Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Перестановки, размещения, сочетания"

Тема: Перестановки, размещения, сочетания
Цель: организовать деятельность обучающихся на закрепление умения применять свойства корней, выполнять преобразование выражений;
развитие процессов мышления; воспитание познавательного интереса к предмету.
Ход урока:
Этапы урока
Деятельность преподавателя
Деятельность
обучающихся
Орг. момент
Приветствие, инструктаж по ТБ
доклад
Вычислим!
5. Задание 6 № 311395
Найдите значение выражения .
О т в е т : 81
6. Задание 6 № 314204
Найдите значение выражения
О т в е т : 35
7. Задание 6 № 314207
Найдите значение выражения
О т в е т : -15
8. Задание 6 № 337268
Найдите значение выражения
О т в е т : 0,5 6 0 4
9. Задание 6 № 337295
Найдите значение выражения
О т в е т : -3,86
Решение
самостоятельно,
ответ выносят на
доску 4 человека
Актуализация
знаний
-Какие задачи называются комбинаторными?
Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными
- Что такое комбинаторика ?
Раздел математики, в котором рассматривается решение комбинаторных задач
- С какими способами решения комбинаторных задач мы познакомились на прошлом уроке?
Метод перебора, Дерево вариантов, Правило умножения
Участвуют в
диалоге
- В чем состоит правило умножения при решении комбинаторных задач?
Пусть имеется А способов выполнить одно действие и В способов выполнить другое действие.
Пусть даже эти действия независимые между собой. Чтобы найти число способов выполнить все
действия нужно А·В
2) решить задачи совместно с учителем
Задача 1. В кружке 6 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту кружка и его
заместителя?
Решение:
Первый может быть староста, а второй заместитель.
Второй может быть заместитель, а первый староста.
Порядок важен. Используем правило умножения.
Выбор старосты - 6 вариантов.
Выбор заместителя – 6-1 =5 вариантов.
По правилу умножения: 6·5=30 способов. Ответ: 30
Задача 2. Сколько существует пятизначных чисел, на третьей позиции которого стоит цифра 3
Решение:
Цифр в числе 10
Вариантов выбора первой цифры – 9 (0 на первом месте стоять не может)
Вариантов выбора второй цифры – 10
На третьей позиции фиксированная цифра – 3, вариант выбора – 1
Вариантов выбора четвертой цифры - 10
Вариантов выбора пятой цифры – 10
По правилу умножения: 9·10·1·10·10 = 9000 вариантов Ответ: 9000
Задача 3. Сколько существует пятизначных чисел, на конце которых стоит четная цифра?
Цифр в числе 10
Вариантов выбора первой цифры – 9 ( 0 на первом месте стоять не может)
Вариантов выбора второй цифры – 10
Вариантов выбора третий цифры - 10
Вариантов выбора четвертой цифры - 10
Вариантов выбора пятой цифры – 5 (существует только пять четных цифр)
По правилу умножения: 9·10·10·10·5 = 45000 вариантов Ответ: 4500
Открытие новых
знаний
Существует много комбинаторных задач, в которых рассматриваются ситуации выбора.
Однако, несмотря на все разнообразие комбинаторных задач, можно выделить среди них группу
однотипных, и именно поэтому такие задачи можно объединить в отдельные группы.
Задачи, в которых дается какое-то количество элементов и требуется посчитать число
всевозможных перестановок, называются задачами на перестановки. Такие задачи решаются с
помощью комбинаторного правила умножения.
Задача 1 В семье - шесть человек, а за столом в кухне – шесть стульев. Было решено
каждый вечер перед ужином, рассаживаться на эти стулья по – новому. Сколько дней
члены семьи смогут делать это без повторений?
Для удобства рассуждений пронумеруем стулья №1, №2, №3, №4, №5, №6 и будем считать, что
члены семьи (бабушка, дедушка, мама, папа, дочь, сын) занимают места по очереди. В этой
задаче нас будет интересовать, сколько существует различных способов рассаживания
Если первой садится
бабушка, то у нее – 6 вариантов выбора
У дедушки – 5 вариантов,
У мамы – 4 варианта
У папы – 3 варианта
У дочери - 2 варианта
У сына – 1 вариант
По комбинаторному правилу умножения
получаем, что всего имеется
6·5·4·3·2·1=720 различных способов Ответ: 720
Задача 2 Сколькими способами 5 человек могут занять очередь в железнодорожную кассу?
5·4·3·2·1 = 120 способов Ответ: 120
Вывод Пусть мы имеем n вариантов. На первое место можно поставить любой из них. На
второе место можно поставить один из оставшихся (n – 1) элементов, на третье место
можно поставить (n – 2) из оставшихся элементов и т.д. В результате получим:
n·(n – 1)· (n – 2)·…·3·2·1 = n!
Определение: Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и
называют «эн факториал»
Число всех перестановок из n элементов обозначают символом Р
n
(читается «P из n»).
Записывают в виде формулы Р
n
= n!
! – произведение Р – перестановки
n – количество элементов
«Эн факториал» в переводе с английского переводится как «состоящий из n множителей».
Особенность всех задач на перестановки заключается в том, что n различных элементов
можно расставить по одному
на n различных мест в определенном порядке
Закрепление
материала
Задачи решаются самостоятельно, с последующим обсуждением:
Задача 3 Из цифр 0, 2, 4 и 5 образованы четырехзначные числа. Найдите количество
всех таких
чисел, если в них нет одинаковых цифр.
Так как мы имеем дело в данной задаче с перестановками, то всего из четырех цифр можно
составить Р
4
перестановок. Но цифра 0 на первом месте стоять не может. Чисел, которые можно
образовать из трех оставшихся будет Р
3
. Значит всего четырехзначных чисел, отвечающих
условию задачи, будет
Р
4
- Р
3
= 4! – 3! =
24 – 6 = 18
Ответ 18.
Задача 4 Сколько вариантов расписания уроков возможно составить, если в день шесть уроков:
математика, русский язык, география, биология, физкультура, информатика, если:
а) урок математики должен быть только первым?
Так как урок математики должен быть только первым, для остальных уроков остаются варианты
расписания только из пяти предметов, т.е
P
5
= 5! = 1*2*3*4*5 = 120 способов
Ответ: 120
б) урок физкультуры не может быть первым?
Так как урок физкультуры не может быть первым, то из всего количества всех вариантов уроков
необходимо исключить случаи, когда урок проходит первым
P
6
- P
5
= 6! – 5! =720 – 120 = 600 способов Ответ: 600
в) урок русского языка не может быть ни первым, ни шестым?
Так как русский язык не может быть ни первым, ни шестым, то эти случаи необходимо исключить:
P
6
- 2 P
5
= 6! – 2*5! =
= 720 – 240 = 480 способов Ответ : 480
г) урок биологии может быть или четвертым, или шестым?
Так как урок биологии можно проводить или на четвертом, или на шестом уроке, то на четвертом
уроке он может быть проведен в 5! вариантах, и на шестом уроке биология может быть проведена
5! случаях. Итого 2*5! = 2*120 = 240 способов
Ответ: 240
д) урок математики и урок информатики должны стоять рядом
Так как уроки математики и информатики должны стоять рядом, то будем считать пару
информатика – математика как один предмет. Тогда из пяти получившихся предметов можно
составить только 5! вариантов расписания. Но двухэлементное множество (математика-
информатика) можно упорядочить только 2! способами. Значит, общее количество вариантов
будет в 2! раза больше.
2! * 5! = 240 способов
Решение задач
Итог урока
Д.з. стр. 227, 228,230
На каждый вид задачи решить №757,№762,№770
Отвечают,
анализируют.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: