Презентация "Степенная функция в зависимости от показателя"

Степенная функция в зависимости от показателя Основные свойства функции Область определения функции – это все значения аргумента х, при которых функция существует. Основные свойства функции Множество значений функции – это все значения, которые может принимать функция у. Основные свойства функции Монотонность функции – это промежутки возрастания и убывания.

Монотонные

Не монотонные

Возрастающая

Возрастающая

Убывает при ,

возрастает при

Возрастает при ,

убывает при

Основные свойства функции Четность функции – график симметричен относительно Оу – четная, О – нечетная, не симметричен – общего вида.

Четные

Нечетные

Общего вида

Основные свойства функции Ограниченность функции – график не опускается ниже какой-либо прямой – ограничена снизу, не поднимается выше какого-то значения – ограничена сверху, заключен между двумя прямыми – ограничена.

Ограниченные снизу

Не ограниченные

Ограниченные сверху

Ограниченные

Основные свойства функции Асимптоты – прямые, к которым график приближается, но не пересекает.

Имеют асимптоты

Не имеют асимптот

Асимптоты: вертикальная – х = 0; горизонтальная – у = 0

Асимптоты: вертикальная – х = 0; горизонтальная – у = 0

Нет строгих ограничений в ООФ и ОДЗ

Основные свойства функции Наибольшее и наименьшее значения функции – это самая высокая и самая низкая точки графика (по Оу).

Наименьшее значение y(0) = 0;

наибольшего нет

Графики и свойства степенных функций в зависимости от показателя Функция называется степенной. Здесь р – заданное действительное число (рассмотренные ранее функции являются степенными). Свойства и графики степенной функции существенно отличаются в зависимости от показателя степени.

Степенными считаются также

• дробные функции
• иррациональные функции (с корнями)

Схематично графики функций в зависимости от того, какой показатель находится в степени, будут иметь один и тот же вид.

1) Показатель степени р = 0

Графиком функции является прямая, параллельная оси абсцисс.

Например, у = 1, у = 3, у = -5 и т.д.

Свойства:

1) ООФ: (любое действительное число). На графике видно, что функция простирается как влево, так и вправо по оси ОХ.

2) ОДЗ: . Так как функция при любых значениях х равна а.

3) Четная, т. к. .

4) Постоянная (не возрастает и не убывает)

5) Ограничена, так как принимает только значения равные а.

6) Асимптот не имеет, так как никаких ограничений в ООФ и ОДЗ нет.

7) Не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значений.

2) Показатель р = 2n – четное натуральное число

Графиком функции является парабола четной степени.

Например, у = х2, у = х4 и т.д.

Свойства:

1) ООФ: (любое действительное число).

2) ОДЗ: . Так как функция не опускается ниже оси ОХ.

3) Четная, т. к.

.

4) Убывает при x < 0,

возрастает при x < 0.

5) Ограничена снизу, так как не опускается ниже нуля.

6) Асимптот не имеет, так как строгих ограничений в ООФ и ОДЗ нет.

7) Наименьшее значение у(0) = 0, наибольшего значения не принимает.

3) Показатель р = 2n-1 – нечетное натуральное число

Если р = 1, Графиком функции является прямая, во всех остальных случаях

парабола нечетной степени.

Например,у = 2х-1, у = х3, у = х5 и т.д.

Свойства:

1) ООФ: .

2) ОДЗ: . Так как функция простирается влево, вправо, вверх и вниз без ограничений

3) Нечетная, т. к.

.

4) Возрастает на всей ООФ

5) Не ограничена.

6) Асимптот не имеет, так как ограничений в ООФ и ОДЗ нет.

7) Не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значений, так как неограничена.

4) Показатель р = –2n – четное отрицательно целое число

Графиком функции является гипербола четной степени.

Например, у = х-2, у = х-4 и т.д.

Свойства:

1) ООФ: .

2) ОДЗ: . Так как функция не опускается ниже оси ОХ и ее не пересекает.

3) Четная, т. к.

.

4) Возрастает при x < 0,

убывает при x > 0.

5) Ограничена снизу, так как не опускается ниже нуля.

6) Асимптоты , эти ограничения указаны в ООФ и ОДЗ.

7) Наименьшего и наибольшего значений не достигает.

5) Показатель р = –(2n –1) – нечетное отрицательно целое число

Графиком функции является гипербола нечетной степени.

Например, у = х-3, у = х-5 и т.д.

Свойства:

1) ООФ: .

2) ОДЗ: . Так как на графике видно, что функция и по х, и по у принимает любые значения, кроме 0.

3) Нечетная, т. к.

.

4) Убывает на всей ООФ

5) Не ограничена.

6) Асимптоты .

7) Не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значений, так как неограничена.

6) Показатель р – нецелое положительное число

Если p > 1, графиком функции является вертикальная ветвь параболы, если 0 < p < 1, горизонтальная ветвь параболы.

Например, у = х5,3, у = х1/2 и т.д.

Свойства:

1) ООФ: .

2) ОДЗ: . Так как на графике видно, что функция и по х, и по у принимает только неотрицательные значения.

3) Общего вида, т. к. не определено.

4) Возрастает на всей ООФ

5) Ограничена снизу.

6) Асимптот нет, так как строгих ограничений в ООФ и ОДЗ нет.

7) Наименьшее значение у(0) = 0, наибольшего значения не принимает.

7) Показатель р – нецелое отрицательное число

Графиком функции является положительная ветвь гиперболы.

Например, у = х-1,2, у = х-7/2 и т.д.

Свойства:

1) ООФ: .

2) ОДЗ: . Так как на графике видно, что функция и по х, и по у принимает только положительные значения.

3) Общего вида, т. к. не определено.

4) Убывает на всей ООФ

5) Ограничена снизу.

6) Асимптоты .

7) Не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Задание для самостоятельной работы

• Распределить данные функции по рассмотренным 7ми группам в зависимости от показателя. Для каждой группы построить схематичный график (по одному для каждой группы) и описать свойства.