Презентация "Методы вычисления кратных интегралов и их приложения"

Выпускная квалификационная работа на тему: «Методы вычисления кратных интегралов и их приложения» Выполнила преподаватель ГБПОУ ЧГК: Умаева А.Р. Цель данной работы: рассмотрение методов вычисления кратных интегралов и их приложений, подробное изучение двойных интегралов, их свойств, и приложения к задачам геометрии и физики. Для достижения цели, рассмотрены следующие вопросы

• Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла;
• Определение двойного интеграла;
• Свойства двойного интеграла и его существования;
• Вычисление двойных интегралов с помощью повторного интегрирования;
• Замена переменных в двойном интеграле;
• Двойной интеграл в полярных координатах;

Приложения двойного интеграла;

• Приложения двойного интеграла;
• масса плоской пластинки переменной плотности;
• статические моменты и центр тяжести пластинки;
• моменты инерции пластинки;
• объем тела;
• вычисление площади плоской области;
• вычисление площади поверхности;
• Дополнительные свойства повторных интегралов.

Объектом выпускной квалификационной работы являются кратные интегралы и их приложения.

Предметом исследования – методы вычисления кратных интегралов и рассмотрение их приложений.

Дополнительные свойства повторных интегралов Формула Дирихле   Так как (по области)

•  

Следовательно, повторные интегралы из (1) и (2) равны   Равенство (3) называют формулой Дирихле.

•  

Замечание. Если функция f(x,y) определена при a≤x≤b, c≤y≤d, т.е. в прямоугольнике (Р), ограниченном прямыми x=a, x=b и y=c, y=d, то аналогично имеем:

 

 

Следовательно   Формулы (1) – (4) справедливы при , , если абсолютно сходится хотя бы один из интегралов в их левой или правой части.

•  

Интегралы «-го порядка» Формула Коши Пусть функцияинтегрируема на отрезке . Рассмотрим интегралы

•  

= =

•  

n интегралов Обозначим

•  

Докажем, что Так как

то

 

Интегрируя обе части в пределах от до и учитывая, что (3),имеем

Так как

 

•  

n интегралов Из, в силу (2) и (3) получаем  

•  

Формула Коши

Так как в формуле (7) функция проинтегрирована n раз, то естественно правую часть (7) назвать интегралом функции n-го порядка. Приведем в заключение пример, показывающий, что не всегда выполняется равенство т.е. не всегда можно менять порядок интегрирования в повторных интегралах. В самом деле, если то В самом деле, если то  

•  

Покажем это. Покажем это.    

•  

   

•  

Спасибо за внимание) Спасибо за внимание)