Презентация "Площадь многоугольника на клетчатой бумаге" 5 класс

На прошлом уроке мы научились находить площадь прямоугольника и квадрата. Как найти площадь прямоугольника? По какой формуле вычисляется площадь квадрата?

На прошлом уроке мы с вами вычисляли площади многоугольников, составленных из квадратов. Сегодня мы продолжим изучать способы вычисления площади многоугольников на клетчатой бумаге.

2. Вычислите площадь многоугольника

«Решение задач – практическое искусство, подобно плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано, научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянной тренировкой»

Д. Пойа

На уроках математики всегда используют тетради в клетку. Почему?

Но вы вряд ли представляете, насколько мощным инструментом является клетка для геометрических построений и для решения задач на клетчатой бумаге.

«Клетка – ты чудо! Загадочна, проста и таинственна. Сколько возможностей, открытий хранишь в себе. Сколько закономерностей можно раскрыть, благодаря этому «Чуду»!»

Сегодня мы с вами будем решать задачи на клетчатой бумаге. Задачи на нахождение площади многоугольников.

Использование способа подсчета клеток

Задача 1. Найти площадь многоугольника,

если площадь одной клетки 1см²

Решение: Многоугольник состоит из 2 целых клеток и 8 половинок, значит его площадь будет равна 2 + 4 = 6 (см²)

Задача 2. Найти площадь фигуры АВСД. Размер клетки 1 см²

Достраивание до квадрата или прямоугольника

Решение: Достроим около фигуры квадрат со стороной 4 клетки. Для того, чтобы найти площадь розовой фигуры надо из площади квадрата вычесть площадь 4 одинаковых треугольников.

Значит S = 4·4 - 4·3·1: 2 = 10 (см²)

Решение: Разобьем фигуру на прямоугольные треугольники и прямоугольники или квадраты. Площадь голубого треугольника равна 2ˑ6 :2=6см², площадь рыжего - 1·4:2=2см², площадь сиреневого - 2·3:2=3см², площадь прямоугольника равна 1·2 =2см². Значит площадь всей фигуры будет равна сумме всех частей S = 6см²+2см²+3см²+ 2см² = 13см²

Разбиение фигуры на части

Задача 2. Найти площадь многоугольника, если площадь одной клетки равна 1 см²

Вывод: Способы достраивания и способ разбиения подходят для нахождения площадей любых многоугольников, с вершинами в узлах решетки, но они очень трудоемкие.

Нет ли способа полегче?

Нахождение площади многоугольника

по формуле Пика

Формула была открыта в 1899году австрийским математиком Георгом Пиком. Формула применяется для вычисления площади многоугольника, вершины которого располагаются в узлах квадратной сетки.

Она связывает площадь многоугольника с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника,

S = Г : 2 + В – 1,

где S – площадь многоугольника;

Г – количество узлов сетки, попадающих на стороны многоугольника (на границе многоугольника)

В – количество узлов сетки, расположенных внутри многоугольника (внутренние точки многоугольника)

S = Г : 2 + В – 1

Георг Алекса́ндр Пик

( 10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем.

Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Вернемся к нашей задаче №3.

Решим её по формуле Пика.

Для этого расставим точки в

углах решетки: красные - на

границе фигуры, зеленые –

внутри фигуры и посчитаем их

Г = 10

В = 9

S =

S = 10:2 + 9 – 1 = 13(см²)

Вывод: Этот способ универсальный и наименее трудоемок, но если клетки мелкие и рисунок не четкий, можно ошибиться в подсчете точек в узлах решетки.

Найдём площадь параллелограмма по формуле Пика:

Отметим узлы:

Г = 18 (обозначены красным)

В = 20 (обозначены синим)

S = 18:2 + 20 – 1 = 28 (см²)

Г = 4, В = 12

S = 4: 2 + 12 – 1 = 13 ( см²)

Найдём площадь произвольного треугольника по формуле Пика:

По формуле Пика нельзя вычислить площадь правильного треугольника, пятиугольника, шестиугольника и т.д. Длины их сторон нельзя расположить у узлах квадратной решетки.

Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

Физкультминутка

Дружно с вами мы решали,

Много, много рассуждали,

А теперь все дружно встали,

Свои косточки размяли.

На счет раз кулак сожмем,

На счет два в локтях согнем.

На счет три - прижмем к плечам,

На четыре – к небесам.

На счет 5 – сильней прогнулись,

И друг другу улыбнулись.

На счет 6 – садимся снова

И продолжить все готовы.

А теперь решаем самостоятельно

Г = 14; В = 4; S = 14:2 + 4 – 1 = 10

Вычислим площадь многоугольника по формуле Пика

S = 14

S = 15

Выполните задание по QR - кодам

Ну кто придумал эту математику !

У меня всё получилось!

Надо решить ещё пару задач.

Рефлексия

Домашнее задание

№№ 589, 590

Урок закончен

УРА !

https://images.app.goo.gl/CdFZAkRwLLm5N3MJ7

https://images.app.goo.gl/b3FDrzAprDYqCf347

https://images.app.goo.gl/4hCw7ukpcy3irKDk9

https://images.app.goo.gl/GkmkwSpghDWhGUHN6

https://images.app.goo.gl/xHqh1SAehfZDYU3U9

https://images.app.goo.gl/gzfvB7rhX2t8s6u99

https://images.app.goo.gl/SVL51PDXjf8oQ63dA

https://images.app.goo.gl/8h5J14fAwbEHk5Z9A

https://images.app.goo.gl/kHNmzc5pZcuWPwK98

https://images.app.goo.gl/kcHsPQQYAm1UEeQ77

https://images.app.goo.gl/5TbPMTwrVgArczpX7

https://images.app.goo.gl/w1rfZe2pbK3fz5P26

https://images.app.goo.gl/TNPFbt2iw3ZYuTyq8

https://images.app.goo.gl/LHUXQrrVwoS9UdZU8

https://yandex.kz/collections/card/59fa06a7be1d77124b4166cc/

Использованные ресурсы