Презентация "Квадратичная функция. Её свойства и график"

Квадратичная функция. Её свойства и график.

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛА:

Учитель математики

МБОУ «СОШ пст. Абезь»

Хлупина Марина Рудольфовна

y= ax2 +bx + c

где: a,b,c – числа

Х – независимая переменная

а 0

Определение квадратичной функции

Квадратичной функцией называется функция , которую можно задать формулой вида:

1. Определить, какие из данных функций являются квадратичными: 1. Определить, какие из данных функций являются квадратичными:

у = - ( х + 3 ) 2 + 2

у = 5х + 2

у = х2 – 1

у = 6х3 – 5х2 + 7

у = 7х2 + 2х -1

у = 5х2 + 3х

• А ТЕПЕРЬ НЕБОЛЬШОЙ ТЕСТ

у = х2 – 5х + 6

у = 6х4 + 5х2 + 7

Алгоритм построения параболы у = ах2 + bх + с :

• Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось симметрии.
• Определить направление ветвей параболы.
• Найти координаты еще нескольких точек , принадлежащих искомому графику ( в частности, координаты точки пересечения параболы с осью у и нули функции, если они существуют).
• Отметить на координатной плоскости найденные точки и соединить их плавной линией.

График любой квадратичной функции – парабола.

Построение графика функции

у

х

Мы уже строили графики функций вида Мы уже строили графики функций вида у = ах2 + bх + с , выделяя квадрат двучлена. Используем этот прием в общем виде: ах2 + bx + с = а (х2 + x ) + с = = а + с = = а + с = а

Нам удалось преобразовать квадратный трехчлен к приведенному виду у = а ( х – x0)2 + y0,

Теперь если , то получаем ,

чтобы построить график функции у = ах2 + bx + с,

надо выполнить параллельный перенос параболы у = ах2, чтобы вершина оказалась в точке ( x0 ; y0 )

Графиком квадратичной функции

Осью параболы будет прямая

х = -

Вершина параболы - ( х0; уо) ,

где : хо = - у0 =

Графиком квадратичной функции у = ах2 + bх + с является парабола, которая получается из параболы у = ах2 параллельным переносом.

.

-

Таким образом, мы доказали теорему:

Свойства квадратичной функции

• Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта.

Функция непрерывна

Множество значений при a>0 -

Множество значений при a<0 -

Вспоминаем : Дискриминантом квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 называется выражение b2 – 4ac Его обозначают буквой D, т.е. D= b2 – 4ac. Возможны три случая:

• D  0
• D  0
• D  0

•   если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках,
•   если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс,
•   если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс,
• если старший коэффициент квадратного трёхчлена (а) равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; (и соответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное),
•   абсцисса вершины параболы равна

При

-

ветви параболы направлены вверх,

При

ветви параболы направлены вниз

f(x0)

х

х

у

у

Назовите те параболы, ветви которых будут направлены вниз

f(x) = - 2 ( х – 3 ) 2 + 4

f(x) = 7х2 + 2х -1

f(x) = ( х + 2 ) 2 – 3

f(x) = х2 + (а + 1)х + 3

f(x) = 0,5 х2 – 6х + 5

f(x) = 6х3 – 5х2 + 7

f(x) = ( х + 2 ) 2 – 3

f(x) = - 3х2 + 1

Для закрепления теоретических знаний решим задачу.

Задание: Построить график функции :

у =

х 3 - 6 х 2 + 8 х

х

Решение :

у =

х 3 - 6 х 2 + 8 х

х

х

0

у =	Х 2 -6 х + 8

у = (х2- 2х3 хх + 9) – 1 = = ( х - 3 )2 -1

График функции можно построить двумя способами:

Построение графика функции по 1 способу:

Построим график

у = х2,

затем произведем параллельный его перенос на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

Построение графика функции по 2 способу:

Построим график , используя свойства квадратичной функции у = х 2 - 6 х + 8 :

( 3; -1)- вершина параболы (т.к. х = -(b/ 2a); y=(4ac – b2) / 4a )

Решив квадратное уравнение х 2 - 6 х + 8 =0 определяем нули функции Х = 2 и Х = 4

а > 0 (Ветви параболы направлены вверх)

Точка пересечения с осью ординат (0 ; 8)

Ось симметрии

Область значений функции – Е (f) = [ -1 ; + )

Ось симметрии

Функция возрастает в промежутке [ +3; + )

Функция убывает в промежутке ( - ;+3]

Наименьшее значение функции равно -1

Наибольшего значения функции не существует

f(x) > 0 при х < 2, или х > 4

f(x) < 0 при 2 < х < 4

Литература

1. Методическая разработка урока «Функция у = ах2 + bx + с, ее свойства и график».УМК «Алгебра, 8 класс» Ю. Н. Макарычев .

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра: Учебник для 9 кл. общеобразовательных учебных заведений.- Просвещение , 2020