Решение задач с помощью графа
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ТОЛСТОМЫСЕНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №7
Исследовательский реферат.
Решение задач с помощью графа.
Выполнила:
Петушкова Анастасия,
ученица 10 класса
МБОУ Толстомысенской СОШ №7
Руководитель: Петушкова Н.В.
Толстый Мыс 2016
Актуальность: решение текстовых задач – это деятельность, сложная для
учащихся. Сложность её определяется комплексным характером работы:
нужно ввести переменную и суметь перевести условие на математический
язык; соотнести полученный результат с условием задачи и, если нужно, найти
значение ещё каких-то величин. Каждый из этих этапов – самостоятельная и
часто труднодостижимая, для учащихся задача.
Цель: изучить новый способ решения задач с помощью сетевого графа.
Задачи:
o найти и изучить литературу по теме;
o подобрать разные задачи и решить с помощью графа;
o оформить решение задач для использования на уроках.
Гипотеза: решать задачи с помощью сетевого графа легче и понятней.
Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, как они
устроены, из каких частей они состоят, каковы инструменты, с помощью
которых проводится решение задач.
Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо
найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.
Поэтому, приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно
изучить, установить, в чем состоят ее требования (вопросы), каковы условия,
исходя из которых, надо решать задачу. Результаты предварительного анализа
задачи надо как-то зафиксировать, записать. Схематичная запись задачи
должна быть удобна, компактна и в то же время достаточно наглядна. Первой
отличительной особенностью схематичной записи задач является широкое
использование в ней разного рода обозначений, символов, букв, рисунков,
чертежей и т.д. Второй особенностью является то, что в ней четко выделены
все условия и требования задачи, а в записи каждого условия указаны объекты
и их характеристики, наконец, в схематичной записи фиксируется лишь то,
что необходимо для решения задачи, все другие подробности отбрасываются.
Эти положения соблюдены в сетевых графах. Сетевой граф — это схема.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ:
1. А каком процессе идет речь в задаче.
2. Какие величины характеризуют этот процесс.
3. Каким соотношением связаны эти величины.
4. Сколько различных процессов описывается в задаче.
5. Есть ли связь между элементами.
С помощью сетевых графов решаются задачи:
o На движения.
o На совместную работу.
o Комбинаторные задачи.
o На заполнение резервуара водой и другие.
Рассмотрим несколько примеров решения разных задач с помощью сетевого
графа.
Задача № 1.
Женя, Дима, Максим и Алеша сыграли между собой по одной партии в
шахматы. Сколько всего партий было сыграно?
Женя сыграл партию с Димой, партию с Максимом и партию с Алешей - всего
три партии. Дима также сыграл три партии - с Женей, Максимом и Алешей.
Но партию Димы с Женей мы уже посчитали. Остается добавить одну партию,
которую сыграли Максим с Алешей. Поэтому искомое число партий равно
значению выражения 3+2+1. Проще решить эту задачу с помощью рисунка.
Каждая линия обозначает сыгранную партию. Всего на схеме 6 линий,
значит всего сыграно 6 партий.
Задача № 2.
Вася, Коля, Петя, Аня и Наташа - лучшие лыжники в классе. Для участия в
соревнованиях нужно выбрать из них одного мальчика и одну девочку.
Сколькими способами это можно сделать?
Эту задачу можно решить с помощью следующей схемы.
Ответ: 6 способов.
Задача № 3.
Если две трубы открыть одновременно, то бассейн наполнится за 2 ч 24 мин.
В действительности же сначала была открыта только первая труба в течение
1\4 времени, которое необходимо второй трубе, чтобы наполнить бассейн,
действуя отдельно. Затем действовала вторая труба также в течение 1\4
времени, которое необходимо первой, чтобы одной наполнить бассейн, после
чего оказалось, что остается наполнить 11\24 полной вместимости бассейна.
Сколько времени необходимо для наполнения бассейна каждой трубой в
отдельности?
Задачи на заполнение резервуара водой являются одной из разновидностей
задач на работу и производительность. Здесь производительность трубы - это
объем жидкости, вытекающей из нее в единицу времени. Поэтому составляем
сетевой граф (их здесь будет два):
А=1 k1=k1+k2=5\12 t=2,4 ч
k1=1\x t1=x ч
k2=1\y t2=y ч
A1=y\4x k1=1\x t1=y\4 ч
A2=x\4y k2=1\y t=x\4ч
1-A1-A2=11\24
Из первого графа получим уравнение 1\x+1\y=1\12\5,
Из второго — y\4x+x\4y=13\24.
Решив систему, найдем x и y:4 и 6 ч.
Ответ:4ч,6ч.
Задача № 4.
Длина окружности переднего колеса кареты равна 3 м, а заднего 4,5 м.
Какое расстояние проехала карета ,если переднее колесо сделало на 20
оборотов больше заднего?
Решение.
Обозначим расстояние, которое проехала карета L, длину окружности колеса
-c, число сделанных оборотов -n. Очевидно, что эти величины связаны
соотношением L=c*n,поэтому мы будем решать задачу с помощью сетевых
графов.
L=x м C
3
=3 м n
n
=х\3 об. L=c*n
C
3
=4,5 м n
3
=x\4,5 об.
n
n
> n
3
на 20 об
L- n
n
-n
3
,x\3 > x\4,5,на 20,значит,x\3- x\4,5=20.
Задача № 5.
Мотоциклист и велосипедист совершили двух часовую безостановочную
поездку. При этом мотоциклист проезжал каждый километр на 4 минуты
быстрее, чем велосипедист. Найдите скорость каждого, если расстояния
пройденные каждым из них за 2 часа отличаются на 40 км.
Tм.=Xч
Tв.=(x+1/15)ч
Vм.=1/x км/ч
2/x-2/x+1/15=40
2x+1/15-2x/x(x+1/15)=40
1/15/x(x+1/15)=40
2/15=x(x+1/15)40
40x2+40x/15=2/15
40x2+8/3x-2/15=0
Д.=в2-4ас=(8/3)2-40*(- 2/15)=64/9+4*40*2/15=64/3+63/3=256/9
X1=(-в+ √Д)/2а=-8/3+√25t/9/2*40=-
8/3+16/3/80=8/3/80=8/3*1/80=8*1/3*80=1/30
Vм.=1/x=1/1/30=30км/ч
X2=(-в+ √Д)/2а =-8/3-16/3/80=-24/3/80=-24/3*1/80=-24*1/3*80=-1/10=не
является решением задачи.
Ответ:Vм.=30км/ч, Vв=10км/ч.
Vв.=1/x+1/15=1/1/30+1/15=1/3/30=1:3/30=1*30/3=10км/ч.
Sм=2*1/x км Vм=1/x км/ч tм, в=2ч
Sв=2*1/x+1/15км Vв=1/x+1/15 км/ч S=V*T
Sм-Sв=40км
Задача № 6.
Один штукатур может выполнить задание на 5 ч быстрее другого. Оба вместе
они выполняют задание за 6 ч. За сколько часов каждый из них выполнит это
задание?
1)В задаче идет речь о работе.
2)Выполненная работа — А, время работы — t, количество работы,
выполняемой за единицу времени (производительность), - k.
3)А=k*t
4)Три процесса: работа каждого из двух штукатуров по отдельности и
совместная работа.
А=1 к1=1/x t1=x ч t1<t2 на 5 ч
к2=1/x+5 t2=(x+5)ч A=k*t
Кс=к1+к2=1/6 tc=6ч
Выполняемую работу, а она в задаче не имеет числового значения, для
простоты обозначим за 1.
Получим уравнение:
1/x+1/x+5=1/6, работая по схеме t1-t2-k2-kc=k1+k2.
Моделирование условия задачи с помощью сетевых графов позволяет
нам устанавливать различные связи и отношения между данными и
искомыми величинами задачи, осознать идею решения, его логику,
увидеть различные способы решения задачи, обосновывать выбор
величин для введения переменных.
Вывод: решать задачи с помощью сетевых графов легче и понятней.
Мы решили 30 задач и оформили их решения для использования при
подготовке к ГИА и ЕГЭ.
Список используемой литературы:
o Жигачева Наталья Александровна. Графовое моделирование структур
решений сюжетных задач в курсе алгебры 7 класса : Дис. ... канд. пед.
наук: 13.00.02: Омск, 2000 146 c. РГБ ОД, 6:00-13/1265-6;
o Учебник алгебра 7, 8, 9 классов для учащихся общеобразовательных
учреждений / А.Г. Мордкович. «Мнемозина» 2013;
o http://ppt4web.ru/matematika/reshenie-kombinatornykh-zadach-s-pomoshhju-
grafov.html;
o http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2015/01/17/grafy-i-ikh-primenenie-pri-
reshenii-zadach;
o http://infourok.ru/issledovatelskaya_rabota_po_teme_reshenie_olimpiadnyh_
zadach_s_pomoschyu_grafov-294265.htm;
o http://www.slideserve.com/kiele/3045259.
