Презентация "Интересные свойства трапеции" 8 класс

Проектная работа « Интересные свойства трапеции » конкурс проектных работ среди обучающихся школ Правобережного района Выполнила : Тараева Залина ученица 8 класса МКОУ СОШ с. Н.Батако Руководитель: Гагиева А.О. 20.11.2012 года г.Беслан 2012 Цель работы:

• Рассмотреть свойства трапеции, которые в школьном курсе геометрии не изучаются, но при решении геометрических задач ЕГЭ из развернутой части С 4 бывает необходимо знать и уметь применять именно эти свойства .

Свойства трапеции:

• Если трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, равным a и в, на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок к этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен

a

В

к

Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции. 

• Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей равен:

а

в

с

Свойства трапеции:

• Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.
МР=ОК

Р

М

О

К

Свойства равнобедренной трапеции:

• Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.

О

С

В

А

Д

.

Е

О

Свойства равнобедренной трапеции:

• Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне

О

А

В

С

Д

Свойства равнобедренной трапеции:

• В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна её средней линии.

С

В

А

Д

h

1)Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства:

• 1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон.
• 2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны.
• 3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности.
• 4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.
• 5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n, то радиус вписанной окружности равен

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность:

• 1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r).
• 2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC

Доказательство :

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:
• Обозначим CF=m, FD=n. Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º .

•  1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB).
• 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам).
• 3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º.
• Вывод: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.
• Это утверждение применяется при решении задач на трапецию, в которую вписана окружность.

I I .Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

•  Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS
• Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS.
• Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD.
• Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS.
• Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

• В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно.
•  Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD.
Вывод:
• Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции.
• У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.
 

IV.Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

• В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно.
• Отсюда AD=AF+FD=AB+CD.
Вывод:
• Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции.
• У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.
     

• Если равнобедеренную трапецию со сторонами а,в,с,d можно вписать и около неё можно описать окружности, то площадь трапеции равна