Ученики на Учителя.com


Открытый урок "Алгоритм поиска инварианта числового ряда" 11 класс

МОУ Ольгинская СОШ, Самарская область, Безенчукский район,
учитель информатики и ИКТ Хохрина Елена Александровна
Открытый урок в 11 классе
РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ.
ТЕМА: Алгоритм поиска инварианта числового ряда.
ЦЕЛИ: Обучающая: освоить метод рекуррентных соотношений на
основе рассмотрения алгоритма поиска инварианта числового ряда.
Воспитательная: расширить кругозор учащихся, познакомить с
интересной информацией по теме.
Развивающая: развивать внимание, память, логическое мышление.
Тип урока: интегрированный, обучающий;
Оборудование: проектор, компьютер, интерактивная доска (для
управления и дополнений к материалу урока). На доске представлены
числовые ряды, необходимые для урока, модели ячеек, ряд № 5
представлен ещё и без знака факториала.
1. 1+3+5+7+9+11+ …+(2n-l)+ ...
2. 2+6+ 18+54+ 162+ ..
3. 1+1/2+1/4+1/8+ …+1/2
n
+ . =2
4. 1+1+2+3+5+8+13+21+37+…
5. 1+1/1!+ 1/2!+ 1/3!+ 1/4!+ ... + 1/n!+ ... =е
6. 1+1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+ ... + 1/2n+ ...
ХОД УРОКА:
I. Организационный момент.
Объявляется тема и цель урока.
Вопрос по поводу материала на доске
учащимся. Ожидаемый ответ: «Прогрессия».
Вопрос: «Почему вы так считаете?»
В ходе обсуждения учащиеся выясняют, что ряды № 4,5,6 не
относятся к прогрессиям.
II. Рассмотрим ряд № 4. последовательность чисел Фибоначчи.
Учащиеся сообщают заранее приготовленные сведения из жизни
учёного
историю появления в математическом мире этой
последовательности.
Числа Фибоначчи возникают в самых разных математических ситуациях:
комбинаторных, числовых, геометрических. Учёные стремятся отыскивать
числовые закономерности даже в живой природе и давно заметили, что
числа Фибоначчи встречаются в спиральных формах, которые
наблюдаются в мире растений. Например, в расположении листьев и
ветвей вокруг ствола дерева. Число витков спирали, которые необходимо
сделать, чтобы перейти от нижнего листа к ближайшему верхнему равно
одному из чисел Фибоначчи. Это явление в ботанике называется
филлотаксис.
Ряд Фибоначчи подчинён некоторому закону. Первые два члена
равны единице. Каждый член связан с предыдущим.
Задание учащимся: Сформулируйте правило, по которому
образуется ряд Фибоначчи.
III. Теперь рассмотрим ряд № 5, сумма членов ряда N 5 даёт число
е, которое называется числом Непера.
1 + 1/1!+ 1/2!+ 1/3!+ 1/4!+ ... + 1/n!+ ... =е
Учащиеся уже знают из курса алгебры, что это число является
основанием натурального логарифма.
Здесь можно представить дополнительные сведения о том, что число
Непера является составляющей закона существования случайных
процессов физической и биологической природы. Например, закона
нормального распределения скорости газовых молекул, закона охлаждения
тел, в формулах радиоактивного распада, возраста Земли, роста клеток и
др.
Далее необходимо ввести понятие факториала. ! - знак факториала. От
factor - сомножитель. 0!= 1.
Факториал - это произведение натуральных чисел от 1 до того
числа, которое стоит под знаком факториала.
С учётом этого можно обратить внимание учащихся на то, что ряд № 5
можно записать в виде
1 + 1/1 + 1/(1 *2)+ 1/(1 *2*3)+ ... + 1/(1 *2*3*4* ... *(n-l)+ ...
Задание: Предложите, каким образом каждый элемент этого ряда
можно выразить через предыдущий.
Вывод: существуют ряды, в которых элементы можно вычислять
через предыдущие. Во всех рядах на доске наблюдается условие, с
помощью которого можно образовать элемент ряда. Такое условие
называют инвариантом (неизменимая часть чего-либо).
Учащиеся записывают в тетрадь ряды № 4,5, а так же понятия
факториала и инварианта.
IV. Учащиеся устанавливают общую закономерность выявления
инварианта на примере ряда чётных чисел. Работа учеников идёт
совместно с учителем.
2+4+6+8+ 1 0+ 12+ ... +2п+ ... =n(n+ 1)
Введём обозначения:
k - значение последнего члена ряда;
n - количество вычисляемых членов
ряда;
i -
номер члена ряда (от 1 до n);
a
i
- обозначение члена ряда;
a
i-1
-
обозначение предыдущего члена ряда.
Пользуясь обозначениями под каждым членом ряда запишем его номер
и имя.
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + ..... + k
№ 1 2 3 4 5 6 ............ n
Необходимо пояснить, что фиксация номера члена связана с тем, что
ЭВМ должна точно «знать» какой член ряда по номеру она вычисляет.
Тем самым, учащиеся подходят к мысли о том, что вычисления значений
членов ряда организуется через циклическую конструкцию. Значения i -
это значения параметра цикла. Для первого члена ряда i=l. Зная первый
член ряда можно вычислить второй. Так как мы его вычисляем в
настоящий момент времени, то обозначим его a
i
, по порядку он второй,
поэтому его имя а
2
, значение 4.
Задание: Подумайте, как из 2 получить 4?
Необходимо записать соотношение 1 и 2-го членов
ряда. Чем является 2 по отношению к а
2
?
Ответ: «a
1
»
Чем является а
1
по отношению к a
i
?
Ответ: «Это a
i-1
»
В результате получаем формулу a
i
=a
i-1
+2
Формула - рекуррентное соотношение. Чтобы убедиться, что
формула найдена верно, проводится проверка следующих членов
ряда.
Вывод: Значение каждого члена выражается через предыдущий
одинаково, значит инвариант ряда найден верно.
Определение рекуррентного соотношения учащиеся записывают в
тетрадь.
V. Возникает вопрос: «Как записать рекуррентное соотношение для
вычисления на машине?»
Учитель на доске, а учащиеся в тетради заполняют изображённые ячейки
по найденной формуле, тем самым, демонстрируя алгоритм вычислений.
n = 15
А
А
А
…
А
А=2
2
4
6
30
Вывод: Инвариантность рекуррентного соотношения позволяет записать его в виде
циклической конструкции.
VI. Выясним как найти сумму элементов ряда.
Учащиеся вспоминают, что S=0 - начальное значение суммы, S=S+A - её изменение
на каждом шаге цикла.
Запишем алгоритм в форме алгоритмической нотации и блок-схемы, которые
отпечатаны для индивидуального переноса в тетрадь каждому ученику.
Заданием будет проставить комментарии при выполнении алгоритма.
алг INV(вещ А,S/цел K,N,I)
нач
запрос (N)
А:=2
S:=0
S:=S+A
вывод («I», «А»:12, «S»S:12)
вывод («1»,А:12,S:12)
нц
для i
от
2 до n
А:=А+2
S:=S+A
вывод (I:3, А:12, S:12)
кц
кон
VII. Вопросы:
1. Можно ли по этому алгоритму выписать i- й член и сумму элементов ряда
нечётных чисел?
2. Назовите инвариант. Запишите рекуррентное соотношение.
3. Что изменилось в алгоритме?
VIII. Итоги урока.
Домашнее задание: Примеры числовых рядов, в которых надо уметь находить
инвариант. Получить рекуррентное соотношение и изобразить блок-схему.
Скачать материал

Информатика - еще материалы к урокам: