График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины

Скачать материал

Подписи к слайдам:

График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины.

Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями
своей мысли, а не памятью.
Л. Н. Толстой.
Выполнила: Асламурзаева Белла,
ученица 9 «А» класса,
СОШ №46 им. И .Дзусова
Руководитель: Дряева М.Г.
Преподаватель математики СОШ №46 им. И .Дзусова

Содержание:

1.Введение
2.Основные определения и свойства.
3.Построение графика квадратичной функции,
содержащей переменную под знаком модуля.
4.Выводы.
5. Используемая литература.

Цель работы – рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.

Цель работы – рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.
Объект исследования: график квадратичной функции.
Предмет исследования: изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
Задачи: 1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции. 2) Исследовать изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
Практическая значимость моей работы заключается: 1) в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям; 2) в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности.

Основные определения и свойства

Функция, определяемая формулой у=ах²+вх+с, где х и у переменные, а параметры а, в и с – любые действительные числа, причём а≠0, называется квадратичной.
Абсолютной величиной неотрицательного числа называется само это число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.
Свойства:
1.|a| ≥0,
2. |a|²= a²,
3.|a∙b|=|a|∙|b|,
4. |a/b|=|a|/|b|, b≠0

Построение графика линейной функции, содержащей переменную под знаком модуля.

1)f(x)= |x-1|.
x = 1- корень
подмодульного
выражения.
Возьмем x=0, (0<1) и
х=2, (2>1).
Вычисляя функции в
точках 1,0 и 2,получаем
график, состоящий из
двух отрезков.

2) f(x)= |x-1|+|x-2|.

2) f(x)= |x-1|+|x-2|.
Вычисляя значение
функции в точках
1, 2, 0 и 3,
получаем график,
состоящий из трех
отрезков прямых.

Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля

На примере функции у = x ²-6х +5 рассмотрим
всевозможные случаи расположения модуля.

у = |x 2 – 6х +5|
у = | х | 2 – 6х +5
у = х² – 6|х| +5
у = |х|² - 6|х|+5
у = |х² – 6х| +5
у = |х² – 6|х| +5|
у = x 2 -|6х + 5|
|y|= x 2 – 6х +5

Построим график функции у = |x 2 – 6х +5|

Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:

Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:

Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:

Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:

. Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.

. Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.

. Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.

. Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.

. Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.

. Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.

Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.

x ²– 6х +5≥ 0, тогда у= x² –
6х +5.Выделим все точки
параболы с неотрицательной ординатой.
2) x² – 6х +5<0, тогда у= -(x ²– 6х +5) или -x² + 6х -5>0, y= -x² + 6х -5.

Рассмотрим график функции у = |х|²– 6х +5

Т.к. |x|²= x² , то функция у = |х|² – 6х +5
совпадает с функцией
у = x ²-6х +5 ,а , значит,
имеют один и тот же график.

Рассмотрим график функции у = х² – 6|х| +5

Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:

1)Пусть x≥0, тогда y= х² - 6х +5.
Построим параболу у = х² - 6х +5 и
обведём ту её часть, которая
соответствует неотрицательным
значениям х, т.е. часть, расположенную
правее оси Оу.

2)Пусть x<0, тогда y= x² + 6х +5.
В той же координатной плоскости построим параболу
у = х² +6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует
отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную
левее оси Оу. Обведённые части парабол вместе образуют График функции у = х² - 6|х| +5

Рассмотрим график функции у = |х|² - 6|х|+5.

Т.к. |x|²= x² , то функция у = |х|² – 6|х| +5
совпадает с функцией у = x ²-6|х| +5
(см пред. пример)

Построим график функции у = |х2 – 6х| +5

1)у = х² - 6х

2)у = |х² - 6х|

3)у = |х² - 6х| +5

Построим график функции у = |х2 – 6|х| +5|.

1) у =х²- 6|х| +5 (рассмотрено в 10 слайде)

2)у = |х² – 6|х| +5|

Построим график функции у = x 2 -|6х + 5|.

1)Найдем нули функции: у =6х + 5 , 6х + 5=0, x= - ⅚.
2) Рассмотрим два случая:

1)6х+5≥0, т.е. х ≥ -⅚, , тогда функция примет вид у =x² - 6х -5.
2) 6х+5<0, т.е. х < -⅚, тогда функция принимает вид у =x² + 6х +5.

3)Построили график функции у = x 2 -|6х + 5|.

Равенство |y|= x 2 – 6х +5 не задает функции т. к. при

Равенство |y|= x 2 – 6х +5 не задает функции т. к. при
x 2 – 6х +5 >0 имеем 2 значения y, соответствующих данному значению
x, а при x 2 – 6х +5 <0, ни одного такого значения. График данного
уравнения строится так:
Отбрасываем ту часть графика , которая лежит ниже оси
Ох, а оставшуюся часть симметрично отображаем
относительно оси Ох.

1)При x²– 6х +5 >0, y= x² – 6х +5
2)при x² – 6х +5 <0, y= -(x² – 6х +5)
3) Построили график функции
|y|= x² – 6х +5

Выводы:
1)Для построения графика функции y = |f(x)| , надо сохранить ту часть графика функции y = f(x), точки которой находятся на оси Ох или выше оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох ту часть графика функции y = f(x), которая расположена ниже оси Ох.
2) Для построения графика y = f(|x|) надо сохранить ту часть графика функции y = f(|x|), точки которой на оси Оу или справа от неё и симметрично отразить эту часть графика относительно оси Оу.
3) Чтобы построить график уравнения |y|= f(x) нужно:
Отбросить ту часть графика , которая лежит ниже оси
Ох, а оставшуюся часть симметрично отобразить
относительно оси Ох