Презентация "Прототип В14. Исследование сложной функции, содержащей показательную, логарифмическую функции и функцию квадратный корень" 11 класс

Прототипы В 14 Исследование сложной функции, содержащей показательную, логарифмическую функции и функцию квадратный корень. МБОУ г. Мурманска гимназия № 3 Шахова Татьяна Александровна Первый способ (традиционный) предполагает использование алгоритмов и знание формул.

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на промежутке :

• Найти производную функции.
• Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение.
• Найти значение функции на краях числового промежутка и в нулях производной, входящих в данный числовой промежуток.
• Выбрать среди полученных значений функции значение, соответствующее вопросу задачи (наибольшее или наименьшее)

Важно: промежуток может быть не указан, но очевиден: область определения.

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции без указания числового промежутка:

• Найти производную функции.
• Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение.
• Провести исследование на эстремумы на области определения функции. Если эстремум один, то именно в нем достигается наибольшее (наименьшее) значение функции.
• Найти соответствующее значение функции, подстановкой.

Алгоритм нахождения точек экстремума.

• Найти производную функции.
• Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение.
• На числовой прямой отметить нули производной и точки, в которых производная не определена.
• Соотнести поведение производной с поведением функции и ответить на вопрос.

т. max

Например:

-3

Ответ:

Формулы:

Дифференцирование показательной функции:

Дифференцирование логарифмической функции:

Дифференцирование сложной функции:

245180 Найдите наибольшее значение функции .

Решение:

Промежуток не указан. Очевидно, что необходимо исследовать функцию на всей области определения.

Ответ:

4

Конечно, страшновато, но

уже ясно, что краев у

числового промежутка нет,

а, следовательно в них не будет достигаться наибольшее или наименьшее значение.

т. max

Убедимся, что это наибольшее значение:

Точка максимума одна, следовательно в ней и будет

наибольшее значение.

245184 Найдите наибольшее значение функции .

Решение:

Ответ:

9

Промежуток не указан. Очевидно, что необходимо исследовать функцию на всей области определения.

Разделим на первый и второй множители,

не равные нулю:

Убедимся, что это наибольшее значение:

т. max

Точка максимума одна, следовательно в ней и будет

наибольшее значение.

Не очень просто. Не очень просто. Тем более, что некоторые программы не предусматривают использование формул дифференцирования показательной и логарифмической функции в общем виде. Попробуем иначе. Без использования алгоритма и формул. В случае, если мы имеем дело со сложной функцией f(g(x)), где f – монотонная функция, то достаточно исследовать функцию g(x). Наибольшие, наименьшие значения, точки экстремума функция f будет иметь такие же, что и функция g(x). Конечно, с учетом области определения. В случае, если мы имеем дело со сложной функцией f(g(x)), где f – монотонная функция, то достаточно исследовать функцию g(x). Наибольшие, наименьшие значения, точки экстремума функция f будет иметь такие же, что и функция g(x). Конечно, с учетом области определения. 245184 Найдите наибольшее значение функции .

Функция возрастает на R, следовательно наибольшее значение принимает при наибольшем значении аргумента (аргументом в данном случае является функция, находящаяся в показателе).

Решение:

Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся в показателе.

Следовательно

т. max

Следовательно

Ответ:

9

Можно и совсем обойтись без производной. Можно и совсем обойтись без производной. Используем простые графические соображения. 245183 Найдите наименьшее значение функции

Функция возрастает на R, следовательно наименьшее значение принимает при наименьшем значении аргумента (функции, находящейся в показателе).

Решение:

Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся в показателе.

Следовательно

Ответ:

1

6

График – парабола, ветви направлены

вверх.

245180 Найдите наибольшее значение функции .

Функция возрастает на всей области определения , следовательно наибольшее значение принимает при наибольшем значении значении аргумента (функции, находящейся под знаком логарифма).

Решение:

Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся под знаком логарифма.

Следовательно

Ответ:

График – парабола, ветви направлены

вниз.

4

Решим таким же способом задания, связанные с исследованием сложной функции, содержащей квадратичную функцию под знаком квадратного корня. Решим таким же способом задания, связанные с исследованием сложной функции, содержащей квадратичную функцию под знаком квадратного корня. 245174 Найдите точку минимума функции .

Функция возрастает на всей области определения, следовательно ведет себя так же, как подкоренная функция на области определения.

Решение:

Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня.

Ответ:

График – парабола, ветви направлены

вверх.

3

Подкоренное выражение больше нуля при любом значении х. D(y):R.

245174 Найдите наибольшее значение функции .

Функция возрастает на всей области определения, следовательно принимает наибольшее значение в той же точке, что и подкоренная функция с учетом области определения.

Решение:

Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня.

Ответ:

График – парабола, ветви направлены

вниз.

3

D(y):[-5;1].

Следовательно

Реши самостоятельно любым способом:

• Найдите точку минимума функции .
• Найдите точку максимума функции .
• Найдите наименьшее значение функции
• Найдите наименьшее значение функции .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