«Решение задач на оптимальный выбор» (№ 16 ЕГЭ профильный уровень)

Шпак Ольга Евгеньевна,

учитель математики

высшей квалификационной категории

МБОУ лицей №3

Задачи на оптимизацию – это исследовательские задачи, очень близкие по смыслу (но не по методам решения) к задачам с параметром. Сложность таких задач в том, что не

всегда есть готовые

может

потребовать

решении таких

методы своего задач

заключается

решения и задача

подхода. Успех в

в

систематическом тренинге.

• подробный разбор условия задачи для четкого понимания

сути описанного в задаче процесса;

• выбор переменных, количество

должно

быть

которых

того, чтобы составить уравнения и

достаточным для

неравенства;

• формализация или

составление математической модели

(составление уравнений, неравенств или их систем);

• решение полученного уравнения, неравенства или системы;
• интерпретация полученного результата и непосредственно

сам ответ на вопрос задачи.

1. Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.

Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц.

1. Исследуем доходность

Ягоды:

Творог:

П = 100 тыс. – 70 тыс. = 30 тыс.

З = 70 тыс.

Д = 30 тыс. = 3

70 тыс. 7

П = 135 тыс – 100 тыс = 35 тыс

З = 100 тыс

Д = 35 тыс = 7

100 тыс 20

7 20 140 140

Доходность ягодных блинчиков выше, их надо производить больше.

Доходность (Д) = Прибыль (П)

Затраты (З)

3 > 7

60 > 49

2) М (творог) = 15 тонн

S (творог) = 15 х 35 = 525 тыс.руб.

3) 75 тонн - 100 %

15 тонн - Х%

Х = 15 х 100 = 20% - столько % производственных мощностей занято

75 под выпуск творожных блинчиков

100 – 20 = 80% - остается на выпуск ягодных блинчиков

90 тонн – 100 %

у тонн - 80%

80 х 90

у = 100 = 72 тонны –

максимально возможная масса

ягодных блинчиков

М (ягоды) = 72 тонны

S (ягоды) = 72 х 30 = 2160 тыс. руб.

S= 525 тыс + 2160 тыс = 2685 тыс. руб.

Ответ: 2685 тыс.руб.

2. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары — стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).

Прибыль:

2100 – 1500 = 600 руб. – прибыль с 1 ц стеклянной тары

1750 – 1100 = 650 руб. – прибыль с 1 ц жестяной тары

m1 - масса компота в стеклянной таре m2 - масса компота в жестяной таре

600m1 + 650m2

90 ц - 100%

80 ц – 100%

-

m1 x%

-

m2 у%

m1 = 0,9х

0,9х ⩾ 20

m2 = 0,8у

0,8у ⩾ 20

max

х + у = 100% - все производственные возможности

max

х + у = 100 540х + 520у

max

х = 100 – х 540(100 – у) + 520у

54000 – 20у

max

max

Чем больше у, тем меньше прибыль, чем меньше у, тем больше прибыль 0,8у ⩾ 20 4у ⩾ 100 у ⩾ 25

54000 – 20 ∙ 25 = 53 500 руб. Ответ: 53500 рублей

3. фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором —

300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а

на втором — 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

К

С

К

С

х 10 - х у 10 - у

Так как доход фермера на каждом поле не зависит от того, каким образом засеять другое поле, то можно найти максимальную доход на каждом поле в отдельности и сложить полученные значения

f(х) = х ∙ 400 ∙ 10 000 – доход от продажи картофеля f(х) = (10 – х) ∙ 300 ∙ 11 000 – доход от продажи свеклы

f(х) = х ∙ 400 ∙ 10 000 + (10 – х) ∙ 300 ∙ 11 000 = 700 000х + 33 000 000

х ∈ [0; 10] f\(х) = 700 000 > 0

f наиб. = f(10) = 40 000 000 – на I поле

f(у)= у ∙ 300 ∙ 10 000 + (10 – у) ∙ 400 ∙ 11 000 = - 1 400 000у + 44 000 000

f\(х) = - 1 400 000 < 0

f(0) = 44 000 000

40 000 000 + 44 000 000 = 84 000 000

Ответ: 84 000 000 рублей

С использованием понятия «доходность»

Рассмотрим доходность каждой культуры на каждом поле на ед. площади.

Картофель I поле 400 ∙ 10 000 = 4 000 000 руб. на га

Свекла I поле 300 ∙ 11 000 = 3 300 000 руб. на га

Доходность на 1 пле выше, поэтому нужно все поле засеять картофелем 10 ∙ 4 000 000 = 40 000 000 руб.

Картофель II поле 300 ∙ 10 000 = 3 000 000 руб. на га

Свекла II поле 400 ∙ 11 000 = 4 400 000 руб. на га Доходность свеклы выше, поэтому нужно все поле засеять свеклой 10 ∙ 4 400 000 = 44 000 000 руб.

40 000 000 + 44 000 000 = 84 000 000 руб.

4. Зависимость объёма Q (в шт.) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000 – P, 1000 ⩽ Р ⩽ 15000 Доход от продажи товара составляет РQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q + 5000000 рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на 20%, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Q – количество товара в штуках Q = 15000 – Р Р – цена за единицу товара 1000 ⩽ Р ⩽ 15000 D – доход с продажи D= РQ

Z – затраты на производство Z = 3000Q + 5000000

F – прибыль F = D – Z

• Найдем прибыль: F = PQ - 3000Q – 5000000

F = P (15000 – P) – 3000 (1500 – P) – 5000000

F = -P2 + 18000P – 50 000 000, где Р – старая цена

• 0,8Р – новая цена (снижена на 20%)

F (0,8Р) = -0,64P2 + 14400Р – 50 000 000

• Так как прибыль не изменилась

-P2 + 18000P = -0,64P2 + 14400Р 0,36P2 - 3600Р = 0

Р(0,36Р – 3600) = 0

Р = 0 – не удовл.усл. Р = 10 000

10 000 руб. – старая цена

• 0,8Р = 8000 руб. – стала цена 5) F = -P2 + 18000P – 50 000 000

Fнаиб. на [1000; 1500]

Вершина = 9000 – единственная точка max на [1000; 1500]

Вершина = 9000 – единственная точка max на [1000; 1500]

6) 8000 руб. – 100% 9000 ∙ 100

9000 руб. – х% х = 8000

= 112,5%

112,5% - 100% =12,5%

Ответ: 12,5%