Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Правильные многоранники"

Урок геометрии по теме "Правильные многогранники".
Цели урока:
1. Обучающие:
- Ввести понятие правильного многогранника.
- Рассмотреть свойства правильных многогранников.
2. Развивающие:
- Формирование пространственных представлений учащихся.
- Формирование умения обобщать, систематизировать, видеть закономерности.
- Развитие монологической речи учащихся.
3. Воспитательные:
- Воспитание эстетического чувства.
- Воспитание умения слушать.
Формирование интереса к предмету.
Тип урока: изучение нового материала с элементами закрепления ранее изученного.
Задачи урока:
Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными
многогранниками.
Оборудование: Мультимедийный проектор, наборы правильных многогранников,
раздаточный материал (карточки с таблицей), демонстрационные модели многогранников
(склеенные тетраэдры, параллелепипед), учебники.
Ход урока
1. Организационный момент.
Проверка наличия письменных принадлежностей, готовности учащихся к занятию.
Проверка отсутствующих на уроке.
2. Подготовка учащихся к активной учебно-познавательной деятельности.
Сформулировать цели и задачи урока.
1. На сегодняшнем уроке нам необходимо:
а) ввести понятие правильного многогранника;
б) рассмотреть свойства правильных многогранников;
в) провести исследовательскую работу, которая называется «Формула Эйлера»;
г) послушать сообщение “Правильные многогранники в философской картине мира
Платона”, которое подготовил (ФИ студента) и познакомиться с тем, как же использовали
правильные многогранники в своих научных фантазиях учёные и художники много веков
назад.
3. Изучение новых знаний и способов действий.
Тема нашего урока “Правильные выпуклые многогранники” и эпиграфом урока являются
слова английского писателя Льюиса Кэрролла, автора всем вам известной книги “ Алиса в
стране чудес” (в течение урока используется презентация).
(Слайд № 1) Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма
скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных
наук.
Л. Кэрролл
Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока “ Правильные выпуклые
многогранники”. Два понятия в формулировке темы урока вам знакомы, многогранники и
выпуклые.
Дайте определение многогранника.
Какой многогранник называется выпуклым?
(Слайд № 2). Определите, какие из многогранников, изображенных на рисунке, являются
выпуклыми?
Нами уже использовались словосочетания “правильные призмы” и “правильные
пирамиды”. Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно
новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем
называть правильными? Послушайте внимательно определение.
(Слайд № 3). Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани
являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в
каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Убедимся что обе части определения необходимы. Уберём вторую часть определения.
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются
правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон.
Посмотрите на многогранник. (Демонстрируется модель многогранника, который
получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью).
Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет!). Посмотрим на его
грани - правильные треугольники. Посчитаем число рёбер, сходящихся в каждой вершине.
В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых – четыре. Вторая часть
определения правильного выпуклого многогранника не выполняется и рассматриваемый
многогранник, действительно, не является правильным.
Попробуем убрать первую часть определения. Выпуклый многогранник называется
правильным, если в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число
ребер.
Посмотрите на этот многогранник (демонстрируется модель параллелепипеда).
Подсчитаем число ребер выходящих из каждой вершины – три ребра, грани не являются
правильными многоугольниками. Первая часть определения не выполняется и этот
многогранник не является правильным.
Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих его частях.
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются
правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой
вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
4. Первичная проверка понимания изученного.
Вы знаете, что при вершине многогранного угла не менее трех плоских углов.
-Какова сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника? (меньше 360º).
Давайте, посмотрим, какие правильные многоугольники могут быть гранями правильного
многогранника и сколько правильных многогранников существует.
Исследуем этот вопрос. Результат оформим в виде таблицы (учитель на доске дети в
тетрадях)
Форма граней
Сумма плоских углов при
Вершине многогранника
60º * 3 =180º
60º * 4 =240º
60º * 5 =300º
90º * 3=270º
108º * 3=324º
Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями
являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и
правильные пятиугольники.
(Слайды № 4 - 8). Запишите в тетрадях названия этих правильных выпуклых
многогранников.
5. Применение знаний и способов действий студентов.
Исследовательская работа «Формула Эйлера»
Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней,
сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных
многогранников и занесём результаты в таблицу (раздаточный материал)
Работа на карточках (тетраэдр и куб все вместе, а остальные многогранники по рядам)
Проверим результаты заполнения таблицы (слайд № 9).
Правильный
многогранник
Число граней
Число вершин
Число ребер
Тетраэдр
4
4
6
Куб
6
8
12
Октаэдр
8
6
12
Додекаэдр
12
20
30
Икосаэдр
20
12
30
Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число
граней: “эдра” - грань; “тетра” - 4 ; “гекса” - 6; “окта” - 8; “икоса” - 20; “додека” - 12
Анализируя таблицу, возникает вопрос: “Нет ли закономерности в возрастании чисел в
каждом столбце?” По-видимому, нет.
Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и
“вершины” (Г + В). Заполните четвертый столбец Г+В (число граней плюс число вершин).
(Слайд № 10). Вот теперь закономерности может не заметить только “слепой”.
Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному
на 2 ”, т.е. Г + В = Р + 2. Запишите в тетрадь.
Итак, мы вместе сделали открытие, мы “открыли” формулу, которая была подмечена уже
Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она
носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Запомните эту
формулу.
Хотя действительно “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма
скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.
О том, как использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях учёные,
нам расскажет Ф.И. (сообщение учащегося).
Сообщение “Правильные многогранники в философской картине мира Платона”
(Рассказ (слайд № 11)).
Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они
занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем
Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из
четырёх “стихий” - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих “стихий” имеют форму
четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его
вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый
обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше
время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким,
газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и
почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею
систематизации.
6. Обобщение и систематизация знаний и способов действий.
(Слайд № 12). Задача 1. Определите количество граней, вершин и
рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте
выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.
Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы,
архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников.
Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал
их на своих полотнах.
(Слайд №13)
Сальвадор Дали на картине “Тайная вечеря” изобразил И.Христа со своими учениками на
фоне огромного прозрачного додекаэдра.
(Слайд № 14)
Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471-1528) в
известной гравюре “Меланхолия”, на переднем плане также изобразил додекаэдр.
7. Подведение итогов учебного занятия.
Подходит к концу урок, подведём итоги.
- Что нового вы узнали сегодня на уроке?
Дома: Домашнее задание будет сегодня творческим на ваш выбор.
- склеить модели правильных многогранников на выбор;
- сообщение в подтверждение эпиграфа (т. е. куда именно смогли пробраться в самые
глубины различных наук правильные многогранники?).
(Раздаточный материал)
Правильный
многогранник
Число граней
Г
Число Вершин
В
Число Рёбер
Р
Сумма числа
граней и вершин
Г+В
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: