Задание №13 ЕГЭ по математике базового уровня "Наглядная стереометрия"

В 13 задании ЕГЭ базового уровня мы будем иметь дело с задачами по стереометрии, но не абстрактными, а наглядными примерами. Это могут быть задачи на уровень жидкости в сосудах, или же задачи на модификации фигуры — например, у которой отрезали вершины и другие.

Нужно быть готовым к решению простых задач по стереометрии — они обычно сводятся сразу к задачам на плоскости, необходимо только правильно посмотреть на чертеж.

1. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Алгоритм выполнения:

• Записать формулу объема цилиндра.
• Подставить значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.
• Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.
• Полученное уравнение решить относительно второй высоты h2.
• Подставить данные и вычислить искомую величину.

РЕШЕНИЕ

Запишем формулу объема цилиндра V = π • r2 • h

Подставим значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае. V1 = π r1 2 h1  V2 = π r2 2h2

Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.

V1 = V2 , значит π r1 2 h1 = π r2 2 h2

Полученное уравнение решим относительно второй высоты h2.

h2 – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

h2 =( π r1 2 h1)/ π r2 2

По условию площадь основания стала в 4 раза больше, то есть r2 = 4 r1 .

Подставим r2 = 4 r1  в выражение для h1. 

Получим: h2 =( π r1 2 h1)/ π (4 r1) 2 

Полученную дробь сократим на π, получим h2=( r1 2 h1)/ 16 r1 2 

Полученную дробь сократим на r1, получим h2 = h1/ 16.

Подставим известные данные: h2 = 80/ 16 = 5 см

Ответ: 5

.

2. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго – 6 и 4.

Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?

Алгоритм выполнения

• Записываем формулу для вычисления объема цилиндра.
• Вводим обозначения для радиуса основания и высоты 1-го цилиндра. Выражаем подобным образом аналогичные параметры 2-го цилиндра.
• Формируем формулы для объема 1-го и 2-го цилиндров.
• Вычисляем отношение объемов.

Решение:

Объем цилиндра равен: V=πR2H.

Обозначим радиус основания 1-го цилиндра через R1, а его высоту – через Н1. Соответственно, радиус основания 2-го цилиндра обозначим через R2, а высоту – через Н2.

Получим: V1=πR12H1, V2=πR22H2.

Запишем отношение объемов:

V1=πR12 · H1 /V2=πR22 · H2

Подставляем в полученное отношение числовые данные: V1=π22 · 6 /V2=π62 · 4

Вывод: объем 2-го цилиндра больше объема 1-го в 6 раз.

Ответ: 6

3. Высота бака цилиндрической формы равна 60 см, а площадь его основания 150 квадратных сантиметров. Чему равен объем этого бака (в литрах)?

В одном литре 1000 кубических сантиметров.

Решение

Так как бак имеет цилиндрическую форму, для решения данной задачи необходимо знать формулу для нахождения объема цилиндра:

V = h · Sосн

Тогда объем бака равен:

V = h · Sосн = 60 · 150 = 9000 см3

Переведём объем бака из сантиметров кубических в литры (в одном литре 1000 кубических сантиметров):

V = 9000 см3 : 1000 = 9 литров

Ответ: 9

4. В бак цилиндрической формы, площадь основания которого 90 квадратных сантиметров, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Решение

Так как бак имеет цилиндрическую форму, для решения данной задачи необходимо знать формулу для нахождения объема цилиндра:

V = h · Sосн

Объем детали равен объему поднятой жидкости

V = h · Sосн = 10 · 90 = 900 квадратных сантиметров

Ответ: 900

5. В бак, имеющий форму правильной четырехугольной прямой  призмы со стороной основания, равной 30 см, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 5 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Решение

Для решения данной задачи необходимо знать формулу для нахождения объема прямой призмы:

Объем прямой призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

V = h · Sосн

Найдем площадь основания призмы:

S = 30 ·30 = 900 см2

Тогда объем детали равен объему поднятой жидкости:

V = h · Sосн = 5 · 900 = 4500 см3

Ответ: 4500

6. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объем сосуда 1080 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение:

Меньший конус подобен большему с коэффициентом 1/2.

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем меньшего конуса равен (1/2)³ =0,125 объема большого конуса.

Таким образом объём налитой жидкости: 1080·0,125 = 135 мл

Ответ 135

7. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  1/2 высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение:

Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5.

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуса, он равен 560 мл. (70 · 8 = 560) Следовательно, необходимо долить

560 − 70 = 490 мл жидкости.

Ответ: 490.

7а. В сосуде, имеющий форму конуса, уровень жидкости достигает 6/7 высоты. Объем сосуда 3430 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение:

В задаче присутствуют 2 подобных конуса.

Поскольку высота меньшего конуса составляет

6/7 высоты большего, это число является коэффициентом подобия.

Объемы любых двух подобных объемных фигур относятся как куб коэффициента подобия, поэтому можно составить следующее соотношение:

Vмал.кон. / Vбол.кон. = (6/7)³

Выразим из этого соотношения объем малого конуса и вычислим его:

Vмал.кон. = Vбол.кон. ⋅ (6/7)³ = 3430 ⋅ 216 / 343 = 2160 мл

ОТВЕТ: 2160

8. Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 162 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.

Решение:

Масса шара прямо пропорциональна

его объёму.

Объёмы шаров относятся как кубы их радиусов:

V2/V1 = r2/r1 = d2/d1 =2³/3³ = 8/27 = m2/m1

Следовательно, масса второго, меньшего шара равна 

162 ·8/27 = 48 грамм

Ответ: 48

9. Две кружки имеют форму цилиндра. Первая кружка в четыре с половиной раза выше  второй, а вторая в полтора шире первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?

Решение:

Для решения данной задачи необходимо знать формулу для нахождения объема цилиндра (так как две кружки имеют форму цилиндра):

Объем цилиндра равен произведению его высоты на площадь основания (основание цилиндра – это круг, поэтому площадь основания равна площади круга):

V = h · Sосн = h · π · r2 = h · π ·D2 / 4

Найдем объем второй кружки (которая ниже):

V2 = h · π ·D2 / 4

Найдем объем первой кружки:

V1 = 4,5h · π ·(2/3D)2 / 4

Осталось найти, во сколько объём первой кружки боьше объёма второй:

V1 / V2 = 4,5h · π ·(2/3D)2 / 4 : (h · π ·D2 / 4) = в 2 раза объём первой кружки больше объёма второй.

Ответ: 2

10. К правильной треугольной призме с ребром 1 приклеили правильную треугольную пирамиду с ребром 1 так, что основания совпали. Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Решение

Ребро – отрезок, соединяющий

две вершины многогранника.

Правильная треугольная пирамида

имеет 6 рёбер.

У правильной треугольной призмы – 9 рёбер.

Итого, у правильной треугольной пирамиды и призмы всего 6 + 9 = 15 рёбер.

При приклеивании правильной треугольной пирамиды к правильной треугольной призме 3 ребра основания пирамиды и 3 ребра верхней грани призмы, к которой приклеивается пирамида, объединяются. Поэтому получившийся многогранник имеет 15 – 3 = 12 рёбер.

Ответ: 12

11. От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Решение

Правильная пятиугольная призма имеет 15 рёбер.

При отпиливании одной вершины получаем ещё три ребра.

Всего у правильной пятиугольной призмы 10 вершин. А это значит, что при отпиливании 10 вершин, получим ещё 10 ∙ 3 = 30 рёбер.

Итого, получившийся многогранник имеет 15 + 30 = 45 рёбер

Ответ: 45

12. Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 52,5 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение

Сторона основания точной музейной копии пирамиды равна 52,5 см = 0,525 м.

Найдем во сколько раз сторона основания копии меньше стороны оригинала, тем самым мы найдем и во сколько высота копии меньше высоты оригинала:

210 : 0,525 =400

в 400 раз высота музейной копии меньше высоты оригинала

Осталось найти высоту музейной копии:

136 : 400 = 0,34 м = 34 см – высота музейной копии.

Ответ: 34 см

13. Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота — 147 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 46 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение

Сторона основания точной музейной копии пирамиды равна 46 см = 0,46 м.

Найдем во сколько раз сторона основания копии меньше стороны оригинала, тем самым мы найдем и во сколько высота копии меньше высоты оригинала:

230 : 0,46 = 500,

в 500 раз высота музейной копии меньше высоты оригинала

Осталось найти высоту музейной копии:

147 : 500 = 0,294 м = 29,4 см – высота музейной копии.

Ответ: 29,4 см

14. Деталь имеет форму изображенного на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины ребер в сантиметрах. Найдите объем этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Решение

Для решения данной задачи будем использовать

формулу объема прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда

равен произведению его высоты на площадь основания.

А площадь основания равна произведению длины на ширину: 

V = h · Socн = h · a · b.

Разобьём данный многогранник на два прямоугольных параллелепипеда (красной пунктирной линией показано, как можно разбить). Получили большой V1 и маленький V2 параллелепипеды. Найдем их объемы отдельно, а потом сложим, тем самым найдем объем всего многогранника.

V1 = 4 · 1 · 1 = 4 см3

V2 = 2 · 4 · 2 = 16 см3

V = V1 + V2 = 4 + 16 = 20 см3 – объем исходного многогранника.

Ответ: 20

15. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 70 см х 20 см х 60 см. Сколько литров составляет объем аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

Решение

Для решения данной задачи необходимо знать

формулу для нахождения объема прямоугольного

параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда 

равен произведению его высоты на длину и ширину:

V = a · b · h

Тогда объем аквариума равен:

V = 70 · 20 · 60 = 84000 см3

Переведём объем аквариума из сантиметров кубических в литры (в одном литре тысяча сантиметров кубических):

V = 84000 см3: 1000 = 84 литра объем аквариума

Ответ: 84 литра