Презентация "Квадратные неравенства и их решение" 9 класс

Квадратные неравенства и их решение.

Подготовил: Попов Дмитрий Сергеевич

9 класс АЛГЕБРА

На сегодняшнем уроке мы с вами рассмотрим определение квадратных неравенств и научимся решать их. Что такое квадратное неравенство?

Примечание к определению: вместо знака > могут стоять и другие знаки неравенства: <, ≥, ≤.

Неравенство вида ах2 + bх + с > 0, где а ≠ 0, называют квадратным неравенством.

Множество решений квадратного неравенства легко найти, используя график функции у = ах2 + bх + с.

На рисунке изображён график функции  у = х2 – 2х – 3. График пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны –1 и 3, т. е. при х = –1 и х = 3 значения функции у = х2 – 2х – 3 равны нулю.

• При –1 < х < 3 график расположен ниже оси х, т. е. значения функции на этом промежутке отрицательны. Иными словами, множеством решений неравенства у < 0 является промежуток –1 < х < 3.
• При x < –1 и x > 3 график расположен выше оси х, т. е. значения функции положительны. Иными словами, неравенство х2 – 2х – 3 > 0 выполняется при х < –1 и х > 3.

При решении квадратных неравенств можно ограничиться схематическим рисунком, показывающим положение графика относительно оси х, так как координаты вершины в данном вопросе значения не имеют; можно также не изображать ось у.

Если требуется решить квадратное неравенство с отрицательным коэффициентом а, то всегда целесообразно перейти к равносильному неравенству с положительным первым коэффициентом, умножив обе части неравенства на –1. Например, вместо неравенства 5 + 4х – х2 ≤ 0 решать неравенство х2 – 4х – 5 ≥ 0.

Пример 1

Решим неравенство х2 – x – 6 > 0.

Выясним, пересекает ли график функции у = х2 – х – 6 ось х. Для этого решим уравнение х2 – x – 6 = 0. Его корни x1 = –2 и х2 = 3. Следовательно, парабола (график функции) пересекает ось х в точках с абсциссами –2 и 3, её ветви направлены вверх. Покажем схематически расположение параболы относительно оси х.

Из рисунка видно, что парабола расположена выше оси x при х < –2 и х > 3. Объединение этих промежутков и составляет множество решений неравенства x2 – x – 6 > 0.

Ответ можно записать двумя способами: 1) x < –2; х > 3; 2) (–∞; –2) U (3; + ∞).

Пример 2

Решим неравенство  х(3 – 2х) > 2.

Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть, получим: –2x2 + 3x – 2 > 0. Теперь заменим неравенство равносильным неравенством с положительным первым коэффициентом (для этого умножим обе части неравенства на –1 и заменим знак неравенства на противоположный): 2х2 – 3х + 2 < 0.

При всех значениях х парабола расположена выше оси х, это означает, что нет таких значений х, при которых функция у = 2х2 – 3х + 2 принимает отрицательные значения, значит, неравенство 2х2–Зх + 2 < 0 решений не имеет.

Ответ можно записать двумя способами: 1) неравенство решений не имеет; 2) ∅.

Выясним, пересекает ли парабола – график функции у = 2х2 – 3х + 2 – ось х. Найдём дискриминант квадратного трёхчлена 2х2 – 3х + 2, a именно:  D = 9 – 4·2·2 = 9 – 16 < 0. Так как дискриминант отрицательный, то квадратный трёхчлен не имеет корней и парабола не пересекает ось х. Изобразим эту параболу схематически.

Пример 3 Найдём область определения:

Область определения выражения задаётся условиями:

Решив каждое из неравенств, получим:

Сделаем схематический рисунок:

Из рисунка видно, что множеством решений системы неравенств является промежуток от 2/3 до 2 (включая эти числа) без числа 1. Ответ можно записать несколькими способами:

Рассмотри решение №305 (пример а) Рассмотри решение №305 (пример в)

Рассмотри решение №320 (пример а)

Рефлексия

Мне все понятно.

У меня все получилось

Есть затруднения.

Но я обязательно разберусь.

Ничего не понятно.

Требуется помощь.

Домашнее задание

• Прочитать пункт 16.
• Решить №305 (б), №306 (а, б, е) №320 (б)

Использованные источники

• https://uchitel.pro/квадратные-неравенства/
• https://pdf.11klasov.net/1384-algebra-9-klass-uchebnik-makarychev-yun-mindyuk-ng-i-dr.html
• https://interneturok.ru/lesson/algebra/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-algebry-9go-klassa/kvadratnye-neravenstva