Конспект урока "Перпендикулярность прямых и плоскостей"

Методическая разработка бинарного урока – зачета.

Общественный смотр знаний «КОНКУРС ТЯЖЕЛОВЕСОВ»

по теме: «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Цели:

1. Повторить изученный материал, систематизировать знания учащихся

о перпендикулярности прямых и плоскостей, выявить пробелы в

знаниях учащихся по данной теме.

2. Закрепить умения и навыки учащихся решать задачи на построение,

вычисление, доказательство с применением изученных аксиом,

определений, теорем; приводить примеры перпендикулярности

прямых и плоскостей на предметах окружающей обстановки и,

связанных с профессией.

3. Воспитывать у учащихся устойчивый интерес к изучению геометрии

через раскрытие всей многогранности этой науки, ее связи с жизнью.

Методическая цель: Использование дидактических игр для контроля

знаний учащихся на основе сочетания индивидуальной и коллективной

форм деятельности.

Материально-техническое оснащение:

1. Два плаката с изображением тяжеловесов (перед «стартом» и после

«финиша»).

2. Кармашки в виде гирь: 16 кг., 24 кг., 32 кг., 48 кг.

3. Плакат с названием конкурса и девизом: «А математику уже затем

учить следует, что она ум в порядок приводит». (М.В. Ломоносов).

4. Высказывания математиков: «Знание - самое превосходное из

владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит». (А.Л. Бируни)

«Что есть больше всего на свете? - пространство.

Что быстрее всего? - Ум!

Что мудрее всего? - Время!

Что приятнее всего? - Достичь желаемого». (Фалес)

5. Таблица участников конкурса тяжеловесов для подведения итогов.

6. Раскладушка плоскостная (большая) с кратким изложением темы:

«Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве».

7. Раскладушка плоскостная (малая) для подготовки к зачету по

разделам:

а) общие правила работы по изучению математики.

б) учитесь доказывать теоремы.

в) учитесь решать задачи.

г) режим и гигиена учебного труда.

8. Рефераты учащихся по теме (иллюстрации с примерами)

9. Карточки с вопросами к конкурсу.

10. Плакат фрезерного станка.

11. Модели к теоремам.

План бинарного урока:

1. Вступительное слово преподавателя о целях зачета и его

структуре (3мин).

2. Обобщающие доклады учащихся по теме:

а) перпендикулярность прямых в пространстве (5 мин).

б) перпендикулярность прямой и плоскости (5 мин).

в) перпендикулярность плоскостей (5 мин)

3. Информация преподавателя о ходе «Конкурса тяжеловесов» (3

мин). Знакомство с жюри. (Завуч и три ассистента - учащиеся

из других групп).

4. Конкурс тяжеловесов 60 мин).

5. Подведение итогов (5 мин).

ХОД ЗАЧЕТА:

I. Вступительное слово преподавателя:

Ребята, мы закончили с вами изучение большого и очень важного

раздела геометрии «Перпендикулярность прямых и плоскостей в

пространстве».

& 16 включает в себя следующие темы: «Перпендикулярность

прямых», «Перпендикулярность прямой и плоскости», «Перпендикуляр и

наклонная», «Перпендикулярность плоскостей», «Расстояние между двумя

скрещивающимися прямыми». Наглядные представления о таком

расположении названных фигур дают многие наблюдаемые нами объекты

природы и техники. Как правило, перпендикулярен к горизонтальному

участку земли ствол растущего дерева, вертикально устанавливается опора

при строительстве линии электропередачи, телевизионная башня и т.п.

Наша с вами задача на сегодня: повторить определения

перпендикулярности прямых и плоскостей, формулировки теорем & 16,

вспомнить соответствующие им чертежи, какие задачи мы решали,

выбрать из многообразия примеров те, которые связаны с нашей темой, и

успешно сдать зачет.

