Презентация "Методы вычисления кратных интегралов и их приложения"

Подписи к слайдам:
Выпускная квалификационная работа на тему: «Методы вычисления кратных интегралов и их приложения» Выполнила преподаватель ГБПОУ ЧГК: Умаева А.Р. Цель данной работы: рассмотрение методов вычисления кратных интегралов и их приложений, подробное изучение двойных интегралов, их свойств, и приложения к задачам геометрии и физики. Для достижения цели, рассмотрены следующие вопросы
  • Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла;
  • Определение двойного интеграла;
  • Свойства двойного интеграла и его существования;
  • Вычисление двойных интегралов с помощью повторного интегрирования;
  • Замена переменных в двойном интеграле;
  • Двойной интеграл в полярных координатах;
Приложения двойного интеграла;
  • Приложения двойного интеграла;
  • масса плоской пластинки переменной плотности;
  • статические моменты и центр тяжести пластинки;
  • моменты инерции пластинки;
  • объем тела;
  • вычисление площади плоской области;
  • вычисление площади поверхности;
  • Дополнительные свойства повторных интегралов.

Объектом выпускной квалификационной работы являются кратные интегралы и их приложения.

Предметом исследования – методы вычисления кратных интегралов и рассмотрение их приложений.

Дополнительные свойства повторных интегралов Формула Дирихле   Так как (по области)
  •  
Следовательно, повторные интегралы из (1) и (2) равны   Равенство (3) называют формулой Дирихле.
  •  

Замечание. Если функция f(x,y) определена при a≤x≤b, c≤y≤d, т.е. в прямоугольнике (Р), ограниченном прямыми x=a, x=b и y=c, y=d, то аналогично имеем:

 

 

Следовательно   Формулы (1) – (4) справедливы при , , если абсолютно сходится хотя бы один из интегралов в их левой или правой части.
  •  
Интегралы «-го порядка» Формула Коши Пусть функцияинтегрируема на отрезке . Рассмотрим интегралы
  •  
= =
  •  
n интегралов Обозначим
  •  
Докажем, что Так как

то

 

Интегрируя обе части в пределах от до и учитывая, что (3),имеем

Так как

 

  •  
n интегралов Из, в силу (2) и (3) получаем  
  •  

Формула Коши

Так как в формуле (7) функция проинтегрирована n раз, то естественно правую часть (7) назвать интегралом функции n-го порядка. Приведем в заключение пример, показывающий, что не всегда выполняется равенство т.е. не всегда можно менять порядок интегрирования в повторных интегралах. В самом деле, если то В самом деле, если то  
  •  
Покажем это. Покажем это.    
  •  
   
  •  
Спасибо за внимание) Спасибо за внимание)