Векторы
и их применение при доказательстве теорем.
Выполнила: учитель математики
МБОУ «Дедиловская СОШ»
Соловьева Надежда Юрьевна
Цели и задачи презентации:
- познакомиться с историей возникновения векторов;
- повторить основные понятия и действия над векторами;
- рассмотреть доказательство теорем векторным методом.
Интерес к векторам и векторному исчислению пробудился у математиков в XIX. в. в связи с потребностями механики и физики. Впервые вектора были введены в работах У. Гамильтона и Г. Гроссмана. Однако исток и исчисления с направленными отрезками возникли в далеком прошлом.
В Древней Греции пифагорейцы, открыв иррациональные числа, которые нельзя выразить дробями (например: ,
и др.), не решились ввести более широкое толкование числа.
Математики того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408 – 355 гг. до н.э.), а позднее «геометрической алгебре».
В геометрическом исчислении, изложенном в труде Евклида «Начала», сложение и вычитание сводились к сложению и вычитанию отрезков, а умножение – к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям.
Фламандский ученый С. Стевин в своем трактате «Начала статики» рассматривая сложение сил, приходит к выводу, что для нахождения результата сложения двух сил, действующих под углом 90˚, необходимо воспользоваться «параллелограммом сил», при этом для обозначения сил он ввел стрелки.
Продолжительное время вектор рассматривался только как направленный отрезок, один из концов которого называли началом, а второй – его концом. С разработкой теории преобразований вектор стали рассматривать не только как направленный отрезок, но и как параллельный перенос, заданный парой точек – точкой О и ее образом Оʹ.
Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
В данном случае началом отрезка является точка А , концом отрезка – точка В . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор
Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым
нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.
1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква
обязательно обозначает точку - начало вектора, а вторая буква точку - конец вектора.
2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
В частности, вектор можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .
Длиной или
модулем ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина нулевого вектора равна нулю.
Длина вектора обозначается знаком модуля: ,
В аналитической геометрии рассматривается
свободный вектор.
Это – вектор, который можно отложить от любой точки:
Два вектора называются
коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Если два ненулевых вектора и коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно.
В первом случае векторы и называются
сонаправленными , а во втором –
противоположно направленными .
Сложение векторов по правилу треугольников
Пусть и - два вектора . Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор , равный
. Затем от точки В отложим вектор , равный . Вектор называется суммой векторов +
Сложение векторов по правилу параллелограмма.
Сумма нескольких векторов.
Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т.д. Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.
Вычитание векторов.
Произведение вектора на число
Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при . Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
Скалярное произведение векторов
.
Используемая литература и ссылки
http://s_ob.mos.edu54.ru/p5aa1…
http://slalomum.ru/zakachay/ba…
www.budivelne.info/logs » Шаблоны для школьных презентаций
http://www.smarttehno.ru/port/… ▼
Геометрия: Учеб. Для 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 1996.
Глейзер Г. И. История математики в школе в VII – IX кл.: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.
Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. Э-68 А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1989.