Презентация "Методы математического моделирования. Основные принципы математического моделирования"

Методы математического моделирования. Основные принципы математического моделирования Понятие математической модели и требования к ней

• Математическая модель реального объекта (явления) – упрощенная, идеализированная схема, составленная с помощью математических символов и операций. При этом учитываются те свойства, которые признаны важными, и выполняется абстрагирование от малозначительных деталей. Например, в школьном курсе физики при решении задач на тяготение используются формулы, не учитывающие сопротивление воздуха, но это незначительно влияет на результаты вычислений.

Требования к моделям

• Адекватность – соответствие модели оригиналу, способность отражать нужные свойства объекта. Поскольку речь идет о количественных характеристиках, то требуется, чтобы погрешность не превышала заданную, т.е. требование адекватности тесно связано с требованием точности.
• Объективность – соответствие научных выводов реальным условиям.
• Простота – модель не должна быть "перегружена" второстепенными факторами.
• Чувствительность – способность модели реагировать на изменения параметров.
• Устойчивость – малому изменению исходных параметров должно соответствовать малое изменение решения задачи.
• Универсальность – характеризует широту области применения модели.

Основные этапы математического моделирования

• Построение модели
На этом этапе имеется некоторый "нематематический" объект – явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т.д. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне, осуществляется гуманитарный анализ, происходит вербализация модели. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, т.е. строится собственно математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования. Даже незначительные недочеты могут свести на нет весь процесс построения модели – модель окажется неадекватной реальному объекту.

Решение математической задачи, к которой приводит модель. Решение может быть найдено "вручную" или на компьютере. В случае программного решения возможно, что на данном этапе большое внимание будет уделено разработке алгоритмов решения задачи на компьютере, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время. Для относительно простых задач решение иногда ищется быстрее человеком, нежели реализуется алгоритм и ищется решение на компьютере.

• Решение математической задачи, к которой приводит модель. Решение может быть найдено "вручную" или на компьютере. В случае программного решения возможно, что на данном этапе большое внимание будет уделено разработке алгоритмов решения задачи на компьютере, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время. Для относительно простых задач решение иногда ищется быстрее человеком, нежели реализуется алгоритм и ищется решение на компьютере.

Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области. То есть, снова – уже после получения ряда результатов – проводится гуманитарный анализ.

• Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области. То есть, снова – уже после получения ряда результатов – проводится гуманитарный анализ.
• Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

Модификация модели. 

• Модификация модели. 
На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения. Математические модели могут быть детерминированными и стохастическими.
• Детерминированные модели характеризуются тем, что для данной совокупности входных значений однозначно определяется выходной результат. Например, в XX в. ряд исследователей (Маккендрик, Форстер, Хорнер) пришли к тому, что данные о населении планеты за многие века с высокой точностью описываются формулой

где Т– год (Т = 0 – Рождество Христово). Данная формула для XXI в. уже не работает, но вполне точна для прежних веков. Изменение численности населения Земли

• где Т– год (Т = 0 – Рождество Христово). Данная формула для XXI в. уже не работает, но вполне точна для прежних веков. Изменение численности населения Земли

При стремлении к значению Т = 2025 значение N будет стремиться к бесконечности, чего в действительности быть не может. Имеет место режим с обострением, из которого реально существующая система неминуемо выйдет. Данная модель является детерминированной, поскольку по заданному значению Т однозначно определяет N.

Стохастические модели

• Стохастические модели – такие математические модели, в которых какие-либо параметры представлены случайными величинами. Следовательно, характеристики в стохастической модели определяются не однозначно, а через законы распределения вероятностей.
• Пример
Существует следующая модель распространения инноваций, предложенная индийскими учеными. Каждый индивид может находиться в двух состояниях – "инновация принята" и "инновация пока не принята". Приняв новинку, индивид остается верен ей до конца. Решение о принятии новинки индивид принимает, ориентируясь на мнение "ближайших соседей" – тех, с кем он непосредственно общается. Пусть вокруг индивида тп сторонников новинки. Генерируется случайное число р – вероятность принятия новинки. Если р • т >r, где r – фиксированное граничное значение, то новинка принимается, иначе пока что отвергается. Кроме того, существует разделение на статические модели и динамические модели. Статическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта без учета изменения параметров во времени. Модель называется динамической, если параметры изменяются во времени.

В 1960-х гг. американский социолог К. Боулдинг предложил так называемую общую теорию конфликта. В теории рассматриваются две модели конфликта: в статической модели анализируются стороны конфликта и система отношений между ними, а в динамической модели рассматривается динамика конфликта – процесс, складывающийся из реакций противоборствующих сторон. Также примером статической модели является зависимость длительности технологической операции от затрат ресурсов. Примером динамической модели является зависимость объемов выпуска товарной продукции предприятия от размеров и сроков капитальных вложений, а также затраченных ресурсов. В 1960-х гг. американский социолог К. Боулдинг предложил так называемую общую теорию конфликта. В теории рассматриваются две модели конфликта: в статической модели анализируются стороны конфликта и система отношений между ними, а в динамической модели рассматривается динамика конфликта – процесс, складывающийся из реакций противоборствующих сторон. Также примером статической модели является зависимость длительности технологической операции от затрат ресурсов. Примером динамической модели является зависимость объемов выпуска товарной продукции предприятия от размеров и сроков капитальных вложений, а также затраченных ресурсов. По характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие – как функции от этих величин. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов.

• По характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие – как функции от этих величин. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов.

Тео́рия гра́фов — раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин, соединённых рёбрами. В строгом определении графом называется такая пара множеств, где есть подмножество любого счётного множества, а — подмножество. Графы строят для того, чтобы отобразить отношения на множествах. Пусть, например, множество A = {a1, a2, ... an} - множество людей, а каждый элемент будет отображён в виде точки. Множество B = {b1, b2, ... bm} - множество связок. На множестве A задано отношение знакомства между людьми из этого множества. Строим граф из точек и связок. Связки будут связывать пары людей, знакомых между собой. Естественно, число знакомых у одних людей может отличаться от числа знакомых у других людей, а некоторые вполне могут и не быть ни с кем знакомы (такие элементы будут точками, не соединёнными ни с одной другой). Тео́рия гра́фов — раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин, соединённых рёбрами. В строгом определении графом называется такая пара множеств, где есть подмножество любого счётного множества, а — подмножество. Графы строят для того, чтобы отобразить отношения на множествах. Пусть, например, множество A = {a1, a2, ... an} - множество людей, а каждый элемент будет отображён в виде точки. Множество B = {b1, b2, ... bm} - множество связок. На множестве A задано отношение знакомства между людьми из этого множества. Строим граф из точек и связок. Связки будут связывать пары людей, знакомых между собой. Естественно, число знакомых у одних людей может отличаться от числа знакомых у других людей, а некоторые вполне могут и не быть ни с кем знакомы (такие элементы будут точками, не соединёнными ни с одной другой).