Ученики на Учителя.com


Тестовая работа по геометрии в формате ЕГЭ (Погорелов А.В.)

Вариант № 001 (база)
1. В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 10 л воды. После полного
погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,3 раза. Найдите объём детали. Ответ
дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.
2. Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугран-
ные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах.
Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
3. Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой
пирамиды равен 16. У второй пирамиды высота в 2 раза больше, а
сторона основания в 1,5 раза больше, чем у первой. Найдите объём
второй пирамиды.
4. Ящик, имеющий форму куба с ребром 20 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи.
Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
5. В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 80 см, налита
жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите
объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 5 см. Ответ дайте в кубических
сантиметрах.
6. К правильной треугольной призме со стороной основания 1 приклеили правильную треуголь-
ную пирамиду с ребром 1 так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогран-
ника (невидимые ребра на рисунке не обозначены)?
7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все
двугранные углы прямые).
8. Плоскость, проходящая через три точки A, B и C, разбивает куб на два
многогранника. Сколько граней у многогранника, у которого больше граней?
9. Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторо-
на основания которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной музейной
копии этой пирамиды равна 44 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в
сантиметрах.
10. От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько
вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?
11. К правильной треугольной призме со стороной основания 1 приклеили правильную
треугольную пирамиду с ребром 1 так, что основания совпали. Сколько рёбер у получившегося
многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?
12. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 80 см × 30 см ×
40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических
сантиметров.
13. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные
углы прямые).
14.Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на
уровне h = 45 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд,
имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания втрое больше,
чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.
15.Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания
которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна
22 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.
16. От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рисунок). Сколько вершин у
получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?
17. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные
углы прямые).
18. В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 12 л воды. После полного погружения
в воду детали, уровень воды в баке поднялся в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте
в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.
19. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 воды и погрузили в
воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объем детали. Ответ
выразите в .
20. Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен 9. У второй пира-
миды высота в 1,5 раза больше, а сторона основания в 2 раза больше, чем у первой. Найдите объём второй
пирамиды.
21. К правильной шестиугольной призме с ребром основания 1 приклеили правильную шестиугольную
пирамиду с ребром основания 1 так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося
многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?
22. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные
углы прямые). 5
23. В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду
детали уровень воды в баке поднялся в 2,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических
сантиметрах. В одном литре 1000 кубических сантиметров.
24. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2700 см
3
воды и погрузили в воду
деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 20 см до отметки 33 см. Найдите объем детали. Ответ вы-
разите в см
3
.
26. В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 20 см,
налита жидкость. Для того чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту
жидкость. Найдите объём детали, если уровень жидкости в баке поднялся на 20 см. Ответ дайте в кубических
сантиметрах.
27. Аквариум имеет форму куба со стороной 40 см. Сколько литров составляет объём аквариума?
В одном литре 1000 кубических сантиметров.
28. Плоскость, проходящая через точки A, B и C (см. рис.), разбивает тетраэдр на два
многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с бо
́
льшим числом
вершин?
29. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугран-
ные углы прямые).
30. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды
достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой
такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ в см.
31. Ящик, имеющий форму куба с ребром 10 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи.
Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
32. Плоскость, проходящая через точки A, B и C, рассекает тетраэдр на два многогранника (см.
рисунок). Сколько вершин у получившегося многогранника с большим числом граней?
33. Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугран-
ные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах.
Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
34. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 60 см × 20 см × 50
см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических
сантиметров.
35. Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сто-
рона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной
копии этой пирамиды равна 10,5 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.
36. Плоскость, проходящая через три точки A, B и С, разбивает правильную
треугольную призму на два многогранника. Сколько рёбер у многогранника,
у которого больше вершин?
37.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все дву-
гранные углы прямые).
38. В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 40 см, налита
жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите
объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 15 см. Ответ дайте в
кубических сантиметрах.
39. Ящик, имеющий форму куба с ребром 30 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи.
Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
№
п/п
Правильный
ответ
1
3000
2
50
3
72
4
2000
5
32000
6
7
7
78
8
7
9
20,8
10
18
11
12
12
96
13
132
14
5
15
10,4
16
24
17
18
18
6000
19
184
20
54
21
13
22
92
23
8000
24
1755
25
14
26
8000
27
64
28
9
29
114
30
5
31
500
32
6
33
178
34
60
35
6,8
36
12
37
96
38
24000
39
4500
Вариант № 001 решение
1. В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 10 л воды. После полного
погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,3 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в
кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.
Решение.
Найдем объём воды в баке после погружения детали (уровень воды прямопропорционален объему): л.
Таким образом, при погружении детали в бак объём воды увеличился на л, что и является объёмом детали. В
кубических сантиметрах —
От в е т : 3000.
2. Площадь поверхности данной детали - есть сумма площади поверхности двух многогранников: со
сторонами 1,2,5 и со сторонами 2,2,2 за вычетом 2 площадей прямоугольников со сторонами 2,2 (так как
данная площадь учитывается два раза при сложении площадей многогранников, а, как видно из рисунка,
данных площадей в итоговой детали нет).
Получаем:
Ответ: 50
3. Объём пирамиды вычисляется по формуле Следовательно, отношение объёмов
пирамид:
Значит, объём второй пирамиды: 16 · 4,5 = 72.
От в е т : 72.
4. Площадь одной грани равна 20 · 20 = 400 см
2
. В кубе шесть граней, но нас просят найти только площадь
пяти граней, следовательно, 400 · 5 = 2000 см
2
.
От в е т : 2000.
5.Объем вытесненной жидкости равен объему детали (закон Архимеда). Уровень жидкости поднялся на
h=5 см, сторона основания a = 80 см, значит, вытесненный объем будет
равен Найденный объём является объёмом детали.
От в е т : 32000.
6. Зная, что в треугольной призме 5 граней, а в треугольной пирамиде 4 граней, но так как две грани
совпадают получаем: 5 + 4 − 2 = 7.
От в е т : 7.
7. Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности
прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 3, 5:
.
От в е т : 78.
8. В сечении получается четырёхугольник. У одной отсечённой фигуры 15 рёбер и
7 граней, у второй — 9 рёбер и 5 граней. Следовательно, у искомой фигуры 7 граней.
От в е т : 7.
9. Переведём сантиметры в метры и найдём во сколько раз сторона основания
пирамиды отличается от музейной копии:
Найдём высоту музейной копии:
От в е т : 20,8.
10. Изначально у треугольной призмы 5 граней и 6 вершин. Когда от призмы отпилили все вершины
количество вершин стало равно
От в е т : 18.
11.Зная, что в треугольной пирамиде 6 ребер, а в треугольной призме 9 ребер, три ребра в основании
совпадают, получаем: 6 + 9 − 3 = 12.
От в е т : 12.
12.Объем аквариума равен: см
3
или литров.
От в е т : 96.
13.Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей поверхности прямоугольного
параллелепипеда с ребрами 6, 4, 4 и двух прямоугольников со сторонами 1 и 4, уменьшенной на площадь двух
прямоугольников со сторонами 1 и 2:
Отве т : 132.
14.Объём правильной четырёхугольной призмы равен Имеем:
От в е т : 5.
15. Пусть х — высота музейной копии. Найдем, как соотносятся стороны:
Также соотносятся высоты:
От в е т : 10,4.
16.Изначально у деревянного кубика 8 вершин. Когда от кубика отпилили все вершины, количество
вершин стало равно 8 · 3 = 24.
От в е т : 24.
17. Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного
параллелепипеда с ребрами 2, 3, 1 и двух площадей прямоугольников со сторонами 2, 1:
.
От в е т : 18.
18.Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. После погружения детали в воду объём стал
равен 12 · 1,5 = 18 литров, поэтому объём детали равен 18 − 12 = 6 л = 6000 см
3
.
От в е т : 6000.
19. Объём детали равен объёму вытесненной ею жидкости. Объём вытесненной жидкости равен 2/25
исходного объёма:
От в е т : 184.
20. Объём пирамиды вычисляется по формуле Следовательно, отношение объёмов
пирамид:
Значит, объём второй пирамиды: 9 · 6 = 54.
От в е т : 54.
21.Зная, что в шестиугольной пирамиде 7 граней, а в шестиугольной призме 8 граней, но так как две грани
в основании совпадают получаем: 7 + 8 − 2 = 13.
От в е т : 13.
22. Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного
параллелепипеда с ребрами 3, 4, 5 и площади двух квадратов со стороной 1:
.
От в е т : 92.
23. Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. После погружения детали в воду объём стал
равен 5 · 2,6 = 13 литров, поэтом объём детали равен 13 − 5 = 8 л = 8000 см
3
.
От в е т : 8000.
24. Объём детали равен объёму вытесненной ею жидкости. Объём вытесненной жидкости равен 13/20
исходного объема
От в е т : 1755.
25. У кубика 6 граней. В результате отпиливания 8 вершин появились 8 граней. Всего 14 граней.
От в е т : 14.
26.
Объем вытесненной жидкости равен объему детали (закон Архимеда). Уровень жидкости поднялся на
h=20 см, сторона основания a=20 см, значит, вытесненный объем будет
равен Найденный объём является объёмом детали.
От в е т : 8000.
27.Объем аквариума
равен: см
3
или литров.
От в е т : 64.
28.У многогранника с большим числом вершин количество рёбер равно 9.
От в е т : 9.
29Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей поверхности прямоугольного
параллелепипеда с ребрами 4, 4, 5 и двух прямоугольников со сторонами 1 и 4, уменьшенной на площадь двух
прямоугольников со сторонами 1 и 3:
.
От в е т : 114.
30. Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту и выражается через сторону
основания а и высоту Н формулой . Поэтому , а значит, при увеличении
стороны а в 4 раза знаменатель увеличится в 16 раз, то есть высота уменьшится в 16 раз и будет равна 5 см.
От в е т : 5.
31. Площадь одной грани равна 10 · 10 = 100 см
2
. В кубе шесть граней, но нас просят найти только
площадь пяти граней, следовательно, 100 · 5 = 500 см
2
.
От в е т : 500.
32У многогранника с большим числом граней количество вершин равно 6.
От в е т : 6.
33. Площадь поверхности данной детали - есть площадь поверхности многогранника со сторонами 6,5,5 за
вычетом площади двух "боковых прямоугольников" со сторонами 3,2 и прибавления 2 площадей "верхнего" и
"нижнего прямоугольников" со сторонами 2,5.
Получаем:
Ответ: 178
34.Объем аквариума равен: см
3
или литров.
От в е т : 60.
35. Пусть х - высота музейной копии. Найдем, как соотносятся стороны:
Также соотносятся высоты:
От в е т : 6,8
36. Плоскость сечения пересекает параллельные основания по параллельным прямым.
Проведём через точку С прямую, параллельную AB, она пересечёт ребро призмы в точке D.
Тем самым, трапеция ABCD — искомое сечение. Оно делит призму на две призмы:
треугольную, имеющую 6 вершин и четырёхугольную, имеющую 8 вершин.
Четырёхугольная призма имеет по 4 ребра в каждом из оснований и 4 боковых ребра, всего
12 рёбер.
От в е т : 12.
37. Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей большого и маленького
параллелепипедов с ребрами 1, 5, 7 и 1, 1, 2, уменьшенной на 4 площади прямоугольника со сторонами 1, 2 —
передней грани маленького параллелепипеда, излишне учтенной при расчете площадей поверхности
параллелепипедов:
От в е т : 96.
38. Объем вытесненной жидкости равен объему детали (закон Архимеда). Уровень жидкости поднялся
на h = 15 см, сторона основания a = 40 см, значит, вытесненный объем будет
равен Найденный объём является объёмом детали.
От в е т : 24 000.
39. Площадь поверхности куба вычисляется по формуле: . Площадь одной из граней — .
Таким образом, оставшаяся площадь — .
От в е т : 4500.
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: