Площадь трапеции ABCD равна 72

Площадь трапеции ABCD равна 72, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с

вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно.

Найдите площадь четырёхугольника OMPN.

Решение.

Пусть h — высота трапеции, а основания равны a и

2a. Тогда

Откуда ah = 48.

Первый случай. Пусть AD = 2a, BC = a. Четырёхугольники ABCP и BCDP —

параллелограммы, поэтому M и N — середины BP и CP соответственно, значит, CM и BN

— медианы треугольника BPC. Следовательно, а

Значит,

Второй случай. Пусть теперь BC = 2a, AD = a. Пусть AM = 3t. Треугольник AOD подобен

треугольнику COB с коэффициентом подобия 2, а треугольник AMP — треугольнику CMB

с коэффициентом Тогда

Аналогично, Высота треугольника AOD, проведённая из вершины O, равна

значит:

Следовательно,

О т в е т : 8 или 3,2.