График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины

Подписи к слайдам:
График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины.
  • Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями
  • своей мысли, а не памятью.  
  • Л. Н. Толстой.
  • Выполнила: Асламурзаева Белла,
  • ученица 9 «А» класса,
  • СОШ №46 им. И .Дзусова
  • Руководитель: Дряева М.Г.
  • Преподаватель математики СОШ №46 им. И .Дзусова
Содержание:
  • 1.Введение
  • 2.Основные определения и свойства.
  • 3.Построение графика квадратичной функции,
  • содержащей переменную под знаком модуля.
  • 4.Выводы.
  • 5. Используемая литература.
Цель работы – рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.
  • Цель работы – рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.
  • Объект исследования: график квадратичной функции.
  • Предмет исследования: изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
  • Задачи:  1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции. 2) Исследовать изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
  • Практическая значимость моей работы заключается: 1) в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям;   2) в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности. 
Основные определения и свойства
  • Функция, определяемая формулой у=ах²+вх+с, где х и у переменные, а параметры а, в и с – любые действительные числа, причём а≠0, называется квадратичной. 
  • Абсолютной величиной неотрицательного числа называется само это число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.
  • Свойства:
  • 1.|a| ≥0,
  • 2. |a|²= a²,
  • 3.|a∙b|=|a|∙|b|,
  • 4. |a/b|=|a|/|b|, b≠0
Построение графика линейной функции, содержащей   переменную под знаком модуля.
  • 1)f(x)= |x-1|.
  • x = 1- корень
  • подмодульного
  • выражения.
  • Возьмем x=0, (0<1) и
  • х=2, (2>1).
  • Вычисляя функции в
  • точках 1,0 и 2,получаем
  • график, состоящий из
  • двух отрезков.
2) f(x)= |x-1|+|x-2|.
  • 2) f(x)= |x-1|+|x-2|.
  • Вычисляя значение
  • функции в точках
  • 1, 2, 0 и 3,
  • получаем график,
  • состоящий из трех
  • отрезков прямых.
Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля
  • На примере функции у = x ²-6х +5 рассмотрим
  • всевозможные случаи расположения модуля.
  •  
  • у = |x 2 – 6х +5|
  • у = | х | 2 – 6х +5
  • у = х² – 6|х| +5
  • у = |х|² - 6|х|+5
  • у = |х² – 6х| +5
  • у = |х² – 6|х| +5|
  • у = x 2 -|6х + 5|
  • |y|= x 2 – 6х +5
  • Построим график функции у = |x 2 – 6х +5| 
  • Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:
  • Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:
  • Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:
  • Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:
  • . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.
  • . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.
  • . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.
  • . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.
  • . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.
  • . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.
  • Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.
  • x ²– 6х +5≥ 0, тогда у=
  • 6х +5.Выделим все точки
  • параболы с неотрицательной ординатой.
  • 2) x² – 6х +5<0, тогда у= -(x ²– 6х +5) или -x² + 6х -5>0, y= -x² + 6х -5.
Рассмотрим график функции у = |х|²– 6х +5
  • Т.к. |x|²= x² , то функция у = |х|² – 6х +5
  • совпадает с функцией
  • у = x ²-6х +5 ,а , значит,
  • имеют один и тот же график.
Рассмотрим график функции у = х² – 6|х| +5 
  • Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:
  • 1)Пусть x≥0, тогда y= х² - 6х +5.
  • Построим параболу у = х² - 6х +5 и
  • обведём ту её часть, которая
  • соответствует неотрицательным
  • значениям х, т.е. часть, расположенную
  • правее оси Оу.
  • 2)Пусть x<0, тогда y= x² + 6х +5.
  • В той же координатной плоскости построим параболу
  • у = х² +6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует
  • отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную
  • левее оси Оу. Обведённые части парабол вместе образуют График функции у = х² - 6|х| +5
Рассмотрим график функции у = |х|² - 6|х|+5. 
  • Т.к. |x|²= x² , то функция у = |х|² – 6|х| +5
  • совпадает с функцией у = x ²-6|х| +5
  • (см пред. пример)
Построим график функции у = |х2 – 6х| +5
  • 1)у = х² - 6х
  • 2)у = |х² - 6х|
  • 3)у = |х² - 6х| +5
Построим график функции у = |х2 – 6|х| +5|. 
  • 1) у =х²- 6|х| +5 (рассмотрено в 10 слайде)
  • 2)у = |х² – 6|х| +5|
Построим график функции у = x 2 -|6х + 5|.
  • 1)Найдем нули функции: у =6х + 5 , 6х + 5=0, x= - ⅚.
  • 2) Рассмотрим два случая:
  • 1)6х+5≥0, т.е. х ≥ -⅚, , тогда функция примет вид у =x² - 6х -5.
  • 2) 6х+5<0, т.е. х < -⅚, тогда функция принимает вид у =x² + 6х +5.
  • 3)Построили график функции у = x 2 -|6х + 5|.
Равенство |y|= x 2 – 6х +5 не задает функции т. к. при
  • Равенство |y|= x 2 – 6х +5 не задает функции т. к. при
  • x 2 – 6х +5 >0 имеем 2 значения y, соответствующих данному значению
  • x, а при x 2 – 6х +5 <0, ни одного такого значения. График данного
  • уравнения строится так:
  • Отбрасываем ту часть графика , которая лежит ниже оси
  • Ох, а оставшуюся часть симметрично отображаем
  • относительно оси Ох.
  • 1)При x²– 6х +5 >0, y= x² – 6х +5
  • 2)при x² – 6х +5 <0, y= -(x² – 6х +5)
  • 3) Построили график функции
  • |y|= x² – 6х +5
  • Выводы:
  • 1)Для построения графика функции y = |f(x)| , надо сохранить ту часть графика функции y = f(x), точки которой находятся на оси Ох или выше оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох ту часть графика функции y = f(x), которая расположена ниже оси Ох.
  • 2) Для построения графика y = f(|x|) надо сохранить ту часть графика функции y = f(|x|), точки которой на оси Оу или справа от неё и симметрично отразить эту часть графика относительно оси Оу.
  • 3) Чтобы построить график уравнения |y|= f(x) нужно:
  • Отбросить ту часть графика , которая лежит ниже оси
  • Ох, а оставшуюся часть симметрично отобразить
  • относительно оси Ох
1. y=(|x|-1)4 , где -3 ≤ x≤3 2. x=0, где 0 ≤ у≤8
  • 1.
-2|x|²+8, где -2≤x≤2 y=4, где -2≤x≤2
  • 1)y=2|x|²
  • 2) y= -2|x|²
  • 3) y= -2|x|²+8
  • -2≤x≤2
  • 4)y=4, где
  • -1,4≤x≤1,4
  • 2.
y=-(|x|-1)4 +8 , где -3 ≤ x≤0
  • 1)y=(|x|-1)4 , где -3 ≤ x≤0
  • 2) y=-(|x|-1)4 , где -3 ≤ x≤0
  • 3) y=-(|x|-1)4 +8 , где -3 ≤ x≤0
  • 3.
y= x²+(|y-4|-2) ²=4,где0≤y≤8, x=0
  • x²+y²=4
  • 1) y=± ², 0≤x≤2
  • 2)y=± ²+6
  • 3)y= ± ²+2
  • 4)x=0, 0≤y≤8
  • 4.
5.
  • y=-(x-1.5)6 +4, 0,4≤x ≤ 2,6
  • y=(x-1.5)6 ,
  • 0,35 ≤ x≤2,64
  • x=0,35, 2 ≤ y ≤ 8
  • y=8, 0,35 ≤ x≤2,5
1.y= x4+4, -2 ≤ x≤2 2. y=x6 ,-1 ≤ x≤2
  • 6.
  • 1) y=-2|x|2+8
  • 2) y=0, -3 ≤ x≤3
  • 3) y=-x2+9, -3,2 ≤ x≤-3
  • 4) ) y=-x2+9, 3 ≤ x≤3,2
  • 7.
1.y= x4+4, -2 ≤ x≤2 2. y=x6 ,-1 ≤ x≤2
  • 8.
9.
  • 1) y=(|x|-1)4 ,-3≤x≤3
  • 2)x=0, 0≤y≤8
  • 3)y= x2+ 2,5x, 2≤х≤2,5
10.
  • 1)y= - (x-5)6 +8, 0,4≤y≤2,6
  • 2)y= (x-5)6 +4,4 , 0,4≤y≤2,6
  • 3)y=(x-1,7)6 ,0,35≤x≤2,5
11.
  • 1)y= - (x-5)6 +8, 0,4≤y≤2,6
  • 2)y= (x-5)6 +4,4 , 0,4≤y≤2,6
  • 3)y=(x-1,7)6 ,0,35≤x≤2,5