Ученики на Учителя.com


Задание "Площадь криволинейной трапеции" 11 класс

Задания по теме «Площадь криволинейной трапеции»
Учитель математики
высшей квалификационной категории
МОУ Левобережной СОШ г.Тутаева
Борисова Елена Леонидовна
Пример 1
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .
Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении
чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки
пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой
. Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический.
Решаем уравнение:
Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования
.
Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы
интегрирования выясняются как бы «сами собой». Возвращаемся к нашей
задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу.
Выполним чертеж:
А теперь рабочая формула: Если на отрезке некоторая непрерывная
функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то
площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми ,
, можно найти по формуле:
В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола
располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть
Завершение решения может выглядеть так:
Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой
снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:
Ответ:
Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , ,
.
Решение: Сначала выполним чертеж:
Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом
(внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике
по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь
фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!
Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с
помощью двух определенных интегралов. Действительно:
1) На отрезке над осью расположен график прямой ;
2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .
Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:
Ответ:
Пример 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями: у = 4х – х
2
, у = 5, х = 3.
Решение:
х
0
= 2, у
0
= 4
S
ф
= S
ОАВД
– S
ОСД
S
прям.
=
S
ОСД
= F(3) – F(0), где F(x) первообразная для
функции f(х) = 4х – х
2
F(х)= ; S
ОСД
=
S
ф
= 15 – 9 = 6.
Ответ: 6.
Пример 4
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,
Решение:
Представим уравнения в «школьном» виде , и выполним
поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: .
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое?
Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной
точностью, вполне может оказаться что . Или корень. А если мы вообще
неправильно построили график?
В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять
пределы интегрирования аналитически.
Найдем точки пересечения прямой и параболы .
Для этого решаем уравнение:
,
Действительно, .
Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и
знаках, вычисления здесь не самые простые.
На отрезке , по соответствующей формуле:
Ответ:
Пример 5
Вычислить S фигуры, ограниченной линиями у = (х + 2)
2
, х = 0, у = 0.
Решение:
АОВ – криволинейный треугольник или криволинейная трапеция. (рис 10.)
Ответ:
Пример 6
Найти S фигуры, ограниченной параболой у = х
2
+ 1 и прямой у = х + 3.
Решение:
Построим в одной системе координат графики данных функций.
1) у = х
2
+ 1, х
0
= 0, у
0
= 0.
х
-3
-2
-1
0
1
2
3
у
10
5
2
1
2
5
10
2) у = х + 3
3) х
2
+ 1 = х + 3
х
1
= 1, х
2
=2.
S
ф
= S
1АВСД
– S
2АВmСД
S
тр.АВСД
=
S
АВmСД
= F(2) – F(-1), F(x) = , S = 6
S
ф
= S
1
– S
2
= 4,5.
II способ.
S
АВСД
= F(2) – F(-1), F(x) = .
Ответ: S
ф
= 4,5.
Пример 7:
Найдите 3 четверти площади фигуры,
ограниченной параболой, заданной уравнением
у = – х
2
+4х-3 и осью абсцисс.
Решение:
1) х
В
=2, у
В
=1
2) – х
2
+4х-3=0 х
1
=3, х
2
=1
Функция неотрицательна на [1;3]
F(x) = S
ф
= F(3) – F(1) =
3) Умножим S
ф
на . S
иск.
=
Ответ: 1
Пример 8
Найти S фигуры, ограниченной линиями f
1
(x) = x
2
; f
2
(x) = 2x – x
2
.
Решение:
1) Схематично изобразим данную фигуру (рис.
12)
f
2
(x) = – x
2
+ 2x
х
0
= , у
0
= 1
2) Найдем абсциссы точек пересечения этих линий
х
2
= 2x – x
2
2x
2
– 2х = 0
х = 0, х = 1
3) Найдем площадь фигуры
F
2
(x) = x
2
–
S
2
= F(1) – F(0) =
F
1
(x) = ; S
1
= .
4) S
ф
= S
2
– S
1
= .
Ответ: S
ф
= .
Пример 9
Вычислить S фигуры, ограниченной линиями:
у=х
3
+1, у=0, х=0, х=2.
Решение:
F(x) =
S = F(2) – F(0) = 16/4 + 2 – 0/4 + 0 = 6
Ответ: 6.
Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце
урока.
Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?
Решение:
Выполним чертеж:
На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:
Ответ:
Примечание: В задачах на нахождение площадей преподаватели часто
требуют записывать ответ не только точно, но и, в том числе,
приближенно.
Пример 11 : Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,
.Решение:
Выполним чертеж:
На отрезке , по соответствующей формуле:
Ответ:
Пример 12:
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .
Решение:
Выполним чертеж.
На отрезке , по соответствующей формуле:
Ответ:
Используемые ресурсы:
1. https://infourok.ru/samostoyatelnaya-rabota-po-teme-neopredelenniy-
integral-klass-761699.html
2. http://festival.1september.ru/articles/566339/
3. http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/8a790bee-ba9d-4b2b-9c3a-
6e370cc2df5b/113019/?
4. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент».
Базовый и профильный уровни /И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий, А.В.Забелин и др.;
под редакцией И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2016. – 640 с. (Серия
«Банк заданий ЕГЭ»)
5. Математика. ЕГЭ – 2013: экспресс – курс для подготовки к экзамену/ Дмитрий
Гущин. – М, : Издательский дом «Учительская газета», 2013. – 256 с.
(Библиотечка «Учительской газеты». Готовимся к ЕГЭ с лучшими учителями
России
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: