Ученики на Учителя.com


Урок геометрии "Решение одной задачи несколькими способами" 9 класс

Урок геометрии в 9 классе.
Решение одной задачи несколькими
способами
Гандашевская Людмила Яковлевна
учитель математики первой квалификационной категории
МАОУ «Лесновская основная общеобразовательная школа»
Надо чтобы был большой хаос ,
чтобы родить танцующую звезду».
Ф. Ницше
Интерес - один из инструментов, побуждающих учащихся к исследовательской
деятельности, к более глубокому познанию предмета. Нам учителям нужно
помочь ребенку открыть неведомые доселе каналы, из которых он черпал бы
силы для его развития. У ученика может создаться впечатление, что каждая
задача имеет если не единственное, то, по крайней мере, очень ограниченное
число решений, и, встретив задачу похожую, он начинает мучительно
“вспоминать” решение. Но за внешней похожестью формулировки могут
таиться существенные различия.
Научить распознаванию помогает рассмотрение различных способов решений
одной и той же задачи. Обычно различные методы демонстрируются на разных
задачах. Но хочу подчеркнуть, что не стоит на уроке заниматься погоней за
количеством задач, отвращать ребенка от поисков различных путей решения
задач, доказательств теорем. Может, стоит прислушаться к словам Эвариста
Галуа, о том что “наука- это творение человеческого разума,
предназначенное не только для знания, сколько для познания, для поиска,
а не для отыскания истины”. Да, надо находить время для
исследовательской работы учащихся, не бояться проводить урок решения
одной задачи. В моей практике было много случаев, когда ученики находили
и предлагали самые невероятные, самые непредсказуемые решения. Учитель
мог и не знать их. Умный учитель учится вместе с учениками. Много лет я
провожу в 9 классе урок-повторения, урок решения одной задачи
различными способами и испытываю огромное счастье, видя как ученики
находят оригинальное, экономичное решение. При этом мы лучше узнаем
специфику того или иного метода решения, его преимущества и недостатки в
зависимости от содержания задачи. Иногда удается подметить новые свойства,
получить интересное обобщение задачи, найти новые теоремы, формулы .
Нередко найденный способ решения может быть использован для решения
более сложных задач, сходных с данной. Различные решения одной задачи
позволяют выявить неожиданные связи между, казалось бы, отдаленными
фактами, понятиями. Для этого дети вспоминают многие теоретические
факты, методы и приемы, анализируют, синтезируют, сравнивают, проводят
аналогию, конкретизацию, накапливают определенный опыт применения одних
и тех же знаний к различным вопросам и приходят к выводу, что длительная
работа над одной задачей часто полезнее решения нескольких задач.
Актуальность данной работы в том , что при обучении по ФГОС требуется не
научить, а развивать способности ученика, осуществляя системно-
деятельностный подход в преподавании математики. За многолетний
педагогический опыт сформировался свой подход, создана копилка решения
уравнений, задач и доказательства теорем различными способами. Эта
работа дает свои положительные результаты. Учащиеся, продолжающие
учебу в ВУЗах и других учебных заведениях, не испытывают трудностей при
изучении математики. Данная работа может быть полезна педагогам ,
студентам и учащимся общеобразовательных учебных заведений.
К решению задач несколькими способами учащихся следует приобщать
постепенно, с начальной школы, используя критерии: 1.Правильность, 2.
Самостоятельность, 3. Оригинальность.
Для примера хочу предложить вам рассмотреть а).задачу по геометрии в 9
классе на уроке повторения. Аналогичную задача решается в 8 классе в теме
«Описанная окружность», но даётся треугольник равнобедренный с
основанием 10 см и боковой стороной 13см. Этот треугольник остроугольный
Эту же задачу на уроке повторения решают в 9 классе, но с основанием 16 см,
а боковая сторона 10см (№28 $7.Геометрия 6-10класс, Просвещение1986г.
А.В.Погорелов). Треугольник тупоугольный. Такая постановка задачи более
интересная.
Геометрия 9 класс
Задача по теме «Описанная окружность»
В равнобедренном треугольнике основание 16 , а боковая сторона 10. Найти R-
радиус описанной окружности и r- радиус вписанной окружности.
Ответ: R=
3
1
8
, r=
3
2
2
Y Нахождение R. Y
k B О B
A X A X
М
О
1. По формуле Герон а S=
с)-в)(р-а)(р-(р р
,
где р = ½(а+в+с ) =18
вычислим площадь треугольника , S=
16)-10)(18-10)(18-18(18
=48.
Воспользуемся формулой R=авс/4S=
3
1
8
.
2. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка
пересечения серединных перпендикуляров ВМ и ОК к сторонам Δ, (рис.1).
ΔАВМ~ΔОВК, т.к. <В общий, Δ-ки прямоугольные. АВ/ВО=ВМ/КВ. ВМ
вычислим по теореме Пифагора: ВМ=
=6, ВО=R, 10/R=6/5, R=8
3
1
.
3. ( Рис.1) Рассмотрим прямоугольный Δ АМО: ОМ = х,
R=АО=ВО=6+х, тогда по теореме Пифагора имеем (6+х)
2
=х
2
+8
2
. Решив
уравнение, получим х=2
3
1
, тогда R=6+2
3
1
=8
3
1
.
4. Рассмотрим прямоугольный Δ АВМ: <АВМ=α, cosα=ВМ/АВ=6/10.
Из прямоугольного Δ ОКВ: cos 𝛼 =КВ/ВО=5/R, 6/10=5/R, R=8
3
1
( Рис.1).
5. Вычислим sin < АВС из формулы площади Δ: S=1/2 АВ*ВС*sin < В.
sin < В= 48:50 =0,96.А площадь Δ предварительно вычислим по формуле
Герона или S= ½ АС*ВМ =0,5*16*6=48. Далее воспользуемся теоремой
синусов: АС/ sin < В=2R, 16:0,96 =2 R, R=8
3
1
. (Рис.1)
6. Площадь ΔАВС вычислим по формуле Герона или S= ½ АС*ВМ
=0,5*16*6=48. По теореме косинусов вычислим cos 𝛼 , где α- угол В,
АС
2
=АВ
2
+ВС
2
-2АВ*ВС* cos 𝛼, 16
2
=10
2
+10
2
-2*10*10* cos 𝛼, cos 𝛼=0,28.
По формуле 𝑠𝑖𝑛
2
α=1-cos
2
α вычислим sinα=0,96. Далее, как в п.5 , по
теореме синусов АС/ sin < В=2R, 16:0,96 =2 R, R=8
3
1
. (Рис. 1)
7. Воспользуемся рис.2. По свойству пересекающихся хорд окружности
АМ*МС=ВМ*МД, 8*8= (2R-6)*6, R=8
3
1
. (МД=ДВ-МВ).
8. (Рис2) <ВАД- прямой (как вписанный угол, опирающийся на
полуокружность). Высота АМ, проведенная из вершины прямого угла А
ΔДАВ. Катет АВ есть среднее пропорциональное гипотенузы ВД и отрезка
гипотенузы ВМ, АВ
2
=ВД*ВМ, 100=6ВД, 100=12R, R=8
3
1
.
9. (Рис.1) Метод координат. А(-8;0) В(0;6) С(8;0), найдем координаты
середины отрезка К (х;у). Х=(0-8):2=-4 У=(0+6):2=3, К(-4;3) ,О(0;х)
Вектор АВ
06;80 −+
={8;6}, вектор КО{0+4;х-3 } ={4;х-3}. Скалярное произведение
перпендикулярных векторов равно нулю, 4*8+6*(х-3)=0,
Х=-2
3
1
, ОД=2
3
1
, R=ОВ=6+2
3
1
=8
3
1
.
Нахождение 𝒓
М
D В N O
А C
H
1. ( Рис.3 ) Из прямоугольного Δ АВН по теореме Пифагора вычислим
высоту ВН, ВН=
=6. Рассмотрим Δ АВС, площадь S=
2
1
Р ∗ 𝑟,
r=2S:Р=АС*ВН:Р=16*6:36=2
3
2
. r= 2
3
2
.
2. Δ ВОД~Δ ВАН: ВО: <АВО общий и Δ-ки прямоугольные, тогда ВО:АВ=
=ДО:АН , ДО=ОН=r, ( 6-r ):10=r:8 , решим уравнение, r= 2
3
2
.
3. АО-биссектриса Δ АВН, она делит противоположную сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, ОВ:ОН=АВ:АН,
(6-r ): r=10:8, r= 2
3
2
.
4. Рассмотрим Δ АВН: Sin α=АН:АВ=8:10=0,8, где <АВН=α, тогда из
Δ ОДВ вычислим катет ДО, ДО= ВО*Sinα , r=(6-r)*0,8 , r= 2
3
2
.
5. Решение аналогичное, если вычислить Cosα или tgα.
6. ΔАДО=ΔАНО (по гипотенузе АО и острому углу ), тогда АД=8.
ДВ=10-8=2, ВМ=6-2r. ДВ – касательная к окружности и ВН - секущая ,
проведенные из точки В , тогда по свойству касательной и секущей имеем
ВД
2
=ВН*ВМ, 2
2
=(6-2r)*6 , r= 2
3
2
.
7*. Используем формулы: tg ( A:2) =
)(:))(( аррсрвр −−−
=1/3,
tg (B:2)=
)(:))(( вррсрар −−−
=4/3, tg(С:2)=
)(:))(( сррврар −−−
=1/3,
S=р
2
tg ( A:2) tg (B:2) tg(С:2)=18
2
(1/3)(1/3)(4/3)=48, где р-полупериметр Δ.
Из Δ АДО найдем tg(А:2)=ДО/ДА=r:8, имеем r:8=1:3, r= 2
3
2
.
Аналогичным будет решение, если рассмотреть Δ ВДО или Δ НОС.
Приведенные решения не претендуют на оригинальность. Каждый может
найти свой способ более красивый. « В математике есть своя красота как в
живописи и поэзии» Н. Жуковский
Используемая литература.
1. Атанасян Л.С., М., Просвещение.
2. А.П.Киселёв .,Геометрия,Учпедгиз., 1960
3. Рыбкин Н Сборник задач по геометрии., Учпедгиз, 1959
4. Журнал «Математика в школе» , статья Готман «Две задачи и пять
методов решения задач» стр 8-10.
5. Руденко В.Н Геометрия 7-9 ., Просвещение, 1999
6. В.Г.Болтянский «Лекции и задачи по элементарной математике»., Наука.,
1971
7. Сканави М.И. Решебник №4, 1983
8. Цыпкин А.Г., Справочное пособие по решению задач., Наука, 1983
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: