Ученики на Учителя.com


Презентация "Планиметрические задачи на окружность на ОГЭ и ЕГЭ"

Скачать материал
Подписи к слайдам:
Планиметрические задачи на окружность наОГЭ и ЕГЭ
  • подготовила учитель математики
  • МБОУ СШ №2
  • Бессонова Тамара Владимировна
  • - построение геометрических конструкций;
  • - формулировка свойств, относящихся к данной геометрической конструкции;
  • - подбор и решение ключевых задач,
  • - подбор и решение сложных задач.
  • Обучение решению геометрических задач при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ включает в себя следующее:
Пересекающиеся в точка А и В окружности имеют общую хорду АВ.
  • Пересекающиеся в точка А и В окружности имеют общую хорду АВ.
  • Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.
  • Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной.
  • Если два угла равны и лежат по одну сторону от прямой, соединяющей две общие точки, лежащих на сторонах угла,то около этих точек и вершин углов можно описть окружность
  • «Ключевые задачи на окружность»
  • А
  • В
  • С
  • 2
  • Угол А+угол С=180-уголВ
  • 1
  • Угол 1+угол2=90-1/2 углаВ
  • О
  • Угол АОС=90+1/2 угла В
  • Угол между биссектрисами треугольника
  • Вписанная окружность с центром О треугольника АВС касается сторон АВ и АС в точках М и N соответственно. Прямая М N пересекает биссектрису угла В в точке Р.Докажите что точки N, О, С и Р лежат на одной окружности
  • А
  • В
  • С
  • М
  • N
  • Р
  • О
  • .
  • Угол ВОС=90+1/2 угла А
  • Угол СОР=90-1/2угла А
  • Угол МNА=углу СNР=90-1/2 угла А
  • Точки N,Р,С,О лежат на одной окружности
  • Угол между хордами двух касающихся окружностей
Задачи ЕГЭ
  • Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая АВ касается первой окружности в точке А, а второй – в точке В. Прямая ВК пересекает первую
  • окружность в точке D, прямая АК пересекает вторую
  • окружность в точке С.
  • а) Докажите, что прямые
  • AD и BC параллельны.
  • б) Найдите площадь
  • треугольника ABK, если
  • известно,
  • что радиусы окружностей
  • равны 4 и 1.
Решение. а) б)
  • ΔAKD ~ΔBKC
  • (по двум углам)
  • AK – общая высота
  • ΔAВD и ΔAKВ
  • Ответ. 3,2
  • Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O.
  • На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что ∠BAC + ∠AKC = 90°.
  • а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.
  • б) Найдите радиус окружности, описанной вокруг четырёхугольника OBKC, если cos∠BAC= =3/5, а BC = 48.
  • Решение.
  • a) Пусть ∠ВАС = х; ∠ВOС = 2∠АВС = 2х (как центральный и вписанный углы с общей дугой ВС); ∠АКС = ∠ОКС = 90° − х
  • ∆ВOС – р/б; ОВ = ОС (радиусы) ⟹
  • ∠ОВС = ∠ОСВ = (180° – 2х) : 2 = 90° − х
  • ⟹ ∠ОКС = ∠ОВС (вписанные в окружность с общей дугой ОС)
  • ОВКС – вписанный четырёхугольник.
  • б)
  • O
  • А
  • С
  • В
  • К
  • х
  • По теореме синусов:
  • Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T .
  • а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
  • б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.
  • Решение.
  • a) ∠АDE = ∠СDE = ∠АED (как накрест лежащие при параллельных прямых
  • AB и DC и секущей DE)
  • ∆AOT = ∆AOK (по общей гипотенузе и катетам ОТ = ОК = r) ⟹ AT = AK ⟹
  • ∆ATK – р/б ⟹ ∠ATK = ∠AKT
  • ∆AKT ~ ∆AED (по общему углу А и двум прилежащим сторонам) ⟹ ∠ATK =
  • = ∠ADE – соответственные ⟹ KT ∥ DE
  • O
  • А
  • С
  • В
  • Р
  • E
  • D
  • T
  • K
  • б) ∆ADE – р/б; AD = AE = 6, АР – высота и медиана ⟹ DP = EP. Пусть АТ = АК = х, тогда TD = PD = 6 – x, т. к. ∆AKT ~ ∆AED ⟹ AT : AD = KT : ED, x : 6 = 3 : 2(6 – x) ⟹ x = 3.
  • Значит, ∆AKT и ∆AED – равносторонние, ∠BAD = 60°.
  • Ответ: 60.
  • Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 11. Найдите сторону AB.
  • С
  • B
  • A
  • N
  • М
  • O
  • Решение.
  • Пусть АВ = х, АС = у, тогда Р∆АВС = АВ + АС + ВС = х + у + 11;
  • MN = 5,5 (как средняя линия ∆АВС).
  • MNCB – трапеция, в которую вписана окружность ⟹
  • MN + BC = MB + CN = ½ (x + y) = 5,5 + 11 = 16,5 ⟹ х + у = 33;
  • P ∆АВС = 33 + 11 = 44.
  • По формуле Герона:
  • Получим систему:
  • Ответ: 13 или 20.
  • 25
  • Окружность ω1 касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC треугольника ABC за точки A и C соответственно; M − точка её касания с прямой BC. Окружность ω2 касается стороны AB и продолжений сторон AC и BC за точки A и B соответственно; N − точка её касания с прямой BC.
  • a) Докажите, что BM = CN
  • б) Найдите расстояние между центрами окружностей ω1 и ω2, если AC = , AB = , BC = 6.
  • Решение.
  • б) BC2 = AC2 + AB2 =
  • Значит, ∆ABC – п/у, А = 90°.
  • CL = CA + AL = + y; BS = BA + AS = + x
  • Радиус вневписанной окружности:
  • O2
  • А
  • В
  • С
  • O1
  • r2
  • М
  • r1
  • К
  • N
  • P
  • L
  • S
  • r2
  • r1
  • Ответ:
  • Подведем итог.
  • Научить решать учащихся геометрические задачи это значит не только подготовить их к хорошей сдаче экзамена, но это значит научить учащихся логически мыслить, доказательно отстаивать свою точку зрения, уметь творчески подходить к любому делу.

Математика - еще материалы к урокам: