Презентация "Планиметрические задачи на ЕГЭ" 9 класс

• Планиметрические задачи на ЕГЭ

Дополнительный теоретический материал

• В треугольнике со сторонами a, b, c расстояние от вершины А до точек касания вписанной окружности сторон, содержащих эту вершину, равно
• Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований (средней линии).

Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС

• Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС
• Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
• Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной.

Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам трапеции.

• Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам трапеции.
• При любом способе касания точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой.
• При внешнем касании центры окружностей расположены на линии центров по разные стороны от точки касания, при внутреннем – по одну сторону.
• Расстояние между центрами касающихся окружностей радиусов R и r (R≥r) равно R+r при внешем касании и R-r при внутреннем.

Пересекающиеся в точка А и В окружности имеют общую хорду АВ.

• Пересекающиеся в точка А и В окружности имеют общую хорду АВ.
• Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.
• Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника

Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника.

• Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника.
• Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника (примыкающих к боковым сторонам) и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям).
• Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания.

Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник, подобный данному.

• Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник, подобный данному.
• Если р - полупериметр треугольника, ra - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны равной a, то S = (p-a)ra
• Расстояние между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей находится по формуле

Опорные задачи

• Отрезок общей внешней касательной к двум окружностям радиусов R и r равен
• Пусть в треугольнике АВС проведены высоты АК, и СМ, тогда треугольник ВКМ подобен данному с коэффициентом подобия, равным |cos B|
• Пусть О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС, тогда

• В треугольнике ABC АВ =12, ВС = 5, СА = 10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 4:9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.

• • В треугольнике ABC АВ =12, ВС = 5, СА = 10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 4:9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.
• • В треугольнике со сторонами а, Ь, с расстояние от вершины А до точек касания вписанной окружности сторон, содержащих эту вершину, равно
• Решение
• Пусть AD = d, BD = x, DC = у.
• Тогда для окружности
• вписанной в треугольник
• ADC имеем

• А для окружности вписанной в треугольник ADB
• Поскольку в условии сказано, что точка D лежит на прямой ВС, то существует два ее положения, при которых будет выполняться условие BD: DC = 4:9. Соответственно, существует два рисунка, удовлетворяющих условию задачи.

• Пусть точка D лежит на отрезке ВС (рис.а). Тогда
• Значит,
• 2. Пусть точка D лежит вне отрезка ВС (рис. б). Тогда
• х = 4, у = х + ВС = = 9. Значит,
• Случай расположения точки D правее точки С невозможен.
• Замечание. Так как в решении не исследовано расположение точек Е и F на отрезке AD, то при вычислении длины отрезка EF использован знак модуля.
• Ответ:  

Вариант пробного платного ЕГЭ На стороне CD квадрата ABCD построен равнобедренный прямоугольный треугольник CPD с гипотенузой CD. Найдите высоту треугольника АВР, проведенную из А, если сторона квадрата равна 4.

• Дано:
• AB=4,
• CP=PD,
• AK-высота.
• Найти:
• АК

• А

• В

• С

• D

• Р

Решение

• Первый случай, когда точка Р лежит вне квадрата АВСD:
• 1. CD = 4, значит CP=PD=
• 2. Рассмотрим треугольник ВСР, в нем ВС=4,
• СР=
• По теореме косинусов находим АР=
• 3. Проведем высоту РН в равнобедренном треугольнике АВР, так как РН = 6, то из формулы площади треугольника найдем АК
• АК=

Второй случай когда точка Р лежит внутри квадрата:

• Точка Р совпадет с точкой пересечения диагоналей, поэтому высотой треугольника АВР будет катет АР=
• Ответ :

Диагностическая работа от 20.10.10 Окружность S радиуса 12 вписана в прямоугольную трапецию с основаниями 28 и 21. Найдите радиус окружности, которая касается основания, большей боковой стороны и окружности S.

Решение

• Первый случай, когда окружность касается нижнего основания:
• По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки получаем, что СN=9, ND=16, KD=16.
• Треугольник OKD – прямоугольный, поэтому OD=20.
• Треугольники OKD и HMD подобны по двум углам, поэтому составим отношение
• Пусть MH = у, тогда DH = 8-у, находим у=3

Второй случай, когда окружность касается верхнего основания.

• Второй случай, когда окружность касается верхнего основания.
• По теореме Пифагора найдем ОС = 15.
• Также используя отношение сторон подобных треугольников получаем пропорцию
• То есть у =
• Ответ: 3 и

Диагностическая работа от 9.12.10 Расстояние между параллельными прямыми равно 12. на одной из них лежит точка С , а на другой – точки А и В, причем треугольник АВС – остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. Решение

• Первый случай, когда С – вершина равнобедренного треугольника.
• По условию СН = 12, АС = 13, треугольник АВС- равнобедренный, поэтому АН = 5, значит, АВ=10.
• Из формул площади треугольника выразим радиус
• То есть

Второй случай, когда АС= АВ=13, СН=12

• Второй случай, когда АС= АВ=13, СН=12
• 1. По теореме Пифагора АН=5, значит НВ=8,
• 2. Подставив в формулу получаем
• Ответ:

Ященко и Со (30 вариантов-2011) В параллелограмме АВСD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками М и N так, что BM:MN=1:3. Найти ВС, если АВ=6.

Решение

• Первый случай, когда точки M и N лежат на отрезке ВС, считая от вершины В соответственно
• По свойству биссектрисы параллелограмма получаем АВ=ВМ=NC=CD=6.
• Так как BM:MN=1:3, то MN=18, значит ВС=30.
• Второй случай, когда биссектрисы пересекаются в параллелограмме
• Тогда BN=CM=6, пусть ВМ=х, MN=3x
• х+3х=6, то есть х=1,5, значит ВС=7,5.
• Ответ: 30 и 7,5.

Ященко и Со (30 вариантов - 2011) Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине 15/17. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон вдвое больше другой.

Решение

• Первый случай, когда большая сторона прямоугольника лежит на основании.
• По теореме косинусов находим АВ = .
• По теореме Пифагора находим BD = 80.
• Пусть KN=2x, KD=x, LK=x.
• Рассмотрим треугольники ABD и LBP , они подобны по двум углам, поэтому
• находим х=16, значит, S=512.

Во втором случае на основании треугольника лежит меньшая сторона прямоугольника, тогда

• Во втором случае на основании треугольника лежит меньшая сторона прямоугольника, тогда
• Пусть KN=x, KD=0,5x, LK=2x.
• Подставив в пропорцию получим
• Получаем х=20, значит S=800.
• Ответ: 512 и 800.

Ященко и Со (30 вариантов – 2011) Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 18, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 5. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжения других его сторон.

Решение

• Пусть ВС = a, АС = b, - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны AC , - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС.
• Треугольники ВОК и ВСD подобны, значит,
• Подставим известные величины и выразим а через b
• Применив теорему Пифагора получаем АС=15, АВ=19,5

5. Применив свойство отрезка касательной к вневписанной окружности, получаем

• 5. Применив свойство отрезка касательной к вневписанной окружности, получаем
• ВМ = 0,5 (19,5∙2+15)=27
• 6. Из формулы площади треугольника находим радиусы вневписанных окружностей
• Ответ: 18 и 11,25

• Основные свойства и утверждения о взаимном расположении окружностей, о взаимном расположении прямой и окружности.

• Если две окружности касаются внешне или внутренне, то точка касания и центры этих окружностей лежат на одной прямой

• P

• O

• O1

• O1

• O

• P

• a)

• б)

• R

• d

• Расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, а расстояние между центрами двух внутренне касающихся окружностей равно разности радиусов большей и меньшей окружностей

• O

• O1

• P

• d

• R

• r

• d = R+r

• a)

• r

• б)

• d = R-r

• Касательная к окружности или ее дуге перпендикулярна к радиусу окружности или ее дуги, проведенному в точку касания

• R

• O

• A

• a

• a ┴ OA

• Задача 1.

• В квадрате АВСD, сторона которого равна а, из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга через вершины В и D. На стороне DС как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Найти радиус окружности, касающейся проведенной дуги, полуокружности и одной из сторон квадрата.

• Решение

• I. Случай, когда искомая окружность касается стороне АВ квадрата АВСD (Рис. 1, а). Обозначим радиус этой окружности через х.

