Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Вычисление площадей фигур с помощью интегралов"

Использование интерактивного оборудования на уроках математики
В последнее время российские образовательные учреждения оснащаются не
только современными компьютерными классами, но и устанавливают
интерактивные доски, использование которых позволяет более эффективно
проводить уроки, показывая то, что на обычной доске не изобразишь и словесно
не опишешь, а также создавать и демонстрировать не только статическое, но и
управляемое, интерактивное динамическое изображение.
Тема урока: Вычисление площадей фигур с помощью интегралов.
Цель урока:
• Обеспечить закрепление понятия интеграл, способы его вычисления,
применение интеграла для вычисления площадей
• Сформировать навыки планирования ответа, умение считать и писать в
быстром темпе, навыки самоконтроля.
Воспитательные задачи: содействовать воспитанию аккуратности,
организованности, дисциплины, формировать умения работать коллективно, в
группе, паре, самостоятельно, прививать интерес к предмету посредством
применения современных информационных технологий
Задачи развития интеллекта:
✓ Способствовать развитию интеллектуальных качеств личности школьника:
самостоятельность, гибкость, способности видеть проблему, обобщать,
переключаться с одного вида работы на другой;
✓ Развивать эмоции учащихся, создавая эмоциональные ситуации удивления,
сопереживания;
✓ Развивать познавательный интерес, создавая игровые ситуации.
Оборудование: интерактивная доска, рабочий листок для каждого ученика, тесты,
перфокарты, подготовленные страницы флипчарта, лото
Каждый из учащихся до урока получает рабочий листок (Приложение 5), на
котором записаны этапы урока. Это может позволить учащимся работать в
удобном им ритме. Именно в нём учащийся выполняет задания, и после урока
лист сдаётся. Часть заданий можно проверить с помощью компьютера или
интерактивной доски на уроке. Учащиеся могут выполнять задания в любой
удобной для них последовательности. Выбор заданий самостоятельной работы
(лото) также произволен, по договорённости с членами группы, которая может
формироваться произвольно. Варианты самостоятельной работы можно составить
различными по степени трудности для учёта индивидуальных особенностей
учащихся. На уроке предусмотрена работа в парах и группах. Объём выполненной
работы на уроке и степень самостоятельности оценивается учителем по рабочему
листу ученика.
Необходимые для выполнения на уроке задания разнообразны по форме
подачи условия (текст, лото, тест, игровые моменты), позволяют развивать
творческую и мыслительную деятельность учащихся сформировать:
• Умение применить знания на практике
• Умения чётко и ясно излагать свои мысли
I. Организационный момент.
Сегодня мы заканчиваем изучение темы «Интеграл». Мы познакомились с
понятием интеграл, узнали о его применении для вычисления площадей фигур.
На сегодняшнем уроке мы ещё раз пролистаем страницы применения этого
математического понятия.
II. Актуализация знаний
У доски работают индивидуально 2 учащихся по карточкам, содержащим задания
разной степени трудности, с последующей самопроверкой, и 1 учащийся решает
на месте на планшете (с его решением после выполнения знакомится класс).
Карточка №1 Найти пары чисел а и в, при которых функция f(x) удовлетворяет
условиям f(x)= ах
2
–в,
2
1
)( dxxf
= 6, f´(3) = 48
Решение:
f´(x)=2ах; 6а = 48 а = 8,
2
1
)( dxxf
=
2
1
2
)( dxвах
=
2
1
3
)
3
(
вх
ах
=
ва 3
ва 3
=6, в=18
Карточка №2 Вычислить интеграл, используя его геометрический смысл.
дххх
2
0
2
2
Решение: у=
2
2 хх
, у≥0
у
2
=2х – х
2
, (х-1)
2
+ у
2
=1 Это уравнение окружности с центром (1;0) и
радиусом R=1. Площадь круга данного радиуса S
кр
= π R
2
= π. Учитывая, что у≥0
дххх
2
0
2
2
=
2
кр
S
=
Карточка №3 (учащийся выполняет задание на планшете для последующей
демонстрации решения на доске или демонстрируется заранее подготовленный
учителем слайд1, содержащий решение)
При каком значении а (½< а <18) S
1
≤ S
2
? < Рисунок1 >
Решение:
S
1
=
2lnln
1
2
1
adx
х
а
S
2=
adx
х
a
ln18ln
1
18
По условию S
1
≤ S
2 ,
значит lna+ln2 ≤ ln18-lna
,
2 lna ≤ 9; а
2
≤ 9; -3≤ а≤ 3 .Учитывая
условие ½< а <18, получаем
½< а <3.
1. Как вы считаете, что нужно знать, чтобы вычислить площади фигур?
2. Дайте определение первообразной функции, неопределенного интеграла.
1 ряд работает устно по перфокартам (приложение 1) [7]
2 и 3 ряд выполняют тестовые задания «Закодируй ответ» (приложение 2).