Ваша группа активно готовилась к сегодняшнему зачету:

подготовлено три доклада по основному теоретическому материалу,

изготовлены модели к чертежам теорем, и каждый из вас сделал

небольшой реферат, где указал примеры перпендикулярности прямых и

плоскостей, встречающиеся в природе и технике. А сейчас три докладчика

помогут вам вспомнить основные положения этой темы.

2. а) Обобщение по теме: «Перпендикулярные прямые в

пространстве»

Этот раздел состоит из определения перпендикулярных прямых и

теоремы № 16.1. (Сформулировать их).

Нетрудно привести примеры перпендикулярных прямых в

пространстве: столб и любой электрический провод, который на нем

крепится; смежные переплеты оконных рам; на фрезерном станке - фреза и

деталь, закрепленная в тиках, консоль и рукоятка стола, шпиндель в

опущенном положении и плоскость стола; хобот с вертикальной головкой

и серьга и много другое. При решении задач по всей теме:

«Перпендикулярность прямых и плоскостей» очень часто применяется

знаменитая теорема Пифагора.

В настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была

открыта Пифагором. Изучение вавилонских клинописных таблиц и

древних китайских рукописей показало, что это утверждение было

известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетия до него. Заслуга

же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Мы, учащиеся используем следующую формулировку этой теоремы:

«Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Теперь не найти, пожалуй, никакой другой теоремы, заслуживающей

столько всевозможных сравнений. Во Франции и в некоторых областях

Германии в средневековье теорему Пифагора почему-то называли «мостом

ослов». У математиков арабского Востока эта теореме получила название

«теорема невесты». Дело в том, что в некоторых описаниях «начал»

Евклида эта теорема называлась «теоремой нимфы» за сходство чертежа с

пчелкой, бабочкой, что по-гречески называлось нимфой. Но этим же

словом греки называли еще некоторых богинь, а также вообще молодых

женщин и невест. При переводе с греческого арабский переводчик, не

обратив внимания на чертеж, перевел слово «нимфа» как невеста, а не

бабочка. Так появилось ласковое название знаменитой теоремы – «теорема

невесты».

Рассказывают, но это, конечно, лишь легенда, что когда Пифагор

доказал свою знаменитую теорему, он отблагодарил богов, принеся им в

жертву 100 быков. Немецкий поэт Альберт фон Талико много веков спустя

написал сонет, который в переводе А.Н. Хованского звучит так:

«Уделом истины не может быть забвенье,

как только мир увидит ее взор;

и теорема та, что дал нам Пифагор,

верна теперь, как в день ее рождения.

За светлый луч с небес вознес благодаренье

Мудрец богам не так, как было до тех пор:

Ведь целых сто быков послал он под топор,

Чтоб их сожгли, как жертвоприношенье».

Быки с тех пор, как только весть услышат,

Что новой истины уже следы видны,

Отчаянно мычат и ужасом полны:

Им Пифагор навек внушил тревогу,

Не в силах преградить той истины дорогу,

Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат».

Это рассказ о жертвоприношении, сообщаемый Диогеном и

Плутархом, скорее всего, вымышлен. Как известно, Пифагор был

вегетарианцем и непримиримым противником крови животных.

Спросите любого: «Ты знаешь теорему Пифагора?» в ответ Вам

улыбнутся и скажут: «Пифагоровы штаны на все стороны равны».

б) Обобщение по теме: «Перпендикулярность прямой и

плоскости».

Этот раздел включает в себя определение перпендикулярности

прямой и плоскости и 4 теоремы: № 16,2,16.3,16.4,16.5. . (Сформулировать

их).

Т-16.5. Теорема о трех перпендикулярах: (состоит их двух частей:

прямая и обратная теорема).

Эта теорема была доказана математиками Ближнего и Среднего

Востока: ее доказательство имеется в «Трактате о полном

четырехстороннике» Насир ад-Дина ат-Туси и в тригонометрическом

трактате его анонимного предшественника. В Европе эта теорема была

впервые сформулирована Луи Бертраном (1731-1812) и доказана в

«Элементах геометрии» Лежандра (1794). Доказательство Лежандра

воспроизведено в учебнике Киселева.

Теорема № 16.2 – признак перпендикулярности прямой и плоскости

имела большое значение в древности и в наше время.

Дело в том, что не только мы, учащиеся, часто считаем, что-то, что

мы изучаем, не имеет никакого применения и значит, это совсем не

пригодится в жизни.

Евклид был типичным греческим ученным, признающим науку ради

науки. Он, как и другие греческие математики, жившие до Архимеда,

презирал всякое практическое применение математики, считая это уделом

рабов.

Рассказывают, что когда однажды один из учеников спросил

Евклида, какую пользу принесет ему геометрия, Евклид, будто бы позвал

своего раба и приказал: «Дай ему три обола (древняя монета), он ищет

выгоды, а не знаний. Он хочет, чтобы геометрия приносила ему прибыль».

Да, так думал Евклид, не подозревая, что опровержением его слов

является одно из « семи чудес света» - Фаросийский маяк. На многие сотни

километров была видна ясной ночью, зажженная его вершина, приглашая

моряков в великую Александрию.

Как был не прав Евклид легко доказать и сейчас. Достаточно

привести несколько практических примеров применения одной только

теоремы № 16.2.

1) Электромонтажники проверят вертикальность установки столба,

глядя на него с двух направлений.

2) Новогоднюю елку устанавливают на крестовине, которая является

точной моделью чертежа Т-16.2 (показать рисунок).

3) При ремонте сверлильного станка слесарь должен с помощью

угольника выверить перпендикулярность оси сверла к плоскости

стола, на котором крепится деталь. Делает он это, прикладывая

угольник 2 раза.

в) Обобщение по теме: «Перпендикулярность плоскостей»

В этом разделе мы рассматривали определение перпендикулярности

плоскостей и две теоремы № 16.6. и 16.7.

Перпендикулярные плоскости можно «встретить» на каждом шагу.

Это необыкновенно популярный кубик Рубика, изобретенный в 1975 г.

преподавателем архитектуры из Будапешта (показать кубик Рубика). Он

представляет собой куб, у которого 6 граней, смежные грани взаимно

перпендикулярны.

Перпендикулярные плоскости можно показать в этом кабинете: это

смежные стены или любая стена и пол, любая стена и потолок.

Примеры, связанные с профессией: вертикальная и продольная

подачи стола, две смежные поверхности станка.

И, наконец, применение всех трех разделов, о которых мы сейчас

говорили, можно показать вот на каком примере.

Древние египтяне были замечательными математиками и

инженерами. Вы, наверное, слышали о египетских пирамидах царей-

фараонов. Словно из кубиков, они сложены из громадных – в десятки тонн

весом – обтесанных каменных глыб. Самая большая пирамида- пирамида

Хеопса (или Хуфу) достигает 146 метров. Даже сейчас поднять на такую

высоту и расставить вплотную друг к другу тысячи многотонных

каменных «кубиков» было бы не простым делом. А ведь у египтян не было

ни подъемных кранов, ни мощных домкратов (стр.21 в книге И. Депмана

«Мир чисел»). Все пирамиды имеют совершенно одинаковую правильную

форму, и стоят они не как попало: одна сторона пирамиды смотрит точно

на восток, другие – на север, юг и запад. Но ведь построить (хотя бы на

бумаге) правильную пирамиду совсем не так просто. Даже сейчас люди

учатся этому в средней школе и у нас в профессиональном училище. А

египтяне умели строить пирамиды уже 5 тысяч лет назад!

Перпендикулярность граней этих «кубиков» и правильность

установеи их в укладке проверяли отвесом – веревочкой с гирькой и

египетским треугольником (прямоугольный треугольник).

О замечательных постройках древних египтян можно рассказывать

без конца. Некоторые секреты египетских строителей не раскрыты до сих

пор. Ясно одно, что строители пирамид должны были и знать и уметь

очень много! Не меньше их должны знать и мы, современные учащиеся!

3. Подготовка к зачету.

А сейчас мы с вами приступим к непосредственной сдаче зачета,

который будет проведен в форме конкурса тяжеловесов. Прежде всего,

познакомьтесь с жюри и одновременно моими помощниками – Евдокимов

Владимир – учащиеся гр. № Э-55, Зайцева Анна – учащиеся гр. № ШМ-50,

Халюкин Андрей – учащиеся гр. № АС-54. эти ребята будут фиксировать

ваши результаты.

Условия конкурса таковы: перед вами четыре гири - кармана весом:

16 кг, 24 кг, 32 кг, и 48 кг. В каждом из этих карманов помещены карточки

с различными вопросами по теме: «Перпендикулярность прямых и

плоскостей». Степень сложности вопросов возрастает по мере роста веса

гирь, т.е. в кармане с весом 16 кг. – самые легкие вопросы, а в кармане с

весом 48 кг. – сложные.

Нужно постараться «взять» самый наибольший вес: от этого будет

зависеть ваша оценка.

Так же, как и во всех спортивных состязаниях, вы будете иметь три

попытки при взятии каждого веса, заключаются они в следующем:

1-ая попытка: если учащийся отвечает на вопрос сразу или после

непродолжительной подготовки, жюри фиксирует в таблице взятие веса с

первой попытки. После чего учащийся переходит к следующей гире.

2-ая попытка: если учащийся самостоятельно не справился с

заданием, он должен обратиться к жюри, которое дает небольшое

разъяснение по выполнению задания или задает наводящие вопросы.

После чего учащийся снова готовится к ответу.

3-ья попытка: если после этого учащийся вновь в затруднении, он

вторично обращается за помощью к жюри. Член жюри дает учебник и

предлагает учащемуся основательно подготовить нужный материал для

последующего его воспроизведения. Если затем учащийся ясно и четко в

устной форме излагает ответ на свой вопрос, ему засчитывается вес с

третьей попытки.

Критерии оценки сдачи зачета:

40 - 72 кг.

оценка

73-120 кг.

оценка

Свыше 120 кг.

оценка

Учащиеся, набравшие вес меньше 40 кг, считаются не сдавшими

зачет. После соответствующей подготовки, они будут его пересдавать.

Итоги соревнования трех команд (трех рядов) будут отражены на

таблице.

Желаю вам успеха!

4. КОНКУРС ТЯЖЕЛОВЕСОВ

Гири - карманы: 16 кг., 24 кг., 32 кг., 48 кг.

ВОПРОСЫ:

Гиря весом 16 кг.

1. Приведите два примера перпендикулярности двух плоскостей,

связанные с вашей профессией.

2. Перечислите все случаи взаимного расположения двух плоскостей и

приведите примеры.

3. Сформулируйте определение перпендикулярности прямой и

плоскости.

4. Сформулируйте определение перпендикулярности двух плоскостей.

5. Сформулируйте определение общего перпендикуляра двух

скрещивающихся прямых.

6. Расшифруйте буквы ГМТ. Сформулируйте определение.

7. Сформулируйте определение расстояния между двумя

скрещивающимися прямыми.

8. Перечислите все случаи взаимного расположения прямой и

плоскости и приведите примеры.

9. Чему равно расстояние между двумя параллельными плоскостями?

Как его измерить?

10. Сформулируйте определение перпендикулярных прямых.

11. Приведите два примера перпендикулярности двух прямых,

связанные с вашей профессией.

12. Перечислите все случаи взаимного расположения двух прямых в

пространстве и приведите примеры.

13. Сформулируйте определение скрещивающихся прямых и приведите

примеры.

14. Приведите два примера перпендикулярности прямой и плоскости,

связанные с вашей профессией.

Гиря весом 24 кг.

1. Перечислите все случаи взаимного расположения двух прямых в

пространстве и дайте соответствующие определения.

2. Перечислите элементы, по которым можно построить единственную

плоскость. Чем обосновать ваше утверждение? (Аксиома, теорема,

определение).

3. Из точки М проведите к плоскости



перпендикуляр и наклонную.