Ученики на Учителя.com


Методическая разработка урока математики "Решение уравнений вида tgx=a,ctgx =a"

Государственное областное бюджетное
профессиональное образовательное учреждение
«ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»
Методическая разработка
урока математики
на тему
«Решение уравнений вида tgx=a, ctgx=a».
Выполнил:
преподаватель математики
Заварзина В.Г.
Липецк 2020 г.
Тема урока:
«Решение уравнений вида tgx=a, ctgx =a».
Цели урока:
1. Образовательные:
а) закрепить навыки решения уравнений вида tgx=a, ctgx =a;
б) обобщить знания студентов о методах решения уравнений вида tgx=a,
ctgx =a;
в) сформировать умения и навыки в правильном выборе метода решения
данных уравнений.
2. Развивающие:
а) развитию математического мышления студентов
б) развитие умений студентов: наблюдать, сравнивать, обобщать,
классифицировать).
3. Воспитательные:
а) воспитание навыков самостоятельной работы;
б) воспитание дисциплинированности;
в) побуждать в студентах стремление к преодолению трудностей в процессе
умственной деятельности.
Тип урока: комбинированный
Вид урока: проблемный
Методические приемы:
-самостоятельная работа (работа с раздаточным материалом);
-практический- решение задач.
Межпредметные связи: история
Оборудование и наглядные средства обучения: мультимедийный
проектор, интерактивная доска, презентация, демонстрационный и раздаточный
материал, задачник “Алгебра и начала математического анализа” (профильный
уровень часть 2) под редакцией А. Г. Мордковича .
Методическая цель: активизировать мыслительную деятельность
студентов.
Ход урока:
I.Организационный момент: Подготовка студентов к уроку
(проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей)
На первом этапе учитель приветствует учащихся, проверяет готовность
класса к работе.
II. Сообщение темы и целей урока.(слайд 1,2)
«Метод решения хорош тем, если с самого начала мы можем предвидеть –
и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому, мы достигнем цели»
Лейбниц .
На этом уроке мы поговорим о методах решения уравнений вида tgx=a, ctgx
=a. Мы знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно
упростить решение, поэтому все изученные методы нужно помнить, чтобы
решать конкретные задачи наиболее подходящим методом.
Давайте сегодня на уроке будем активны и внимательны, будем работать с
большим желанием, ведь все эти знания пригодятся вам в дальнейшей жизни.
Ш. Проверка домашнего задания.
1.Вам на дом было задано решить уравнения:
(Предварительное домашнее задание: решить уравнение:
3tgx- 3= 0, и ).
Пример 1
Решить уравнение:
3tgx- 3= 0
Приведем уравнение к виду tgx=a Для этого перенесем вправо 3
3tgx= 3 Теперь поделим уравнение на 3.
tgx= 1
Применяя фомулу получим:
Ответ:
Пример 2
Решить уравнение:
2ctgx=2
Разделим уравнение на 2
ctgx=1
Применяя фомулу получим:
x= + πn, n Z
Ответ: x= + πn, n Z
Давайте проверим его решение на доске.
Поднимите руки, кто хочет выйти к доске написать и объяснить решение
уравнений?
Студенты выходит к доске и пишут решение.
(В это время слушаем сообщения, подготовленные к уроку)
2. Одному из студентов было задано сделать сообщение об уравнениях.
Студент выходит к доске и делает сообщение.
В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии,
землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер
и представляла главным образом «исчисление хорд».
Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 г. в заглавии книги
немецкого теолога и математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus,
1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов
в астрономии, геодезии и архитектуре.
Происхождение этого слова греческое: τρίγωνον — треугольник, μετρεω —
мера. Иными словами, тригонометрия — наука об измерениях треугольников.
Возникновение тригономет-рии связано с землемерением, астрономией и
Zkkx += ,
4
Zkkx += ,
4
4
4
строительным делом. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие
относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже 2000 лет
назад
Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные
отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и
тригонометрические функции) встречаются уже в 3 в. до н.э. в работах великих
математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В
римский период эти отношения уже достаточно систематично иследовались
Менелаем (Iв. н. э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный
синус угла α, например, изучается как полухорда, на которую опирается
центральный угол величиной α, или как хорда удвоенной дуги.
Тригонометрические вычисления применяются практически во всех
областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет
техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в
астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы
навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в
таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков,
электроника, теория вероятностей, статистика, медицина (включая
ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию),
фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография),
сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики,
топография и геодезия, архитектура, экономика, электронная техника,
машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.
В настоящее время изучению тригонометрических функций и
тригонометрических уравнений уделяется большое внимание в школьном курсе
алгебры и начал анализа.
Преподаватель : давайте посмотрим на доску (слайд3,4)
IV. Мотивация
Ребята! Давайте посмотрим на доску.(слайд5)
Решите уравнение:


Перед нами уравнение, которые мы пока что решить не можем, но сегодня
на уроке мы познакомимся с некоторыми методами решения тригонометрических
уравнений. Давайте сначала повтори как решаются простые тригонометрические
уравнения .
V.Актуализация опорных знаний
Давайте вспомним формулы для решения тригонометрических
уравнений.(слайд 6)
Ребята расскажите по каким формулам мы будем находить корни
уравнений.
Давайте вспомним частные случаи для нахождения корней уравнений
(слайд7)
(Правильные ответы на вопросы
В это время мы повторяем формулы для решения уравнений.
1.Какие формулы применяются для решения уравнений вида tgx=a?
Ответы:
Для решения уравнений вида tgx=a применяют следующие формулы:
Частные случаи:
2. Какие формулы применяются для решения уравнений вида сtgx=a?
Для решения уравнений вида ctgx=a применяют следующую формулу:
)
Проведём небольшую работу по карточкам в двух вариантах и повторим
основные формулы.
Znnarctgatatgt +== ,
Ребята решают задания по карточкам. Потом они меняются вариантами и
проверяют решения с правильными на обратной стороне доски. Ставят + или –
напротив заданий и сдают преподавателю.
Задание 1 :решите уравнения.
1 Вариант
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2 Вариант
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ответы:
1 Вариант
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2 Вариант
1)
2)
3)
4)
5)
6)
VI Ведение нового материала
Давайте рассмотрим решение следующих уравнений, содержащих tgx и
ctgx.
Пример 1.
sin
2
x + sin
2
x cos x – 3 sin x cos
2
x = 0,
Р е ш е н и е: Разделив обе части уравнения почленно на cos
2
x ≠ 0,
Деление не приведет к потере корней, т.к. при х = ½ π + πn, n Є Z,
получим в левой части либо 1, либо -1, следовательно, эта серия корней не
удовлетворяет заданному уравнению. Получим:
tg
2
x + tg
2
x -3 tg x - 3 = 0;
tg
2
x (tg x + 1) – 3(tg x + 1) = 0;
(tg x + 1) (tg
2
x - 3) = 0. Значит либо tg x = -1, либо tg x = ±√3. Из первого
уравнения находим: x = arctg (-1) + πn, т.е. x= - ¼ π + πn.
Из второго уравнения находим: x = ± arctg √3 + πn,
Ответ: x= -¼ π + πn; x = ±1/3 π+ πn, n Є Z.
Пример 2
Решим уравнение


 
  

 
Перенося все члены, уравнения в левую часть и приводя подобные члены,
получим уравнение
  
являющееся следствием данного уравнения.


Проверка показывает, что число
является корнем данного уравнения, а
число
– нет. Следовательно, уравнения имеет единственный корень
Ответ: 6.
Пример 3.

  
    
Решение:
пусть tg x=t, имеем
 
  
1)
  
 
   
2)
  
 
    


 




  



Ответ: (


Решим уравнение урока.


Решение.
Напомним: здесь мы применяем формулу
x = arctg a + πn.
Чтобы не запутаться при следующем шаге, заменим в формуле переменную x на
переменную t:
t = arctg a + πn.
Далее отмечаем, что:
π
t = (4x – —).
6
Тогда наше уравнение принимает следующий вид:
π √3
4x – — = arctg —— + πn.
6 3
Находим значение арктангенса:
√3 π
arctg —— = —
3 6
Подставляем значение арктангенса в нашу формулу:
π π
4x – — = — + πn.
6 6
Находим значение 4x:
π π 2π π
4x = — + — + πn = —— + πn = — + πn
6 6 6 3
Осталось найти значение x, применяя правило деления дробей:
π π 1 πn π πn
x = — : 4 + πn : 4 = — ∙ — + —— = —— + ——
3 3 4 4 12 4
Ответ:
π πn
x = —— + ——, n Z
12 4
1) ctg x = 1
х = аrcctg 1 + n, n Z,
х = + n, n Z.
Сегодня на уроке мы с вами рассмотрим метод решения
тригонометрических уравнений.
Метод замены переменной(слайд8)
Давайте посмотрим на доску.
На слайде описана схема решения уравнений методом замены переменной.
Давайте рассмотрим в чём он заключается.
С этим методом вы знакомы со школы.
Схема решения:
Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из
тригонометрических функций.
Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо,
ввести ограничения на t).
Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.
Шаг 4. Сделать обратную замену.
Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.
Давайте решим наше первое уравнение по этому методу.
Ребята, кто хочет выйти попробовать решить данное уравнение?
Студент выходит к доске.
Пример.
2cos (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Решение.
1) 2(1 – sin (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Пусть sin (x/2) = t, где |t| ≤ 1.
3) 2t + 5t + 3 = 0;
t = 1 или t = -3/2, не удовлетворяет условию |t| ≤ 1.
4) sin (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Ответ: x = π + 4πn, n Є Z.
2
2
2
2
VII Закрепление нового материала
Решение задач.
Пример 1.
Давайте решим у доски следующий пример:
6sin x−5sinx+1=0
Решение уравнений у доски.
Вызываются учащиеся.
1)Каким методом мы решим первое уравнение?
Метод замены переменный и подстановки
Решение:
Как будем решать данное уравнение?
Введем новую переменную sinx=t It1 1 , получим квадратное уравнение
6t −5t+1=0. Его корнями являются числа t = и t = . Данное уравнение
сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям sinx= и sinx= . Решая
их, находим, что x=(−1) и x=(−1) arcsin +n Z корни
уравнения.
Пример 2.
Решить уравнения:
tg(3x- π/3)= √3
Решение:
Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.
Пример 3.
Решим уравнение:

  
2
2
1
2
1
2
3
1
2
1
3
1
k
Zkk + ,
6
n
3
1
Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной,
обозначим: t=tg(x).
В результате замены получим: t
2
+ 2t -1 = 0
Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3
Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение,
найдем его корни.
x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
VIII.Подведение итогов урока:
Сегодня на уроке мы повторили формулы для нахождения корней
тригонометрических уравнений, решали познакомились с одним из методов
решения тригонометрических уравнений, решали уравнения на применение этого
метода.
Выставление оценок за урок.
IX.Домашнее задание:
Решите уравнения:
1. Решите уравнение ctg x =
.
2. Решите уравнение сtg x =-
.
3. Решите уравнение сtg x + 1 = 0.
Решение домашних примеров.
Пример 1.
Решите уравнение ctg x =
.
Решение:
Составим формулу решений: х = arcctg
  , n Z
Вычислим значение арккотангенса (см. определение котангенса) и
подставим найденное значение в формулу решений:
x=
, n Z
Ответ:
, n Z
Пример 2.
Решите уравнение сtg x =-
.
Решение:
Составим формулу решений: х = arсctg 
, n Z см. [17]
Вычислим значение арккотангенса (см.определение котангенса) подставим
найденное значение в формулу решений:
x=

, n Z
Ответ:

, n Z
Пример 3.
Решите уравнение сtg x + 1 = 0.
Решение:
Перенесем 1 в правую часть уравнения и получим сtg х = − 1
Частный случай, решениями являются х =

, n Z
Ответ:

, n Z
Список литературы:
1. М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа; Учебник для 10-11 кл. средней
школы – 2-е изд. – М. Просвещение, 2000.
2. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын. Алгебра и начала
анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы – 4-е изд. – М. Просвещение, 2002
3. Кононов А.Я. «Устные занятия по математике в старших классах» М.,
Столетие, 1997
4. Мордкович А.Г.и др. Алгебра и начала анализа.10 кл.: В двух частях.Ч.1:
Учеб. для общеобразоват. Учреждений(профильный уровень) )/А.Г. Мордкович и
др. ; под редакцией А.Г. Мордковича—7-е изд., стер.—М.: Мнемозина, 2015.
5. Алгебра и начала математического анализа. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для
учащихся общеобразовательных . учреждений (профильный уровень)/А.Г.
Мордкович и др. ; под редакцией А.Г. Мордковича—7-е изд., стер.—М.:
Мнемозина, 2015.
Пояснительная записка.
Данная методическая разработка - план проведения урока математики,
рассчитанный на 45 минут. Учитывая современную тенденцию к информатизации
образовательного процесса, отдельные части урока могут быть проведены с
использованием оборудования:
- на этапах: «Мотивация урока (задача на доске)», «Исторической
справки» «Повторение формул», «Решение задач» - мультимедийный проектор
или интерактивная доска;
- на этапе домашнего задания – с помощью интерактивной доски было
указано домашнее задание.
Данный урок является комбинированным. Он направлен на решение
следующих задач: повторение, обобщение и систематизация знаний, умений и
навыков учащихся.
К разработке прилагается компьютерная презентация, которая сопутствует
всем этапам, предусмотренным планом занятия.
Для разработки данного урока были использованы разные формы работы
учащихся на уроке. Работа обучающихся в целом дает возможность
коллективного творчества, проявления инициативы, развивает навыки принятия
решения и ответственности за них.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: