Решение заданий ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

СОДЕРЖАНИЕ

1. КУБ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

2. ФОРМУЛЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

3. КООРДИНАТЫ ВЕРШИН МНОГОГРАННИКОВ

А

А1

В

C

D

B1

C1

D1

y

x

z

a

a

a

(0;а;0)

(0;0;0)

(a;0;0)

(а;a;0)

(0;0;a)

(0;а;a)

(а;a;a)

(a;0;a)

КУБ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Вспомним основные формулы

Если известны координаты точек А и В: , то

1. Координаты вектора АВ:

2. Длина вектора АВ:

3. Координаты середины отрезка АВ:

1. Формулы и методы решения.

1.1. Угол между прямыми. Вектор лежит на прямой а,

Вектор лежит на прямой в.

Косинус угла между прямыми а и в:

1.2. Угол между прямой и плоскостью. Прямая а образует

с плоскостью угол . Плоскость задана

уравнением: ах+ву+сz+d=0 и - вектор нормали,

Синус угла определяется по формуле:

1.3. Угол между двумя плоскостями. Плоскость задана

уравнением: и ее вектор нормали

плоскость задана уравнением и ее вектор

нормали . Косинус угла между плоскостями:

1.4. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние h

от точки до плоскости , заданной уравнением

ах+ву+сz+d=0 определяется по формуле:

1.5. Если отрезок АВ, концами которой служат точки

разделен точкой в отношении ,

то координаты точки С определяются по формулам:

2. Координаты вершин многогранников

2.1. Координаты вершин единичного куба.

2.2. Координаты вершин правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 1.

2.3. Координаты вершин правильной шестиугольной призмы,

все ребра которой равны 1.

2.4. Координаты вершин правильной треугольной пирамиды (тетраэдра), все ребра которой равны 1

2.5. Координаты вершин правильной четырехугольной пирамиды , все ребра которой равны 1

2.6. Координаты вершин правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2

3. Примеры решения задач

3.1. В единичном кубе найти угол между прямыми и

х

y

z

Введем систему координат и найдем координаты

точек

Находим координаты направляющих векторов

прямых и по формуле 1.

Косинус угла между прямыми определяется по формуле 1.1:

х

z

y

3.2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой AF и плоскостью

Плоскость совпадает с плоскостью грани

; зададим ее с помощью точек

Уравнение плоскости примет вид

Вектор нормали :

Синус искомого угла:

Введем систему координат и находим координаты нужных точек.

Найдем координаты вектора

Пусть ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости

3.3. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найти синус угла между прямой ВЕ и плоскостью SAD, где Е- середина ребра SC

х

y

z

Координаты точки Е определим по формуле 3:

Пусть уравнение плоскости ADS ax+by+cz+d=0

Из того, что

следует, что d=0, b+d=0 и :

Отсюда получим, что и уравнение плоскости ADS примет вид:

. Вектор нормали

Синус угла между прямой ВЕ плоскостью ADS определим по формуле 1.2

х

y

z

3.4. В единичном кубе А… найти расстояние от точки А до прямой

Находим координаты точек , вектора

Искомое расстояние есть длина перпендикуляра АК.

Если отрезок ВD разделен точкой K(x;y;z) в отношении , то координаты точки К определяются по формуле 1.5:

К

3.5. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А до плоскости

х

y

z

Координаты точек

Подставив координаты точек в общее уравнение плоскости получим систему уравнений:

Уравнение плоскости примет вид:

Вектор нормали:

Вычислим расстояние h от точки А до плоскости по формуле 1.4:

3.6. В единичном кубе , найти расстояние между

прямыми и

х

y

z

При параллельном переносе на вектор прямая

отображается на прямую . Таким образом, плос-кость содержит прямую и параллельна прямой . Расстояние между прямыми и

находим как расстояние от точки В до плоскости

Пусть ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости .

Так как

Уравнение плоскости запишется как –сx-сy+cz=0, или х+у+z=0..

Вектор нормали

Расстояние h от точки до плоскости находим по формуле 1.4

ЗАДАЧА №13

Задача № 16