Запиши номера правильных ответов своем рабочем листке. После этого с
помощью пультов голосования осуществляется проверка заданий. (ответы: 1
вариант 11223 2 вариант 21233)
Дайте определение определенного интеграла. Запишите формулу, по которой он
вычисляется? Чье имя носит эта формула? (Можно сообщить заранее
подготовленную историческую справку о И. Ньютоне и Г. Лейбнице. Приложение
3) [4]
Предложите способ вычисления указанных интегралов (устно) /заранее
оформленная страница1 флипчарта/
1.
dхх
3
2
3
)2(
(ответ: ¼)
2.
dx
х
х
2
2
1
)
1
(
(ответ
6
5
4
)
3.
dx
x
x
1
0
1
(ответ: 1-ln2)
4.
dx
х
х
3
1
1
(ответ: 2+ln3)
<Рисунок 2> можно расположить за «шторкой» на интерактивной доске
После обсуждения методов решения, «шторку» открыть.
Вычислите интегралы, работая парами. Выбирая соответствующую ответу
букву, вы прочтете фамилию французского математика, который дал определение
интеграла как предела интегральных сумм. (ответ: Огюстен Луи Коши. 1789-
1857)
Дайте определение криволинейной трапеции. Среди фигур, изображенных на
рисунке, выбрать криволинейную трапецию (страница 2 флипчарта ). /Ответ:1,3,5/
1) <рисунок 3> 2) <рисунок 4>
3) <рисунок 5> 4) <рисунок 6>
6) <рисунок 8>
5) <рисунок 7>
Вспомните, как вычисляется площадь криволинейной трапеции. Запишите
формулу для площади. Как можно вычислить площади фигур в случаях 2,4,6?
Работа в группах (по 4 человека) Задание: вычислить площади криволинейных
трапеций. (приложение 4 «ЛОТО»).
Справившиеся с заданиями учащиеся могут приступить к выполнению заданий IV
и V в рабочем листе урока.
Задание IV. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=|-
х
2
-4х -3|, осью ОХ.
Решение: -х
2
-4х -3 ≥0, координаты вершины х
0
= -2
у
0
=1
Площадь заштрихованной фигуры <Рисунок 9 >
S=
1
3
2
)34( dxхх
= -(
1
3
2
3
)32
3
хх
х
=1
3
1
Задание V. При каком значении а числа S
1,
S
2
, S
3
образуют три
последовательных числа арифметической прогрессии. Найти разность этой
прогрессии. <рисунок 10>
Решение: S
1
=2 -
а
1
S
2
=
а
1
-
а2
1
S
3
=
а2
1
-
3
1
Согласно свойству арифметической прогрессии 2 S
2
= S
1
+ S
3,
т.е.
2(
а
1
-
а2
1
)= 2 -
а
1
+
а2
1
-
3
1
;
а2
3
=
3
5
; а=
10
9
S
1
=
9
8
; S
2
=
9
5
Разность прогрессии d= S
2
- S
1
=-
3
1
В это время выполняют индивидуальные задания 2 учащихся.
Задание 1 уч-ся. Найти такие значения а и в, что S
1
: S
2
:
S
3
=1:2:3, зная что у=
f(x), где f(x)=
х
1
. <рисунок 11>
Решение: S=
dx
х
9
1
1
=ln9
S
1
=
6
1
S; ln a=
6
1
ln9; а =
3
3
S
3
=
2
1
S; ln9 – lnв =
2
1
ln9; в =3
Задание 2 уч-ся (выполняется на планшете с последующей
проверкой)
Решить уравнение:
х
сostdt
0
= cos (
-2х)
Решение: sin x=sin 2x
sin x (2cos x- 1) =0
sin x =0 или cos x =
2
1
х= πn , n €Z x = ±
к
2
3
k€Z
Информация о домашнем задании
№794,доп.792,796(1), повт §15 [1]
Подведение итогов урока
Выяснить наличие вопросов, которые появились при решении рассмотренных на
уроке задач, а также учитель просит ребят оценить свою работу на уроке, на
сколько она была плодотворной, что было на уроке удачным, а что нет.
Литература:
1. Учебник «Алгебра и начала анализа» 11 класс Ю.М. Колягин и др.2 изд, М.
Мнемозина,2002 г
2. Задачник «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс А.Г. Мордкович и др. 5-е
изд.,М, Мнемозина, 2004г стр 166
3. «Устные упражнения по алгебре и началам анализа» Р.Д. Лукин, Т.К.
Лукина, М.С. Якунина. М., Просвещение, 1989 г стр 64
4. «О математике и математиках» Смышляев В.К., Йошкар-Ола, Марийское
кн.изд-во,1977г, стр 70,76
5. «Дидактические игры на уроках математики» В.Г. Коваленко, М,
«Просвещение»,1990 г стр. 52
6. «Задания по алгебре и началам анализа» Е.А. Семенко и др М.,Просвещение
1997 г стр 85
7. Журнал «Математика в школе» №5 1995г ст. Л. Борткевич «Повышение
вычислительной культуры учащихся» стр.19
8. Компакт-диск Мультимедийный курс «Алгебра» серии «Открытая
математика» ООО "ФИЗИКОН"
Приложение1
dxx
5
dxx
6
7
dxx
2
x
dx
6
5
x
dx
dx5
dx
dx
7
1
dx
xdx
xdx7
dx
x
5
exdx
dxx
4
dxx
3
dxx
2
dx
x
3
5
dx
x
2
2
dxx
8
3
dxx
3
2
dxx
4
3
dxx4
3
x
dx
4
x
dx
5
x
dx
4
3
x
dx
7
6
x
dx
5
4
x
dx
xdxsin
dxe
x
xdxcos
x
dx
Приложение 2
Вариант 1
1. Вычисли интеграл:
1
0
xdx
1.
2
1
2. 1 3. 0
2. Запишите площадь заштрихованной фигуры как сумму или разность площадей
криволинейных трапеций
1. S=S
AOB
+ S
OBC
2. S=S
ABC
- S
ABO
3. S=S
AOC
- S
BOC
3.Запишите в виде определенного интеграла
площадь фигуры, ограниченной линиями
y=x
2
+1, x=1, x=2, y=0
1.
2
1
xdx
2.
dxx
2
1
2
)1(
3.
dxx
2
0
2
+ 1
4.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x, y=0, x=3
1. 3 2. 4,5 3. 1
5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x, y=0, x=a, x=b,
a>0, b>a
1. 2(a-b) 2. 2 3. b
2
-a
2
Вариант 2
2. Вычисли интеграл:
dx
х
2
0
2
1.
2
1
2. 1 3. 0
2. Запишите площадь заштрихованной фигуры как
сумму или разность площадей криволинейных
трапеций
1. S=S
ABСД
- S
АВтСД
А
В
С
у
В
у
О
2. S=S
ABтC Д
+ S
BтС
3. S=S
AВтCД
- S
BтC
3.Запишите в виде определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной
линиями
y=sin x, x=0, x=
, y=0
1.
0
sin xdx
2.
2
0
sin
xdx
3.
1
0
sin xdx
4.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x, y=0, x=2
1. 2 2. 4,5 3. 4
5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=3x
2
, y=0, x=a, x=b,
a>0, b>a
1.3(a-b) 2. 6x 3. b
3
-a
3
А
Д
С
m
Приложение 4(Лото)
1. 2.
3. 4.
У=
2
1
х
5. 6.
7. 8.
2
2
У=2(х-1)
2
+2
У=(х-2)
2
-1
У=2х-2
2
2
-2
У=- 4/х
У=|х|
ху 3
у=соs2х
2
2
2
-2
2
Ответы к заданию Лото
1) 1 2) 1
3
1
3) 2
3
2
4)
2
1
1
5)4,5 6) 4ln2 7)6
3
-2 8 ) 0,5
1
1
3
1
2
3
2
2
1
1
4,5
4ln2
6
3
-2
0,5
Правила игры «Лото». Учитель готовит 5-6 больших карт, разделенных на
прямоугольники с записанными на них ответами, и соответственное количество
карточек с примерами. Большие карты раздаются группам играющих. Дается
время, в течение которого ребята, разделив по своему усмотрению карточки,
выполняют задания (можно всей группе решать одно и то же задание, затем
сверять). Найдя на большой карте ответ, который считает правильным группа,
накрывают им задание. Выигрывает та группа, которая раньше всех накрыла все
клетки своих карт. Чтобы проверить правильность решения, учитель
переворачивает карточки и тогда, если все ответы верны, должна получиться
картинка, которую предварительно рисуют на всех маленьких карточках (сначала
рисуют картинку, потом пишут задания, а затем их разрезают).
2
2
Огюстен Луи __ __ __ __
(1789-1857)
I. «Закодируй ответ»
II. Определите фамилию
французского математика,
который дал определение
определенного интеграла
как предела интегральных
сумм.
«Да, много решено загадок
от прадеда и до отца,
и нам с тобой продолжить надо
тропу, которой нет конца»
(В. Ноздрёв, профессор)
III. «Лото» Вычисли площадь
криволинейных трапеций.
IV.Вычислите площадь фигуры,
ограниченной графиком функции
у=|-х
2
- 4х-3| и осью ОХ.
V. При каком значении а
числа S
1,
S
2,
S
3
образуют
три последовательных
члена арифметической
прогрессии. Найти разность
этой прогрессии.
Домашнее задание
№794, доп.№792, 796(1)
S
1
S
2
S
3
1/2
а
2а
3
повторить §15
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: