Презентация по геометрии "Расстояние между скрещивающимися прямыми. Решение задач" 10 класс

Занятие по геометрии в 10 классе по теме: «Расстояние между скрещивающимися прямыми. Решение задач» Учитель математики Матвеенко В.Н.

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми. Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.

• Определение 1: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между ближайшими точками этих прямых.
• Определение2: Расстояние между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
• Определение 3: …называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, проходящей через другую прямую.
• Определение 4: … называется расстояние между параллельными плоскостями, в которых находятся скрещивающиеся прямые.
• Определение 5: … называется расстояние между из проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из этих прямых.

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.

• Определение 1: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между ближайшими точками этих прямых.
• Определение2: Расстояние между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
• Определение 3: …называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, проходящей через другую прямую.
• Определение 4: … называется расстояние между параллельными плоскостями, в которых находятся скрещивающиеся прямые.
• Определение 5: … называется расстояние между из проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из этих прямых.

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.

• Задача. Основание прямой призмы (АС1) является квадрат со стороной 4. Высота призмы равна 2. Найти расстояние между DA1и CD1.

•  

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.

• Решение (определение 3).

HA1=ρ(DA1,CD1)=2

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.

• Решение (определение 4).

OH=ρ(A1D,CD1)=2

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.

• Решение (метод объемов).
Используют вспомогательную пирамиду, высота которой есть искомое расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Для её нахождения вычисляют объем этой пирамиды двумя способами, и затем находят высоту.

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.

• Решение (определение 3).

HA1=ρ(DA1,CD1)=2

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.

• Решение (метод ортогонального проектирования).

FH=ρ(DA1,CD1)=2

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.

• Решение (метод координат).

Уравнение плоскости ax+by+cz+d=0,

Проходящей через точки A1,B,D.

Решаем систему относительно a,b,c,d:

 

(A1)

(B)

(D)

x – y - z = 0

 

ρ(DA1,CD1) = 2

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.

• Решение (определение 3).

HA1=ρ(DA1,CD1)=2

4

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4, а боковое ребро 3. Найдите расстояние от стороны основания до противоположного бокового ребра.

D

B

A

C

3

4

3

Построим плоскость, перпендикулярную прямой АС.

АВС и ADC – равнобедренные, значит, высота является и медианой.

N

Спроектируем на плоскость BDN обе прямые.

Одна из них спроектируется в точку: АC в точку N, а прямая BD в прямую BD, т.к.

она лежит в плоскости проекции.

А общий перпендикуляр, т.к. он параллелен плоскости проекции, спроектируется на нее в натуральную величину. Поэтому расстояние от проекции одной прямой до проекции другой прямой и будет равно длине общего перпендикуляра, т.е искомому расстоянию.

Кстати в этой задаче получился именно общий перпендикуляр.

NK – искомое расстояние.

4

3

K

D

B

A

C

3

4

3

4

N

4

K

3

2

3

2

5

N

D

3

2

К

В

5

3

h

x

3-x

«–»

Подставим во второе уравнение

Одна из них

спроектируется в точку: АC в точку N,

а прямая BD в прямую BD, т.к. она лежит

в плоскости проекции.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна

3 , а высота 4. Найдите расстояние от бокового ребра до противолежащей стороны основания.

D

B

A

C

Построим плоскость, перпендикулярную прямой АС.

АВС и ADC – равнобедренные, значит, высота является и медианой.

N

Спроектируем на плоскость BDN обе прямые.

А общий перпендикуляр, т.к. он параллелен плоскости проекции, спроектируется на нее в натуральную величину. Поэтому расстояние от проекции одной прямой до проекции другой прямой и будет равно длине общего перпендикуляра, т.е. искомому расстоянию.

K

3

Кстати, в этой задаче получился именно общий перпендикуляр.

3

3

3

3

D

B

A

C

N

K

600

O

Применим и подобие треугольников KBN и OBD. Треугольники подобны по двум углам:

угол B – общий, DOB и NKB – прямые.

Составим пропорцию сходственных сторон.

Ответ:

4

3

3

3

3

9

2

3

5

О – точка пересечения медиан. Применим свойство медиан: медианы треугольника пересекаются в отношении 2 к 1, считая от вершины BO : ON = 2 : 1.

Вся медиана BN – это 3 части.

NО = : 3 = (это 1 часть)

BО = : 3 * 2 = 3 (это 2 части)



9

2

9

2

3

2

D

B

A

C

N

K

600

O

4

3

3

3

3

9

2

3

5