• Рассмотрим три случая:

• Рис. 1, а.

• а) Соединим центр окружности О с центром полуокружности О1 и с центром дуги А.

• D

• В

• С

• А

• O

• K

• M

• N

• K1

• O1

• б) Опустим из центра окружности О перпендикуляры ОМ и ОN на противоположные стороны АВ и СD и рассмотрим полученные при этом построении прямоугольные треугольники АМО и ОО1N.

• Из прямоугольного треугольника АМО следует, что неизвестный катет АМ равен

• , то есть АМ=

• или АМ=

• .

• Теперь рассмотрим треугольник ОО1N, в котором гипотенуза

• OO1 = OK1+ K1O1 =

• ,катет ОN = МN – ОМ = а – х и катет О1N = DN –D О1,

• где DN= АМ=

• и D О1 =

• поэтому О1N =

• .

• По теореме Пифагора находим OO1 2 = ОN 2 + О1N 2 . Подставляя найденные выражения для OO1 , ОN и О1N в выше написанное уравнение имеем

• откуда получаем искомый радиус х = OK =

• Он равен ОМ =

• II. Случай, когда искомая окружность касается стороне ВС (Рис. 1, б). Обозначим радиус этой окружности через у . Сделаем необходимые дополнительные построения и получаем прямоугольные треугольники АОМ и О1ОN. Из прямоугольного треугольника АОМ по теореме Пифагора найдем катет ОМ.

• =

• Аналогично найдем из прямоугольного треугольника О1ОN катет ОN =

• =

• Подставляя найденные значения величин ОМ и ОN в соотношение ВС=ОМ+ОN, получаем а =

• +

• Рис. 1, б.

• Решая это уравнение, находим y = OK =

• K

• K

• 2

• D

• В

• С

• А

• O1

• N

• M

• K

• 1

• O

• Рис. 1, в.

• III. Искомая окружность касается стороне DC (Рис.1, в).Обозначим радиус этой окружности через z. Опустим из центра О искомой окружности перпендикуляры ОМ и ОN соответственно на стороны АВ и CD квадрата АВСD и соединим центр О с центром полуокружности О1 и с вершиной А квадрата АВСD . Из полученного при этом построении прямоугольного треугольника ОО1N

• по теореме Пифагора имеем О1N =

• =

• Следовательно, катет АМ прямоугольного треугольника АМО равен

• . Из соотношения АO 2 = АМ 2 + ОМ 2 получаем

• откуда и находится искомый радиус z = OK =

• D

• В

• С

• А

• O

• K

• M

• N

• K

• 1

• O1

Задача 2

• Дан круговой сектор АОВ радиуса R с центральным углом в 90 ○ . На радиусах АО и ОВ этого сектора как на диаметрах построены полуокружности, расположенные внутри данного сектора. Полуокружность с центром О1 на радиусе ОВ сектора АОВ, радиуса О1В касается полуокружности, построенной на радиусе АО, и дуги АВ в точке В. Определить радиус окружности, касающейся этих трех полуокружностей.

Решение.

• а) Рис.2 б)

• A

• O

• B

• K1

• O4

• K3

• K2

• O4

• A

• O

• B

• K2

• K1

• K3

• N

• M

• K

• O2

• O3

• K

• O1

• O3

• O1

• O2

• Для решения этой задачи проведем из центров полуокружностей О1 и О2 радиусы в точки касания (Рис.2,б). Радиусы О1К и О2К оба перпендикулярны касательной в одной и той же точке К и поэтому они лежат на одной прямой О1О2. Получим прямоугольный треугольник ОО1О2 , из которого найдем О1О22 =О1О2 + О2О2 или,

• так как О1О2= О2К+ О1К =

• О1В,

• О1О = ОВ - О1В = R - О1В и О2О =

• отсюда получаем

• Далее центры полуокружностей О1 ,О2 и О3 соединим с центром окружности О4 и из центра О4 этой же окружности опустим перпендикуляры О4М и О4N на радиусы ОА и ОВ сектора АОВ. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники О1О4N и О3О4N. Высота О4N – общая для обоих этих треугольников и поэтому, применяя теорему Пифагора к этим прямоугольным треугольникам, получим следующее равенство

• О1О42 - О3О42 = NО12 – NО32 , или (О1О4 - О3О4) (О1О4 +О3О4) = (NО1 – NО3)
• (NО1 + NО3) . Подставив сюда значения:

• Следовательно, высота

• Теперь мы должны определить стороны прямоугольного треугольника
• О2О4М. Гипотенуза О2О4 = О2К2 + К2 О4 =

• Катет О2М = ОО2 - ОМ =

• и катет О4М =

• По теореме Пифагора имеем О2О4 2 = О2М 2 + МО4 2 , или

• откуда

• Задача 3.

• На отрезке АВ, равном R, точка Q – середина; на АQ и на ВQ как на диаметрах по одну сторону от АВ построены полуокружности. С центрами в точках А и В радиусами, равными АВ, проведены дуги до их взаимного пересечения в точке F, находящиеся по ту же сторону от АВ, что и полуокружности. Проведена окружность, которая касается проведенных дуг и полуокружностей. Найти радиус окружности, касающейся окружности, полуокружности, построенной на отрезке ВQ, и дуги ВF.

• Решение.

• Рис. 3.

• Записывая теорему Пифагора для прямоугольных треугольников О1О2 Q и ВО2 Q (Рис.3), получаем
• (ВО2 + О1О2)(ВО2 - О1О2)=(ВQ + О1Q) (ВQ - О1Q) .Имея в виду, что ВО2 = ВК2 - О2 К2 = R - О2 К2 ,

• О1О2 = О1К4 + К4 О2 =

• F

• O2

• Q

• K2

• K

• K1

• K3

• K4

• P

• M

• A

• B

• O1

• O

• Далее, рассматривая прямоугольные треугольники О1ОМ и АОМ, имеем (АО + О1О) (АО - О1О) =( АМ + О1М) ( АМ - О1М), где
• АО = АК – ОК = R – ОК,

• Поэтому

• oткуда

• и высота

• Для окончательного решения задачи осталось определить стороны прямоугольного треугольника OPO2 и подставить в уравнение
• ОО2 2 = О2P 2 + PO 2 . Меньший катет О2P = О2Q - PQ, где

• катет

• Отсюда получаем

• После необходимых преобразований находим искомый радиус

• Задачи для самостоятельного решения

• Рис. 4.

• Задача 1. В квадрате АВСD из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга, проходящая через вершины В и D. На сторонах ВС и СD как на диаметрах построены внутри квадрата полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся построенных полуокружностей и дуги ВD, если стороны квадрата равны а.
• Ответ: Надо рассмотреть отдельно три случая:

• D

• В

• С

• А

• 3

• 2

• 1

• Задача 2. Окружность вписана в квадрат со стороной 1. Из одной его вершины проведена дуга окружности радиуса 1 до пересечения с другими двумя противоположными вершинами. Проведена окружность, которая касается вписанной окружности и проведенной дуги. Найти радиус окружности, касающейся этой окружности, вписанной окружности и дуги.
• Ответ: Два случая:

• Рис. 5.

• 2

• 1

• Задача 3. Около окружности описан квадрат со стороной а. На двух смежных сторонах этого квадрата построены полуокружности, расположенные внутри квадрата. Найти радиус окружности, касающейся этих двух полуокружностей и окружности.
• Ответ: Четыре случая:

• Рис. 6.

• 3

• 4

• 2

• 1

• Задача 4. Две окружности радиусов a и b (a < b) имеют внутреннее касание. Внутри большей окружности проведена касательная к меньшей окружности, перпендикулярная к общему диаметру этих окружностей. Доказать, что отношение радиуса окружности S1, касающейся двух данных окружностей и проведенной касательной, к радиусу окружности S2, касающейся большей окружности, проведенной касательной и общего диаметра двух данных окружностей,
• равно

• Рис. 7.

• S1

• S2

• Задача 5. Внутри квадрата со стороной a на двух его смежных сторонах как на диаметрах построены полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся этих двух построенных полуокружностей
• и одной из сторон данного квадрата.

• Ответ:

• Рис. 8.