Задачи с решениями для подготовки к ЕГЭ "Задачи теории вероятностей"

Задачи с решениями для подготовки к ЕГЭ (базовый и профильный уровень)

Шарифулина А.А., учитель математики МБОУ СОШ № 5. МО г.Алапаевск, Свердловская область

Выполнил:

Вероятность – это числовая характеристика возможности появления случайного события в конкретных условиях, которые могут быть воссозданы многократно.

Практикой установлено, что в часто происходящих явлениях (событиях) существуют определенные закономерности.

Задача теории вероятностей – установление и математическое исследование закономерностей в массовых случайных явлениях.

Виды событий

• случайные (либо происходит, либо не происходит);
• достоверное (обязательно наступает в результате данного опыта);
• невозможное (заведомо не может произойти в результате данного опыта);
• несовместные (появление одного из событий исключает появление другого);
• единственно возможные (обязательно появится одно число);
• равновозможные (у всех чисел шансы появиться одинаковы);
• Элементарные события (исходы) – простейшие события, которыми может окончится случайный опыт.

Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.

Р(А) равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.

(объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А,В

(пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.

А

называется противоположным событию А, если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.

Вероятности противоположных событий:

Задача 1

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,19. Покупатель не глядя берет одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

А – новая шариковая ручка пишет плохо

Р(А)=0,19,

Ӑ – новая шариковая ручка пишет хорошо;

Р(Ӑ)= 1 – 0,19 = 0,81.

Ответ: 0,81

Вероятность исполнения события:

Задача 2

Фабрика выпускает сумки. В среднем из 200 сумок 6 сумок имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется с дефектом.

m = 6 (количество сумок с дефектом)

n = 200 (количество всех сумок

Р(А)=6/200=0,03.

Ответ: 0,03

Вероятность исполнения события:

Задача 3

На заводе делают электрические лампочки. 5 % всех изготовленных лампочек неисправны. Система контроля качества выявляет все неисправные лампочки, но по ошибке бракует еще 1 % исправных лампочек. Все забракованные лампочки отправляются в переработку, а остальные — в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная лампочка отправится в переработку.

Ответ: 0,0595

5% - неисправные лампочки.

100%-5%=95% - исправные лампочки.

1% от 95%=0,01*95%=0,95% -бракованные лампы среди исправных.

Значит, общий процент брака равен 5%+0,95%=5,95%.

Тогда Р=5,95/100=0,0595.

Вероятность исполнения события:

Задача 4

В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с черным и зеленым чаем, одинаковые на вид, причем пакетиков с черным чаем в 9 раз больше, чем пакетиков с зеленым. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажеттся с зеленым чаем.

Пусть х – количество пакетиков зеленого чая,

тогда 9х – количество пакетиков черного чая.

х+9х=10х – общее количество пакетиков в коробке.

Событие А – вынуть пакетик с зеленым чаем.

Р(А)=х/10х=0,1.

Ответ: 0,1

Вероятность исполнения события:

Задача 5

В ящике находятся черные и белые шары, причем черных в 3 раза больше, чем белых. Из ящика случайным образом достали один шар. Найдите вероятность того, что он будет белым.

Пусть х – количество белых шаров,

тогда 3х – количество черных шаров.

х+3х=4х – общее количество шаров.

Событие А – вынуть белый шар

Р(А)=х/4х=0,25.

Ответ: 0,25

Вероятность исполнения события:

Задача 6

Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 80 выступлений – по одному из каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса.

1 день – 8 выступлений, 80-8=72, 72/3=24.

2 день – 24

3день – 24

4 день – 24

Вероятность того, что исполнитель из России участвует в какой-либо день, равна доли выступлений в этот день. Так как всего выступлений n=80,

то вероятность выступить в третий день конкурса, равна: Р=24/80=0,3.

Ответ: 0,3

Вероятность исполнения события:

Задача 7

В чемпионате участвуют 50 спортсменок: 16 из Великобритании, 21 из Франции, остальные – из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.

Великобритания: 16

Франция: 21

Германия: 43

Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии, равна доли спортсменок из Германии среди общего числа спортсменов. 

Так как всего спортсменок n=50,

то вероятность выступить, равна: Р=43/50=0,86.

Ответ: 0,86

Вероятность исполнения события:

Задача 8

В чемпионате по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов, среди них три прыгуна из Голландии и 9 прыгунов их Колумбии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать прыгун из Голландии.

Голландия: 3

Колумбия: 9

Всего спортсменов: 30

Так как имеется 3 прыгунов из Голландии, а всего спортсменов 30, то вероятность того, что прыгун из этой страны будет выступать под каким-либо номером, в том числе и под 8-м, равна 

Р=3/30=0,1.

Ответ: 0,1

Вероятность исполнения события:

Задача 9

На конференцию приехали 2 ученых из Дании, 12 из Польши и 6 из Венгрии.

Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четвертым окажется доклад ученого из Венгрии.

Вероятность того, что четвертым по счету будет выступать ученый из Венгрии, равна доли этих ученых на конференции. Так как ученых из Венгрии 6, а общее число выступающих 2+12+6=20, то искомая вероятность, равна 

Р=6/20=0,3.

Ответ: 0,3

Вероятность исполнения события:

Задача 10

Из множества натуральных чисел от 28 до 47 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?

28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47

Всего : n=20

Делятся на 3: m=6.

Вероятность выбрать число, делящееся на 3 равна: Р=6/20=0,3.

Ответ: 0,3

Вероятность исполнения события:

Задача 11

Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Вероятность того, что в течение года не перегорит хотя бы одна лампа, обратна вероятности того, что в течение года перегорят обе лампы. Найдем эту вероятность. Вероятность перегорания одной лампы равна 0,2. Тогда вероятность перегорания сразу двух ламп, равна

Р(А)=0,2*0,2=0,04

Р(Ӑ)= 1 – 0,04 = 0,96.

Ответ: 0,96

Вероятность исполнения события:

Задача 12

Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Вероятность того, что в течение года не перегорит хотя бы одна лампа, обратна вероятности того, что в течение года перегорят обе лампы. Найдем эту вероятность. Вероятность перегорания одной лампы равна 0,3. Тогда вероятность перегорания сразу двух ламп, равна

Р(А)=0,3*0,3*0,3=0,027

Р(Ӑ)= 1 – 0,027=0,973.

Ответ: 0,973

Вероятность исполнения события:

Задача 13

В классе 33 учащихся, среди них два друга – Олег и Михаил. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Олег и Михаил окажутся в одной группе.

В каждой группе оказывается по 11 учащихся. Рассмотрим группу, в которую попал Олег. Тогда на оставшиеся 10 мест будут претендовать 32 учащихся (Олег уже выбран) и вероятность попадания на них Михаила равна

Р(А)=10/32=0,3125

Ответ: 0,3125

Вероятность исполнения события:

Задача 14

Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 8. Найдите вероятность события «при втором броске выпало 6 очков».

n=10

m=4

Р(А)=4/10=0.4

Ответ: 0.4

Сумма очков больше 8 выпасть произойти в следующих ситуациях:

3+6; 4+5; 4+6; 5+4; 5+5; 5+6; 6+3; 6+4; 6+5; 6+6

Вероятность исполнения события:

Задача 15

Два автомобилиста независимо друг от друга, выезжают из пункта А в пункт В. Навигатор предлагает каждому из них 5 равноценных маршрутов, и автомобилисты выбирают маршрут случайным образом. Найдите вероятность того, что автомобилисты выберут один и тот же маршрут.

n=25

m=5

Р(А)=5/25=0.2

Ответ: 0.2

Варианты событий