Презентация "Перпендикулярность прямых и плоскостей"

Перпендикулярность прямых и плоскостей Содержание

• Перпендикулярные прямые в пространстве
• Лемма
• Определение прямой, перпендикулярной к плоскости
• Теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к плоскости
• Теорема о параллельности двух перпендикулярных прямых к плоскости
• Признак перпендикулярности прямой и плоскости
• Теорема о существовании и единственности прямой, перпендикулярной к данной плоскости
• Перпендикуляр и наклонные
• Теорема о трех перпендикулярах
• Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах
• Угол между прямой и плоскостью

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые называются перпендикулярными,

если угол между ними равен 90о

а

b

с

а  b

c  b

α

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

A

C

a

α

M

b

c

Дано: а || b, a  c

Доказать: b  c

Доказательство:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

α

а

а  α

Теорема 1

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

α

х

Дано: а || а1; a  α

Доказать: а1  α

Доказательство:

a

а1

Теорема 2

α

Доказать: а || b

Доказательство:

a

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

β

b1

Дано: а  α; b  α

b

M

с

q

p

a

a

a p,

p

a q,

q

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости





Чтобы установить перпендикулярность прямой и плоскости достаточно проверить перпендикулярность лишь к двум прямым, лежащим в плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,

то она перпендикулярна к этой плоскости.

α

q

Доказать: а  α

Доказательство:

a

p

m

O

Дано: а  p; a  q;

pα; qα

p ∩ q = O

α

q

l

m

O

a

p

B

P

Q

Доказательство:

L

а) частный случай

A

α

q

a

p

m

O

Доказательство:

а) общий случай

a1

Теорема 4

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

α

а

β

М

b

с

Доказать:

1) ∃ с, с  α, М с;

2) с – !

Доказательство:

Дано: α; М α

A

O

В

Докажите, что АО

С

С

350

550

420

480

ABCD и ВMNС – два прямоугольника.

Доказать: ВС (СDN)

А

В

С

D

M

N

Доказать: ВС DN

ABCD – прямоугольник.

В треугольнике ВСМ сторона ВС = 6, СМ = 8, ВМ = 10.

Доказать: ВС (СDМ)

А

В

С

D

M

6

8

10

Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника МВD, где D – произвольная точка прямой АС.

А

С

В

D

№126.

М

В

М

O

С

Через точку О пресечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ так, что МА = МС, МВ = МD. Докажите, что прямая МО перпендикулярна плоскости параллелограмма.

А

D

№128.

А

М

D

Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ. Известно, что МВА = МВС = 900; МВ = m, АВ = n. Найдите расстояния от точки М до: а) вершин квадрата;

б) прямых ВD и АС.

В

С

n

m

n

n

O

№130.

В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 900. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости АВС.

Докажите, что СD АС.

C

A

B

D

№127.

D

Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD, диагонали которого пересекаются в точке О.

Докажите: а) ВD АМО, б) МО ВD.

A

M

C

B

О

№129.

С

B

A

D

В тетраэдре DABC точка М – середина BС, АB = АС, DВ = DC.

Докажите, что плоскость треугольника АDМ перпендикулярна к прямой ВС.

M

№131.

D

А

АВСD – прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен плоскости АВС. ВЕ = 15, ЕС = 24, ЕD = 20. Докажите, что треугольник ЕDС прямоугольный и найдите АЕ.

C

В

Е

24

15

20

СD AED

СD AD,

СD АЕ

С

Точка А принадлежит окружности, АК – перпендикуляр к ее плоскости, АК = 1 см, АВ – диаметр, ВС – хорда окружности, составляющая с АВ угол 450. Радиус окружности равен 2 см. Докажите, что треугольник КСВ прямоугольный, и найдите КС.

В

А

К

2

1

450

СВ AКС

СВ AС,

СВ АК

В

С

А

М

6

4

АD МСD

АD МD,

АD МС

АВСD – параллелограмм. АD = 4, DС = 6,

МС перпендикулярно плоскости АВС, МD АD.

Найдите площадь параллелограмма.

D

АВС – равнобедренный треугольник, АВ = АС, точка D – середина ВС, ЕD (ABC).

Доказать: 1) ВС (АDЕ), 2) ВС АЕ.

В

С

А

D

Е

АВСD – ромб, МD (ABC).

Доказать: 1) AС (BMD), 2) AС MB.

D

С

А

M

B

Задача

Найти: MD

А

В

D

M

Решение:

Дано: ABC;

MB  BC; MB  BA;

MB = BD = a

Доказать: МB  BD

C

a

a

Задача 122

Найти: AD; BD; AK; BK.

А

В

D

C

O

К

Решение:

Дано: ABC – р/с;

О – центр ABC

CD  (ABC); ОК || CD

АB = 163, OK = 12; CD = 16

12

16

Перпендикуляр и наклонные

М

А

В

Н

α

МН  α

А  α

В  α

МА и МВ – наклонные

Н  α

АН и ВН – проекции

наклонных

МН – перпендикуляр

М  α

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

• РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Планиметрия

Стереометрия

Отрезок АН – перпендикуляр

Точка Н – основание перпендикуляра

Отрезок АМ – наклонная

Точка М – основание наклонной

Н

А

а

А

Н

М

М

Отрезок МН – проекция

наклонной на прямую а

Отрезок МН – проекция наклонной на плоскость

Планиметрия

Стереометрия

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра

Н

А

а

А

Н

М

М

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра

Из всех расстояний от точки А до различных точек прямой а наименьшим является длина перпендикуляра.

плоскости

Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли

Н а к л о н н а я

Н а к л о н н а я

П

Е

Р

П

Е

Н

Д

И

К

У

Л

Я

Р

Проекция

Проекция

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется

расстоянием между параллельными плоскостями.

II

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.

a II

a

Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

a II

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

a

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

b

a b

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к этим прямым, называется их общим перпендикуляром.

На рисунке АВ – общий перпендикуляр.

А

В

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.

А

Н

М

α

а

Дано: а  α, АН  α,

АМ – наклонная,

а  НМ, М  а

Доказать: а  АМ

Доказательство:

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

А

Н

М

α

а

Дано: а  α, АН  α,

АМ – наклонная,

а  АМ, М  а

Доказать: а  НМ

Доказательство:

Угол между прямой и плоскостью

А

Н

α

β

а

О

φ

(а ; α) = АОН = φ