Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Векторы и действия над ними" 9 класс

1
«Векторы и действия над ними»
Учитель математики «Средней общеобразовательной школы №20
им.А.А.Хмелевского» г. Курска Кораблина Ольга Александровна
Цели:
Образовательные: выявить связи геометрии с различными областями человеческих
знаний (в частности, на примере решения задач с практическим применением);
систематизировать и расширить знания учащихся о векторах.
Развивающие: развить навыки использования векторов в математике и ее приложениях, в
частности, навыки, связанные со сложением сил, вычислением длин отрезков и углов,
развивать память, логическое мышление, любознательность; развивать умений искать
ответы на возникающие вопросы.
Воспитательные: воспитание целеустремленности, самостоятельности учащихся,
стремления к получению знаний и применению их в нестандартных ситуациях, уважение
друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе..
Требования к знаниям, умениям и способам деятельности: уметь использовать
понятие векторов и действий с ним при решении задач практического содержания.
Тип урока: урок обобщения изученного материала.
Формы работы: фронтальная.
Методы: исследовательские, словесные, наглядные.
Оборудование: линейка, медиапроектор, экран, компьютер, доска, мел, карточки для
разноуровневой работы, карточки рефлексии.
Структура урока:
I. Организационный момент. 2 мин
II. Проверка владения понятийным аппаратом, устная работа по готовым слайдам.10 мин
III.Решение задач. 15 мин
IV. Релаксация. 3 мин
V. Дифференцированная самостоятельная работа. 10 мин
VI. Домашнее задание. 1 мин
VII. Итог урока, рефлексия. 3 мин
2
Ход урока.
I. Организационный момент, 2 мин
Здравствуйте, ребята! Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и
полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать
красоту и мудрость окружающего мира поможет нам хорошее знание такого предмета как
геометрия. Начнём наш урок с логического задания. О чём идет речь в данной шараде?
Шарада Слайд 2
Мой первый слог – почтенный срок,
Коль прожит он недаром.
Модель второго – на столе,
Румяна, с пылу, с жару.
Меня вы встретите везде –
Такой я вездесущий.
А имя громкое мое –
Латинское «несущий». (Вектор) Слайд 3
И сегодня на уроке, который является обобщающим по теме «Векторы», мы попытаемся выявить
связи геометрии с различными областями человеческих знаний, в частности, на примере решения
задач с практическим применением.
Вектор - одно из основных геометрических понятий. Понятие вектора появилось в работах
немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем
оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. Слайд 4
Термин "вектор" ввел Гамильтон приблизительно в 1845 году. Символ [→a, →b] для обозначения
векторного произведения ввел Грасман. Векторы применяются в классической механике
Галилея - Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, квантовой физике,
в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о
применении векторов в различных областях математики.
II. Проверка владения понятийным аппаратом.
Четверо учащихся (слабоподготовленные) на местах выполняют задания:
Заполните пропуски:
Проверяет задания один из учащихся , если необходимо ему предлагается образец для проверки.
3
III. Устная работа по готовым слайдам.
На протяжении нескольких дней 1 группе ребят было дано задание подготовить проектные работы
в виде задач по теме «Векторы», ребятам было предложено составить и предложить своим
товарищам устные задания или задания на готовых чертежах. Работу учащиеся выполняли
индивидуально, сегодня мы рассмотрим 3 задания, подготовленные Овсянниковой Дарьей,
Елагиным Никитой и Никулиным Иваном.
Сейчас рассмотрим здания, которые приготовили ребята. Ребята, подготовившие задания и ребята,
активно участвующие в решении задач, получают оценки. Слайды 5-7
IV. Решение задач
Задача 1 Басня И.А.Крылова “Лебедь, Рак да Щука” Слайд 8
Когда в товарищах согласья нет,
На лад их дело не пойдет,
И выйдет из него не дело, только мука.
Однажды Лебедь, Рак, да Щука
Везти с поклажей воз взялись,
И вместе трое все в него впряглись;
Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!
Поклажа бы для них казалась и легка:
Да Лебедь рвется в облака,
Рак пятится назад, а Щука тянет в воду.
Кто виноват из них, кто прав, - судить не нам;
Да только воз и ныне там.
История о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись», известна всем. Но мало
кто пробовал рассматривать эту басню с точки зрения векторов, а правда ли, что воз всегда будет
стоять на месте? Результат получается не всегда похожий на вывод баснописца Крылова. Так ли
это? Посмотрим.
Мы исследуем этот вопрос с точки зрения механики.
Цель нашего исследования – положение воза в басне И.А.Крылова “Лебедь, Рак да Щука”.
Перед нами задача на сложение нескольких сил, действующих под углом одна к другой.
Направление сил определены в басне так:
… Лебедь рвется в облака, Рак пятится назад, а щука тянет в воду. Обозначим векторами OA, OB,
OC, направление движения.
Это значит, что одна сила, тяга лебедя (ОА), направлена вверх; другая, тяга щуки (ОВ), – вбок;
третья, тяга рака (ОС), – назад. Не забудем, силу тяжести воза направленную отвесно вниз
учитывать не будем, так как поклажа легка. В басне утверждается, что равнодействующая всех
приложенных к возу сил равна нулю то есть “воз и ныне там”.
Применяя правило сложения векторов, строим на силах ОВ и ОС параллелограмм
сил, диагональ его OD даёт равнодействующую силу. Из рисунка видно, что векторы OD и OA не
являются противоположными, значит их равнодействующая сила не равна нулю. В данном случае
воз сдвинется с места, в какую сторону – будет зависеть от соотношения сил и от угла между
векторами. Если сила лебедя не уравновешивает веса воза, то и в этом случае равнодействующая
4
сила не будет равняться нулю, значит, воз сдвинется с места. Воз останется на месте при
одном условии: если трение у его осей и о полотно дороги больше, чем приложенные
усилия. Но это противоречит утверждению, что “поклажа бы для них казалась и легка”.
Поэтому И.А.Крылов не мог с уверенностью утверждать, что “возу всё нет ходу”, что “воз
и ныне там”. Данное утверждение не меняет смысла басни.
Учащийся у доски находит сумму векторов, и делает вывод прав ли Крылов, можно
показать разные решения этой задачи, в одном из которых Крылов прав, а в другом нет.
Слайд 9-10
Задача 2 Слайд 11
Парашютист после прыжка из самолёта спускался вниз на землю со скоростью 4 м/с. Но
вдруг поднялся ветер, и парашютиста стало сносить в сторону со скоростью 3 м/с. На
каком расстоянии от точки выброса окажется парашютист, если время его свободного
падения составляло 3 минуты.
Решение.
Ответ: на расстоянии 900 м от точки выброса парашютистов
Задача №796 учебника.
5
В этой задаче мы используем применение векторов при решении задач
C
1
Дано: Окружность, CD – диаметр,C
1
D
1
– касательная,
К СС
1
С
1
D
1
, DD
1
С
1
D
1
, CC
1
=11cм, СD=27cм.
D
1
Найти: DD
1
С D
Решение:
C
1
D
1
– касательная к окружности, следовательно ОКC
1
D
1
, т.к. СС1С1D1 ,
DD1С1D1
по условию, то СС
1
||DD
1
||OK. O – середина CD ОК – средняя линия
трапеции СС
1
D
1
D. ОК – радиус окружности,  ОК=
СD = 27∙0,5=13,5 см. Т.к. ОК -
средняя линия трапеции СС
1
D
1
D, то ОК =
(СС
1
+DD
1
)  0,5 DD
1
= OK – 0,5 CC
1

DD
1
= 2∙13,5 – 11= 16 c
Ответ: 16 см
V. Релаксация. Слайд 12
А теперь мы с вами немного отдохнем.
Займите удобное положение. Расслабьте лицо, руки, шею, тело. Представьте, как мышцы
лица становятся мягкими, расслабленными. Почувствуйте свое расслабленное тело.
Улыбнитесь и представьте, как вы красивы, когда улыбаетесь. Представьте, что все ваше
тело улыбается.
А теперь представьте, что вы стоите перед полем, засеянным пшеницей. Полюбуйтесь
его красотой. Посмотрите, какие краски вас окружают. Наклонитесь и рассмотрите
налитые силой колосья. Какие они. Почувствуйте запахи этого поля. Вдохните аромат
нивы. Прислушайтесь к звукам, которые вас окружают: шелесту пшеницы, пению птиц.
Ощутите легкий ветерок на своем лице. Насладитесь покоем. Пройдитесь по этому
полю. Почувствуйте, как колосья, мягкие и теплые, касаются ваших рук, ног, тела, как
они нежно вас гладят, слегка щекочут. А теперь представьте, что ветер стих.
Наклонитесь и рассмотрите один колосс. Из маленького зернышка, закопанного в землю,
он вырос, стремясь к солнцу. Посмотрите, каким он стал сильным, мощным. Колос сам
как вектор: зернышко – это его начало, а прекрасное соцветие – колос – конец. Его
направление – это движение к солнцу. Все колосья как стрелы направлены вверх Сорвите
один колос. Колосья как и вектора имеют длину, могут быть сонаправленными или
противоположно направленными друг другу. Пройдите еще по полю. Погладьте колосья,
подержите их в своих руках. Насладитесь красотой и покоем хлебной нивы. Пошлите ей
свою любовь. Почувствуйте ступни ног, прилив сил к рукам и ногам. Ощутите спину,
плечи. Улыбнитесь и сделайте глубокий вдох. Медленно каждый в своем режиме
O
6
возвращайтесь в класс. Откройте глаза, потянитесь. Поверните голову влево, вправо.
Улыбнитесь соседям, сидящим слева и справа.
VI. Дифференцированная самостоятельная работа, 10 мин
Вариант 1.
Базовый уровень
Упростите выражение:






.
Повышенный уровень
Прямая BM, параллельная боковой стороне CD трапеции ABCD, делит основания на
отрезки AM=12 см, MD=8см. Найдите среднюю линию трапеции.
Высокий уровень
В равнобедренной трапеции ABCD А=D=60
0
, BC=4 см, АВ=СD=6cм. Найдите
среднюю линию трапеции.
Вариант 2.
Базовый уровень
Упростите выражение: 





Повышенный уровень
Прямая NE, параллельная боковой стороне MP трапеции KNMP, делит основания на
отрезки КЕ=10см, EP=14 см. Найдите среднюю линию трапеции.
Высокий уровень
В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 5 см, высота – 6см, углы при
основании равны 45
0
. Найти среднюю линию трапеции.
Время истекло ваши работы я проверю позже и скажу результаты на следующем уроке
VII. Домашнее задание, 1 мин Слайд13
№778 (практическое задание на построение векторов), №802 (задание выразить вектор),
№809 ( задача на нахождение средней линии трапеции)
VIII. Итог урока. Рефлексия, 3 мин
Где мы ещё встречаемся с понятием вектора?
В наши дни понятие вектор постоянно встречается в газетных и журнальных
публикациях, в выступлениях политиков, ученых, педагогов. Обсуждая важнейшие
процессы в жизни общества, говорят о векторе реформ и его социальной составляющей, о
7
векторе экономических преобразований и его изменении, о направлении вектора развития
системы образования. Понятие о векторе как направленном отрезке вошло в сознание и
речь современного образованного человека.
Кроме наук, в которых векторы применяются в прямом значении, их ещё применяют
и в переносном значении. Чаще всего для необходимого объяснения в спортивных
командных играх.
В спортивных играх тренер не всегда может показать игрокам данный манёвр или
просто какой-либо финт. Ему помогают модели поля, на которых он изображает
перемещение игроков векторами.
Предложенные примеры показывают единство геометрии и физики, геометрии и
физкультуры. Их содержание отличается тем, что применение векторов при их решении
(объяснении задач для команды) предпочтительнее, чем использование других средств.
Вектор – чисто математическое понятие, которое применяется в физике или других
науках, и которое позволяет упростить решение (пояснение) задач.
Карточка самооценки деятельности учащегося на уроке
Критерий
Оценка деятельности
На уроке я работал
активно / пассивно
Своей работой на уроке я
доволен / не доволен
Урок для меня показался
коротким / длинным
За урок я
не устал / устал
Мое настроение
стало лучше / стало хуже
Материал урока мне был
понятен / не понятен
полезен / бесполезен
интересен / скучен
Домашнее задание мне кажется
легким / трудным
Я вижу, что сегодня мы с вами поработали плодотворно. Спасибо, за урок. Урок окончен.
8
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: