Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Решение задач по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»" 10 класс

Урок № 43 (18.02.2016) Геометрия, 10 класс
Тема урока: Решение задач по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».
Цели:
1. закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;
2. вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению типовых задач на
перпендикулярность прямой и плоскости.
Тип урока: комбинированный
Ход урока
I.Организационный момент.
II. Сообщение темы и целей урока.
III. Актуализация опорных знаний и умений.
Теоретический опрос
1. Закончить предложение:
а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… (угол между ними равен 90°)
б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… (она перпендикулярна к любой прямой, лежащей
в этой плоскости)
в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… (параллельны)
г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… (перпендикулярна и к
другой прямой)
д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… (параллельны)
2. Дан параллелепипед
а) Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC
1
) (ответ: AD; A
1
D
1
; B
1
C
1
; BC)
2) плоскости, перпендикулярные ребру BB
1
(ответ: (АВС); (A
1
B
1
C
1
))
б) Определите взаимное расположение:
1) прямой CC
1
и плоскости (DСВ) (ответ: они перпендикулярны)
2) прямой D
1
C
1
и плоскости (DCB) (ответ: они параллельны)
VI. Решение задач.
1. Решение задач по готовым чертежам (Устно)
№1
Дано: ∆ ABC - прямоугольный; AM
⊥
AC; M
∉
(ABC)
Доказать: AC
⊥
(AMB)
Доказательство: Т.к. AC ⊥ AB и AC ⊥ AM, а AM ⋂ AB, т.е. АМ и АВ лежат в плоскости (АМВ), то AC ⊥ (AMB)
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Ч.т.д.
№2
Дано: ВМDC - прямоугольник, M
∉
(ABC), MB
⊥
AB
доказать: CD
⊥
(ABC)
Доказательство: MB ⊥ BC, т.к. ВМDC – прямоугольник, MB ⊥ AB по условию, BC ⋂ AB, т.е. ВС и АВлежат в
плоскости (АВС) ⇒ MB ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. СD ∥ МВпо свойству
сторон прямоугольника ⇒ CD ⊥ (ABC) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых
перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
Ч.т.д.
№3
Дано: АВСD – прямоугольник, M
∉
(ABC), MB
⊥
BC
Доказать: AD
⊥
AM
Доказательство:
1) ∠ABC = 90°, т.к. АВСD – прямоугольник ⇒ BC ⊥ AB, BS ⊥ MB по условию, MB ⋂ AB = B, т.е. МВ иАВ лежат в
плоскости (АМВ) ⇒ BC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2) BC ∥ AD (по свойству сторон прямоугольника) ⇒ AD ⊥ (AMB) по теореме о двух параллельных прямых, одна
из которых перпендикулярна плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
3) Т.к. AD ⊥ (AMB) ⇒ AD ⊥ AM по определению прямой, перпендикулярной плоскости.
Ч.т.д.
№4
Дано: АВСD – параллелограмм, M
∉
(ABC), МВ = МD, МА = МС
Доказать: MO ⊥ (ABC)
Доказательство:
1) Т.к. О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то АО = СО и ВО = DO. ∆ BMD - равнобедренный,
т. к. ВМ = МD по условию, значит МО - медиана и высота, т.е. MO ⊥ BD.
2) Аналогично доказывается в ∆ AMC: MO ⊥ AC.
3) Итак, MO ⊥ BD и MO ⊥ AC. а ВD и АС – пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости (АВС) ⇒ MO⊥ (ABC)
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.
(Устные ответы к каждой задаче требуется обосновывать, проговаривая всякий раз формулировки
применяемых теорем)
2. Решение письменных задач №1.2
Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её
соответственно в точках P
1
и Q
1
. Найдите P
1
Q
1
, если PQ = 15 cм; PP
1
= 21,5 cм; QQ
1
= 33,5 cм.
Решение:
1) PP
1
⊥ α и QQ
1
⊥ α по условию ⇒ PP
1
∥ QQ
1
(обосновать);
2) PP
1
и QQ
1
определяют некоторую плоскость β, α ⋂ β = P
1
Q
1
;
3) PP
1
Q
1
Q - трапеция с основаниями PP
1
и QQ
1
, проведём PK ∥ P
1
Q
1
;
4) QK = 33,5 - 21,5 = 12 (см)
P
1
Q
1
= PK =
= 9 см.
Ответ: P
1
Q
1
= 9 см.
№2.2
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
АВ = 9 см; ВС = 8 см; ВD = 17 см. Найдите площадь BDD
1
B
1
.
Решение:
1) ∆ ABD: ∠BAD = 90°; АD = BC = 8 см;
ВD =
см;
2) ∆ DD
1
B: ∠D
1
DB = 90°;
DD
1
=
= 12 см;
3) S
BB1D1D
= BD ∙ DD
1
=
см
2
.
Ответ:
см
2
.
№3.2
Отрезок МН пересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР,
перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ.
Решение:
1) Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости α, то МЕ ∥ НР (обосновать) и через них проходит
некоторая плоскость β. α ⋂ β = EP;
2)МЕ ⊥ EP; НР ⊥ EP(обосновать), т.е. ∠MEK = ∠HPK = 90°;
3) ∆ HPK: KP =
= 3 см;
4) ∠EMK = ∠PHK (накрест лежащие для параллельных прямых МЕ и НР и секущей МН),
тогда ∆ MEK ∆ HPK по двум углам и
; т.е.
⇒ EK =
= 9 см,
РЕ = РК + КЕ, РЕ = 3 + 9 = 12 см.
Ответ: РЕ = 12 см.
3. Самостоятельная работа (направлена на проверку усвоения материала по данной теме)
Вариант I
Вариант II
Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены
параллельные прямые AA
1
и BB
1
, не лежащие в
плоскости прямоугольника. Известно,
что AA
1
⊥ AB, AA
1
⊥ AD. Найдите B
1
B, если B
1
D = 25
см, AB = 12 см, AD = 16 см.
Через вершины А и В ромба АВСD проведены
параллельные прямые AA
1
и BB
1
, не лежащие в
плоскости ромба. Известно, что BB
1
⊥ BC,BB
1
⊥ AB.
Найдите A
1
A, если A
1
C = 13 см, BD = 16 см, AB = 10 см.
Решение:
1) AA
1
⊥ AB, AA
1
⊥ AD, а AB ⋂ AD = A ⇒ AA
1
⋂ (ABC) (по
признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а
т.к. AA
1
∥ BB
1
, то BB
1
⊥ (ABC) ⇒ BB
1
⊥BD;
2) ∆ ABD: ∠BAD = 90°. По теореме Пифагора:
BD =
= 20 см;
3) ∆ B
1
BD – прямоугольный. По теореме Пифагора:
B
1
B =
= 15 см.
Ответ: 15 см.
Решение:
1) BB
1
⊥ AB, BB
1
⊥ BC, а AB ⋂ BC = B ⇒ BB
1
⋂ (ABC)
(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости),
а т.к. BB
1
∥ AA
1
, то AA
1
⊥ (ABC) ⇒AA
1
⊥ AC;
2) Используя свойство диагоналей ромба, имеем в
∆ AOB: ∠AOB = 90°, BO = ½ BD = 8 см. По теореме
Пифагора:
AO =
= 6 см,
AO = ½ AC ⇒ AC = 12 см;
3) ∆ A
1
AC – прямоугольный. По теореме Пифагора:
AA
1
=
= 5 см.
Ответ: 5 см.
V. Подводятся итоги урока.
Задание на дом: повторить теоретический материал по изученной теме, глава II, № 216 (подг.к к.р.)
Индивидуальное задание для более сильных учеников. (Вариант III)
Дано: ∆ ABC; AB = AC = BC; CD ⊥ (ABC); AM = MB; DM = 15 дм; CD = 12 дм.
Найти: S
∆ ADB
Решение:
1) Т.к. CD ⊥ (FDC) ⇒ CD ⊥ AC и CD ⊥ BC, т.е. ∆ ADC, ∆ BDC – прямоугольные;
2) ∆ ADC = ∆ BDC (по двум катетам) ⇒ AD = BD, т.е. ∆ ADB – равнобедренный и DM – медиана, а значит и
высота; 3) DC ⊥ MC ⇒ MCD – прямоугольный,
тогда MC =
= 9;
4) ∆ ABC – равносторонний, поэтому СМ – медиана и высота, т.е. ∆ MCB – прямоугольный, ∠B = 60°,
sin ∠B =
, тогда
,
а АВ = ВС (по условию).
5) S
∆ ADB
= ½ DM ∙ AB;
S
∆ ADB
= ½ ∙ 15 ∙
.
Ответ:
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: