Методы школьной математики

1
МЕТОДЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
Учитель математики, директор
МАОУ СОШ №4 им. И.С. Черных
г. Томска Зятнин В.И.
2
Томск 2016
Методы школьной математики
Оглавление:
Введение .................................................................................................................................................. 1
1. Метод замены ...................................................................................................................... отдельно
2. Графический метод ............................................................................................................. отдельно
3. Решения уравнений «высоких» степеней ......................................................................... отдельно
4. Метод интервалов (областей) и метод рационализации .................................................. отдельно
5. Метод решения однородных уравнений .......................................................................... отдельно
6. Метод, использующий ограниченность функций ........................................................... отдельно
7. Метод инвариантности ...................................................................................................... отдельно
8. Решение простого уравнения несколькими способами ............................................................... 3
9. Решение сложного уравнения с параметром несколькими способами...................................... 6
Введение.
Обычно при преподавании математики в школе следуют календарно-тематическому
плану, где последовательно изучают одну тему за другой. Ученики знакомятся с различными
методами, позволяющими решать задания (уравнения, неравенства, системы и т.д.) той или
иной темы. Например, в тригонометрии есть методы:
1. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители
2. Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям
3. Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических
функций в произведение
4. Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения
тригонометрических функций в сумму
5. Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени
6. Решение тригонометрических уравнений как однородное
7. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента
8. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической
подстановки
9. Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного
10. Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей
уравнения (метод оценок)
и т.д.
Аналогично рассматриваются способы решения в других темах показательные
функции, логарифмические и т.п.
Но некоторые методы эффективны не только для определённого вида функций, а
работают практически всегда. Об этих методах и пойдёт речь в данной статье.
При проведении итогового повторения, при подготовке к ОГЭ и особенно ЕГЭ (когда
уже всё «изучено») полезно и результативно организовать работу так:
берётся одно уравнение (неравенство, система) и решается несколькими способами (чем
больше, тем лучше).
3
берётся один метод и решаются уравнения с разными функциями степенными,
тригонометрическими, иррациональными, показательными, логарифмическими;
Но, что бы решать одно уравнение разными методами, эти методы надо повторить, что и
делается в главах 1-7 (смотри отдельные статьи). В главе 8 разными методами решаются
простые уравнения, а в главе 9 – сложное уравнение с параметром.
VIII.
Решим это уравнение несколькими различными методами:
1. Замена по основному тригонометрическому тождеству ±
возводим в
квадрат
1− =1−2 + ; упрощаем − =0; ( −1)=0
=0 и =1; = ,=+2 , . Но если возводили в квадрат, возможно
появление посторонних корней, поэтому обязательна проверка. Несложно убедиться, что =
является посторонним корнем (−1≠1)
Ответ: , =2 ,=+2 ,
2. Графический метод: Преобразуем уравнение =1− и построим графики левой и
= = + синусоида, сдвинутая на влево (симметричная оси Y);
=1− перевёрнутая синусоида, поднятая ввер на единицу. Точки
пересечения 0, и повторяются через 2.
Ответ: , =2 ,=+2 ,
3. С помощью введения вспомогательного аргумента: Поделим
правую и левую часть на :
, то преобразуем
+ =
,
получили простейшее уравнение
Ответ: , =2 ,=+2 ,
4. Как однородное:
Сделаем данное уравнение однородным, используя формулы двойного аргумента и основное
тригонометрическое тождество
4
2
Проверяя cos =0 и решая после приведения методом деления на получаем
Ответ: , =2 ,=+2 ,
5. С помощью универсальной тригонометрической подстановки:
Универсальная замена: =
Получили + =1; =0; 2 −2 =0 и далее
как во втором методе.
Ответ: , =2 ,=+2 ,
6. Метод возведения в квадрат:
Очень полезно подробно разобрать этот метод, в ряде случаев он очень эффективен (например,
при избавлении от модуля), но очень «чреват» появлением посторонних корней.
+2 + =1, 2=0, 2= ,;=, n .
Но необходимо проверить, нет ли посторонних корней.
Несложно убедиться, что = и = являются посторонними корнями (−1≠1)
Ответ: , =2 ,=+2 ,
7. Используя ограниченность функций
| |≤1,| |≤1; поэтому | |≥ и | |≥ , следовательно
| |+| |≥ + =1 Если в исходном уравнении хотя бы одно слагаемое левой части отрицательное,
сумма будет строго меньше 1. Поэтому знак модуля можно отбросить. Причём сумма достигает
минимума, когда одна из функций равна нулю, а другая – единице.
Ответ: , =2 ,=+2 ,
8. Геометрический метод
Мы уже отмечали, что и sinx и cosx в уравнении sinx+cosx=1 должны быть неотрицательные.
Если из величины, не превышающей 1, что-то вычесть, то 1 мы уже никак не получим. Тогда
угол 0≤ ≤. Получаем треугольник, где =, = , a и b катеты, с – гипотенуза.
Тогда + = +==1. Сумма катетов равна гипотенузе, если один из катетов равен нулю. Либо
противоположный катет угол 0
0
, либо прилежащий, угол 90
0
. С учётом периодичности
получаем ответ.
Ответ: , =2 ,=+2 ,
Можно придумать и несколько других способов, например:
2
2
5
+ =1; по формуле приведения + + =1; преобразуем по формуле
+ =2 в произведение 2 =1;
2 + − =1; √2 + =1; далее как в 1 методе. Но это слишком «экзотично», так и с
другими методами.
Итак, мы разобрали решения уравнения + =1 несколькими способами. Поскольку
уравнение не сложное, его можно разбирать со всеми выпускниками в качестве повторения.
Можно взять и не тригонометрическое уравнение, например: 5=8
2. Метод замены – «делай всё одинаковым и заменяй!» - делаем одинаковые основания,
применяя основное логарифмическому тождество: 5=8 . Получим 8
= 8; log5∙=;
(1−log5)=0; т.к. log5≠0,то =0.
3. Разложение на множители: 5−8=0; 8 58 −1=0; 8=0 или 58 −1=0 .
Показательная функция не равна нулю, значит 58 =1;58 =58; =0
4. Уравнение однородное, 5≠0, правую и левую часть делим на 5. Можно и на 8, но
лучше привыкнуть делить на меньшее, что бы новая переменная была больше 1, в
уравнениях это не важно, а вот в неравенствах – принципиально.
85 =1;85 =
5. Прологарифмируем правую и левую
часть:
т.к. 5≠ 8;то =0
6. И т.д.
Аналогично можно решать логарифмическое уравнение, например log=log. Графики
понятны, точка пересечения х=1. Одинаковыми основания делать так:
.