Презентация "Площади многоугольников на клетчатой бумаге" 5 класс

ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ

Геометрия является самым могущественным средством

для изощрения наших умственных способностей

и даёт нам возможность

правильно мыслить и рассуждать.

/Г. Галилей/

Проблема: Существует ли универсальный способ нахождения площади произвольного многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге? Проблема: Существует ли универсальный способ нахождения площади произвольного многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге? Цель работы: 1. Изучить способы нахождения площадей на клетчатой бумаге. 2. Найти самый эффективный способ решения задач. Задачи: 1. Изучить литературу по данной теме. 2. Рассмотреть разные способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. 3. Провести эксперимент. 4. Сделать выводы. . Объект исследования: фигуры на клетчатой бумаге. Объект исследования: фигуры на клетчатой бумаге. Предмет исследования: площадь фигур. Методы исследования: 1) теоретический: изучение литературы и других источников информации; 2) эмпирический: тестирование, анкетирование; 3) математический: вычисления, построение диаграмм. Способы нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге 1. Площадь многоугольника можно находить, разбивая его на квадраты, прямоугольники, треугольники. 2. Многоугольник путем разрезания и перекладывания можно преобразовать в другой многоугольник с такой же площадью. 3. Площадь целого многоугольника равна сумме площадей его частей. 4. Формула Пика. Нахождение площади фигуры, используя формулы геометрии Задача . На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите его площадь. Каждый прямоугольный треугольник можно дополнить до прямоугольника, площадь большего прямоугольника состоит из 9 клеток, а меньшего из 3 клеток, площадь целого прямоугольника равна 12 (9 + 3 = 12). Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника в 2 раза меньше площади прямоугольника, следовательно, площадь треугольника равна 6 (12: 2 = 6). Нахождение площади фигуры, используя формулы геометрии

Площадь многоугольника как сумма площадей её частей

6 + 12 = 18

1 + 2 + 3 + 5 + 7 = 18

Площадь фигуры как часть площади прямоугольника

Задача . Найдите площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь фигуры как часть площади прямоугольника

Георг Алекса́ндр Пик ( 10 августа 1859 —13 июля 1942) — австрийский математик

В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет.

В 20 лет получил право преподавать физику и математику.

16 апреля 1880 года Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов».

В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника.

В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Формула Пика S = В + Г : 2 − 1, где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника. Задача. Найдите площадь пятиугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Задача. Найдите площадь пятиугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Формула Пика

Формула Пика

Самый эффективный способ нахождения площадей на клетчатой бумаге – решение задач по формуле Пика.

Гипотеза

Самый эффективный способ нахождения площадей на клетчатой бумаге – решение задач по формуле Пика. Эксперимент Заключение Проведенный эксперимент показал, что: 1) ранее семь человек были знакомы с формулой Пика, но не применяли её на практике; 2) при решении задач знакомыми способами 47% учеников допустили ошибки; 3) при решении задач, используя формулу Пика, ошибки допустили 26 %, повысив процент выполнения заданий на 21 ; 4) среднее время, затраченное на выполнение заданий, сократилось в 1,6 раза.

Эксперимент

Эксперимент

Выводы: Выводы:

• В результате работы над данной темой мы выполнили цели и задачи, которые поставили перед собой. Установили, что все рассмотренные способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге интересны, но самым эффективным оказался способ решения по формуле Пика! Наша гипотеза подтвердилась.
• Задания, представленные в нашей работе, взяты из «Открытого банка заданий по математике» для подготовки к ЕГЭ. Таким образом, подтвердилась актуальность нашей работы, она будет полезна при подготовке к выпускным экзаменам по математике и при нахождении площадей многоугольников.

Список литературы и источников 1. Википедия. Формула Пика. – [Электронный ресурс] – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki 2. Геометрия и искусство. [Цитаты]. – [Электронный ресурс] – URL http://geometry-and-art.ru/tsitat.html 3. ЕГЭ по Математике (профильный) – [Электронный ресурс] – URL: https://reshimvse.com/mathege/ 4. Незнайка — ЕГЭ, ОГЭ, ВПР 2019 – [Электронный ресурс] – URL: https://neznaika.info/q 5. Открытый банк заданий ЕГЭ 2019 по математике. – [Электронный ресурс] – URL: http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege 6. Смирнов В.А., Смирнова И.М., Ященко И.В. Наглядная геометрия. - М., МЦНМО, 2013. 7. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010. 8. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.

Спасибо за внимание!