Презентация "Разложение вектора по двум данным неколлинеарным векторам" 9 класс

Маслова Юлия Сергеевна

• Лемма

Если векторы а и b коллинеарны и а≠0, то существует такое число k, что b=ka

Доказательство

1) а b. Возьмём число k=

|b|

|a|

т.к. >0, то векторы ka и b сонаправлены. Кроме того их длины равны |ka|=|k|*|a|=

|b|

|a|

*|a|=|b|

Следовательно b=ka

b

a

ka

2) a b. Возьмем число k=

|b|

|a|

т.к. k<0, то векторы ka и b сонаправлены. Их длины равны:

|ka|=|k|*|a|=

|b|

|a|

*|a|=|b|

Следовательно b=ka

Ч.Т.Д.

Ч.Т.Д.

b

a

ka

Леммой называется вспомогательная теорема, с помощью которой доказывается следующая теорема или несколько теорем.

• Пусть a и b – два данных вектора. Если вектор p представлен в виде p=xa+yb, где x и y – некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам a и b.
• Числа x и y называются коэффициентами разложения.
• Докажем теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам

На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Теорема

• 1) Вектор р коллинеарен вектору b. По лемме о коллинеарных векторах р=yb, где у некоторое число. Следовательно, р=0а+уb, вектор р разложен по векторам а и b.

• Вектор р неколлинеарен ни одному вектору. Отметим точку О и отложим векторы ОА=а, ОВ=b, ОР=р. Через точку Р проведём прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через Е точку пересечения этой прямой с прямой ОА (ОВ ЕР). По правилу треугольника р=ОЕ+ЕР. Векторы ОЕ и ЕР коллинеарны векторам а и b соответственно. Поэтому существуют числа х и у. ОЕ=ха, ЕР=уb. Следовательно, р=ха+уb, вектор р разложен по векторам а и b.

• Допустим, что кроме разложения р=ха+yb, есть р=х1а+у1b. Вычитая второе равенство из первого используя правила действия над векторами получаем: 0=(х-х1)а+(у-у1)b. Но это равенство может быть только если х-х1=0 и у-у1=0.
• Если х-х1≠0, тогда из полученного равенства найдём вектор а=

у-у1

х-х1

b, а значит

векторы а и b коллинеарны, что противоречит условиям теоремы. Следовательно может быть только один вариант, когда х-х1=0 и у-у1=0, а значит х=х1 и у=у1

Поэтому коэффициенты разложения вектора р определяются единственным образом.

Теорема доказана.