доски).
1. sin
3
x+5sin
2
xcosx=6cos
3
x;
2. sinxlog
2
x=1;
3.
(x–7)
6
+ log
5
=1;
4. При каких значениях
параметра m уравнение 200
2x
–
– 6·200
x
+ m
2
– 8m = 0 имеет
хотя бы одно решение?
( приложение 8).
3
Поясняет д/з,
обращая внимание
обучающихся на
то, что
аналогичные
задания были
разобраны на
уроке. С помощью
эвристической
беседы обсуждает
план решения.
Задание № 4
необязательно
выполнять всем.
За решение этого
задания оценка
будет
выставляться в
журнал.
Прослушав
пояснение
учителя,
записывают
домашнее
задание.
YII. Подведение итогов урока.
2
5
Решение уравнений требует от
обучающихся хороших
теоретических знаний, умений
применять их при выполнении
практических заданий, требует
внимания, трудолюбия,
сообразительности.
Аналогичные уравнения
выносятся на ЕГЭ. Сегодня на
уроке все хорошо поработали,
шестнадцать человек
получили оценки. Молодцы!
Оценки за самостоятельную
работу будут объявлены на
следующем уроке. Спасибо за
урок.
6
Приложение 1.
1. Метод разложения на множители х
5
+8х
4
+ 12х
3
= 0.
Решение.
х
3
(х
2
+8х+12) = 0.
Ответ: -6; -2; 0.
2. Метод введения новой переменной log
2
2
x + 12 = 7log
2
x.
Решение.
log
2
2
x – 7log
2
x + 12 = 0. ОДЗ: х .
log
2
x=t, тогда t
2
–7t + 12 = 0,
Ответ: 8; 16
3. Решите уравнение 2
х
· =50.
Решение.
Учтем, что 50 = 2·5
2
, разделим обе части уравнения на 5
2
и на 2
х
и
прологарифмируем обе части полученного уравнения по основанию 5:
.
1–х = х(1-х) ; (1–х)(1–х ) = 0; х
1
=1, х= = .
Ответ: 1;
4. Метод равносильных преобразований
аrctg
4
(х
3
+ 2х
2
– х – 2) + = 0.
Решение.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда
каждое из чисел равно нулю. Значит, данное уравнение равносильно системе
уравнений
Решим первое уравнение системы и получим х
1
= –2; х
2
= 1; х
3
= – 1. Из этих
трех значений второму уравнению системы удовлетворяют лишь значения
х=1, х= –1. Ответ: – 1; 1.
7
Приложение 2 (теоретический опрос).
1. Какие два уравнения называются равносильными?
Ответ: два уравнения с одной переменной называют равносильными, если
они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.
2. Какие преобразования уравнений являются равносильными?
Ответ:
перенос какого-либо члена уравнения из одной части уравнения в
другую с противоположным знаком;
если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень;
переход от показательного уравнения ( где a>0, a 1) к
уравнению f(x) = g(x);
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же
отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное
данному в его ОДЗ;
если обе части уравнения f(x) = g(x) неотрицательны в ОДЗ уравнения,
то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n
получится уравнение (f(x))
n
= (g(x))
n
, равносильное данному в его ОДЗ;
если а 0 и а 1, а Х – решение системы неравенств тогда
уравнение равносильно на множестве Х
уравнению f(x) = g(x).
3. Назовите причины расширения области определения уравнения.
Ответ: – освобождение в процессе решения уравнения от знаменателей,
содержащих переменную величину;
– освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней
четной степени;
– освобождение в процессе решения уравнения от знаков
логарифмов.
4. В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может
произойти потеря корней? Ответ:
– деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h(x) ( кроме
тех случаев, когда точно известно, что всюду в ООУ выполняется условие
h(x) 0);
– сужение ОДЗ в процессе решения уравнения (воспользовались
неправильной формулой, сужающей область определения выражения);
– замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x), если y =h(x) –
немонотонная функция.
8
5. Перечислите общие методы решения уравнения. Ответ:
– равносильные преобразования;
– метод разложения на множители;
– метод введения новой переменной;
– функционально-графический метод;
– метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
6. Как сделать проверку, если проверка корней с помощью их подстановки в
исходное уравнение сопряжена со значительными вычислительными
трудностями? Ответ: воспользоваться прикидкой.
Приложение 3.
Устно:
а) Решите уравнения.
1.
2. = 12.
3. 4
х-4
=64.
4. = – 2.
5. lg(2х–7) = 2.
б) Обучающиеся придумывают уравнения, равносильные данным.
в) Определите, являются ли данные уравнения равносильными:
х
2
– 4 = 0 и (х+2)(2
х
–4) = 0 (да, т.к. имеют одинаковые корни 2; – 2).
х
2
+ 1 = 0 и = – 3 (да, т.к. уравнения не имеют корней).
Приложение 4.
Карточка 1.
1. Решите уравнение методом введения новой переменной.
2cos
2
x – 7 cosx – 4 =0. (Ответ: x=
2. Решите уравнение, используя функционально-графический метод: 2
х
=6–х.
Решение. Функция у=2
х
возрастает, функция у=6–х убывает. Значит,
графики данных функций имеют ни более одной точки пересечения.
Исходное уравнении имеет только один корень х=2. Ответ: 2.
Карточка 2.
Решите уравнение: а) 2
х
·х – 4х– 4 + 2
х
; б) 2 – х – = 0.
Ответ: а) –1; 2; б) 1.
Приложение 5.
№ 6. х
3
+ 7х
2
– 6 = 0. Ответ: 1; – 3 .
9
№ 7. х(х–1)(х–2)(х–3) = 15. Ответ: .
№ 8. ; Ответ: 0; ;–2.
№ 9. sin
3
x – sin
2
xcosx + 3cos
3
x = 3sinxcos
2
x. Ответ:
№ 10. Ответ:1;
№ 11. + =2. Ответ: 1.
№12. 200
2х
– 4·200
х
+ m
2
– 3m.
Решение.
Введем новую переменную 200
х
= t, t , t
2
– 4t + m
2
– 3m = 0. Это
квадратное уравнение при t 0 имеет единственный корень в двух случаях:
1) если его D=0 и корень квадратного уравнения положительный;
2) если D 0 и только один корень квадратного уравнения положительный. В
этом случае квадратное уравнение имеет два корня, но показательное
уравнение имеет единственный корень.
1 случай. D=16–4(m
2
–3m)=16–4m
2
+12m.
Решим квадратное уравнение 16–4m
2
+12m = 0,получим, что m=4 или m=–1.
При таких значениях параметра m квадратное уравнение имеет
единственный корень t=2, 2 , следовательно, первоначальное
показательное уравнение также будет иметь единственный корень.
2 случай. Решим квадратное неравенство (D : 16–4m
2
+12m ,
–1 Для того чтобы один корень квадратного уравнения был
положительным (при условии существования двух корней), второй должен
быть отрицательным или равным нулю. Рассмотрим отдельно каждый из
случаев. Если корни имеют разные знаки, значит, их произведение
отрицательно, поэтому х
1
·х
2
= m
2
– 3m, m
2
– 3m , 0 . Если один из
корней равен 0, то, подставив его в квадратное уравнение, получим, что
второй корень может быть найден из условия m
2
– 3m = 0, m=0 или m=3.
Объединяя все возможные значения параметра m, получим, что данное
показательное уравнение имеет единственный корень при m .
Ответ: .
10
Приложение 6.
Карточка 1. Решите уравнение х
3
· =0. В ответе
запишите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько. Ответ: 3.
Карточка 2.
Решите уравнение 3
2х+1
·х–3·9
х+1
=0. Ответ: 9.
Карточка 3.
Решите уравнение . Ответ: 2 – .
Приложение 7 (самостоятельная работа).
Вариант 1.
Решите уравнения.
1) (2х
4
+1)
5
= (1–х
3
)
5
. Ответ: –0,5; 0.
2) 2х
2
·sinx – 8sinx + 4 = x
2
. Ответ:
3) (x–1)
4
+ 36 = 13(x
2
– 2x +1). Ответ: 3; 4; –1; – 2.
4) 3
x–1
· = 225. Ответ: 3; log
3
0,12.
Вариант 2.
Решите уравнения.
1) (7 – х)
3
= (5х + 1)
3
. Ответ: 1.
2) 2х
2
·cosx + 9 = x
2
+ 18cosx. Ответ:
3) (2х +3)
4
– 9 = 8(4х
2
+ 12х +9). Ответ: –3; 0.
4) 5
х
· = 40. Ответ: 1; log
5
4.
Приложение 8 (домашнее задание к следующему уроку).
Решите уравнения.
1. sin
3
x + 5sin
2
xcosx = 6cos
3
x;
2. sinxlog
2
x=0;
3. (x–7)
6
+ log
5
= 1.
4. При каких значениях параметра mуравнение 200
2х
– 6·200
х
+ m
2
– 8m = 0
имеет хотя бы одно решение?
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: